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微专题9　 空间动态问题
微点一
例1　D　[解析] 对于A,易知AD1∥BC1,所以直线D1F与直线AB为共面直线,A错误;对于B,由正方体的性质可知C1D1⊥AD1,所以当F与C1重合时,∠D1FA为锐角,B错误;对于C,因为AD1∥BC1,BC1 平面AD1E,AD1 平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,又F∈BC1,所以F到平面AD1E的距离为定值,又三角形AD1E的面积也为定值,所以三棱锥F-AD1E的体积为定值, C错误;对于D,因为AB⊥平面BCC1B1,B1C 平面BCC1B1,所以AB⊥B1C,又BC1⊥B1C,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,因为D1F 平面ABC1D1,所以D1F⊥B1C,D正确.故选D.
对点演练1　BD　[解析] 以B为原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,0,1),F(1,1,0),E(0,1,0).因为CM=BN=a,所以M,N.当a=时,M,N,所以=,=,=(0,1,-1).假设ME与CN相交,则,,共面,则存在实数m,n使得=m+n,则该方程组无解,所以假设不成立,ME与CN不相交,故A错误.平面BCE的一个法向量为=(1,0,0),=,所以·=0,又MN 平面BCE,所以MN始终与平面BCE平行,故B正确.=(-1,0,1),=(1,1,0),设异面直线AC与BF所成的角为θ,所以cos θ===,所以异面直线AC与BF所成的角为60°,故C错误.MN==
=,所以当a=时,MN的值最小,最小值为,故D正确.故选BD.
微点二
例2　D　[解析] 如图,分别取AD,AB的中点F,G,连接A1C1,DE,D1B1,D1F,B1G,FG,DB,则FG∥DB∥D1B1,则F,G,B1,D1四点共面.若P为面A1B1C1D1上的动点,由正方体ABCD-A1B1C1D1的性质易得,平面A1ECC1⊥平面A1B1C1D1,且平面A1ECC1∩平面A1B1C1D1=A1C1,要使⊥,只需D1P⊥A1C1,此时P的轨迹为线段D1B1(不包含点D1).若P为面A1D1DA上的动点,由正方体ABCD-A1B1C1D1的性质易得,平面CED⊥平面A1D1DA,且平面CED∩平面A1D1DA=ED,要使⊥,只需D1P⊥ED,由E,F分别是AA1,AD的中点,易得DE⊥D1F,故此时P的轨迹为线段D1F(不包含点D1).所以曲线W为过点F,D1,B1的平面与正方体各表面的交线,即梯形D1B1GF.因为正方体的棱长为2,所以D1B1=2,GF=DB=,B1G=D1F==.所以曲线W为等腰梯形,且周长为3+2.故选D.
对点演练2　　[解析] 由题意知,AB,AD,AP两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,记AB的中点为G,连接CG.因为四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,所以AG∥CE,且AG=CE,所以四边形AGCE为平行四边形,所以CG∥AE.又CG 平面AEF,AE 平面AEF,所以CG∥平面AEF.记点T的轨迹与PB交于点H,连接CH,GH,由题知CH∥平面AEF.因为CH,CG 平面CHG,CH∩CG=C,所以平面CHG∥平面AEF,所以线段GH即为点T的轨迹.因为A(0,0,0),E(1,2,0),F(1,1,1),C(2,2,0),P(0,0,2),B(2,0,0),所以=(2,0,-2),=(-2,-2,2),=(1,2,0),=(1,1,1).设=λ,则=+=+λ=(-2,-2,2)+λ(2,0,-2)=(2λ-2,-2,2-2λ).设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量,则令y=1得n=(-2,1,1).因为⊥n,所以-2(2λ-2)-2+2-2λ=0,解得λ=,则=.又==(1,2,0),所以=+=(1,2,0)+=,所以||==.
