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素养导向　解题指引——立体几何
例 [2025·全国一卷] 如图所示的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AB⊥AD.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.
(2)若PA=AB=,AD=+1,BC=2,P,B,C,D四点在同一个球面上,设该球的球心为O.
(i)证明:O在平面ABCD上;
(ii)求直线AC与直线PO所成的角的余弦值.
[思路分析]
(1)通过证明AP⊥AB,再结合AB⊥AD,证得AB⊥平面PAD,即可证得面面垂直.
(2)(i)方法一:建立空间直角坐标系并表示出各点的坐标,在平面Axy中,得出△BCD的外心O1的坐标,进而得出点O1在空间中的坐标,计算出O1P=O1B可知点O与O1重合,即可证明结论;
方法二:找到△BCD的外心O1,求出PO1,可得到外心O1到P,B,C,D的距离相等,得出外心O1即为P,B,C,D所在球的球心,即可证明结论.
(ii)方法一:写出直线AC和PO的方向向量,即可求出所成角的余弦值.
方法二:求出AC的长,过点O作AC的平行线,交BC的延长线于C1,连接AC1,PC1,利用勾股定理求出AC1的长,进而得出PC1的长,在△POC1中由余弦定理求出cos∠POC1,即可得到直线AC与直线PO所成角的余弦值.
[得分秘籍]
求解立体几何问题的策略:
(1)证明线面位置关系的问题,若条件易于求解,则直接应用几何法进行证明,否则建立空间直角坐标系,应用空间向量进行位置关系的判断;
(2)求角的问题一般用空间向量求解,要明确应用空间向量求解线线角、线面角、面面夹角的基本方法;
(3)求解动点问题一般可将其坐标用参数表示,即可根据条件,得到关于参数的方程(组),进而求解;
(4)求解探索性问题一般用先猜(观察)后证的方法或者直接肯定结论是正确的,进而求出所需条件;
(5)应用空间向量求解立体几何问题时,要注意求解法向量的准确性,以及运用相关公式的准确性.

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