微点三
例3　BC　[解析] 对于A,B,过D分别作直线DE,DF平行于AB,OC,分别交OC,AB于点E,F,连接SE,SF,如图,
则∠SDE为直线SD与AB所成的角,即∠SDE=60°,且∠SDF为直线SD,OC所成的角.易知DE⊥平面SOE,DF⊥平面SOA,又SE 平面SOE,SF 平面SOA,所以DE⊥SE,DF⊥SF.设OA=2,则SD=2,DE=SDcos 60°=SD=,OE==.在Rt△DFS中,DF=,SD=2,cos∠SDF===,所以∠SDF=60°,故A错误,B正确.对于C,D,易知直线SD与AB所成角的最小值为直线SD与底面ABC所成的角,为∠SAB=45°,同时直线SD与AB所成角的最大值为直线SC与AB所成的角,为90°,故D错误,C正确.故选BC.
对点演练3　B　[解析] 取BD的中点O,连接OA',OC,则OA'=OB=OC=OD=2.以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴、y轴,过点O且垂直于平面BCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设∠A'OC=θ(0<θ<π),则B(2,0,0),C(0,2,0),F(-1,0,0),A'(0,2cos θ,2sin θ),所以=(-1,-2,0),=(0,2cos θ-2,2sin θ),=(-2,2,0).设=k=(0,2k(cos θ-1),
2ksin θ)(0≤k≤1),则=+=(-2,2k(cos θ-1)+2,2ksin θ),故·=-4k(cos θ-1)-2.因为0<θ<π,所以-1微点一　空间位置关系的判断
例1 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,动点F沿着线段BC1从点B移动到点C1,则下列结论中正确的是 (　 )
A.直线D1F与直线AB为异面直线
B.∠D1FA恒为钝角
C.三棱锥F-AD1E的体积越来越大
D.D1F⊥B1C
总结反思
1.有关线面平行的动点问题,往往转化为面面平行问题,动点的运动轨迹为与题干中对应平面平行的平面与题干中所给运动轨迹的交线.
2.有关线线垂直的动点问题往往转化为线面垂直问题,动点的轨迹通常位于与题干中所给定直线垂直的平面上.
【对点演练1】 (多选题)如图,边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,动点M,N分别在对角线AC和BF上移动,且CM=BN=a(0A.当a=时,ME与CN相交
B.MN始终与平面BCE平行
C.异面直线AC与BF所成的角为45°
D.当a=时,MN的值最小,最小值为
微点二　轨迹问题
例2 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,P为正方体表面上的动点,且⊥.设动点P的轨迹与点D1组成曲线W,则 (　 )
A.W是平行四边形,且周长为2+2
B.W是平行四边形,且周长为3+2
C.W是等腰梯形,且周长为2+2
D.W是等腰梯形,且周长为3+2
总结反思
求解立体几何中的动点轨迹问题的常用方法
①几何法.根据图形特征,应用定义确定相应轨迹.
②坐标法.建立空间直角坐标系,根据几何关系找到或计算出动点所满足的数量关系,结合各种曲线的定义和特征进行判断.
【对点演练2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB=2,点E,F分别为CD,CP的中点,点T为△PAB内的一个动点(包括边界),若CT∥平面AEF,则点T的轨迹的长度为　　　　.
微点三　最值、范围问题
例3 (多选题)[2025·浙江宁波期末] 如图,圆锥SO的底面直径为AB,OS=OA,CO⊥AB,D为底面圆上的动点,则 (　 )
A.当直线SD与AB所成的角为60°时,直线SD与OC所成的角为30°
B.当直线SD与AB所成的角为60°时,直线SD与OC所成的角为60°
C.直线SD与AB所成角的最小值为45°
D.直线SD与AB所成角的最大值为60°
总结反思
立体几何中体积、距离、角的最值(范围)问题的常用解题思路
(1)直观判断:判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大(小)值;
(2)有关线线角最值问题可根据平面外一条直线与平面形成的线面角,是这条直线与平面内所有直线所成角中最小的角(最小角定理)来求解;
(3)函数思想:通过建系或引入变量,把待求的量转化为函数关系式,从而利用代数方法求解.
【对点演练3】 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,使点A到达A'的位置,连接A'C,得到三棱锥A'-BCD,E是线段A'C上的动点,=3,则·的取值范围是 (　 )
A.[-2,6] B.[-2,6)
C.[0,8] D.[0,8)

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