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第八单元　解析几何
第43讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【课标要求】　
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为　　　　.
(2)范围:倾斜角θ的取值范围是　　　　,即θ∈[0,π).
(3)直线的斜率的定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的　　　　叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k=　　　　.
(4)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=　　　　.
2.直线的方向向量与法向量
(1)直线方向向量的几种形式
条件 直线l的方向向量的表示
P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l上两个不同的点 =　　　　　
直线l的斜率为k 　　　
(2)直线的方向向量与斜率的关系
一般地,已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则
①当u=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为　　　　;
②当u≠0时,直线l的斜率k=　　　　,倾斜角θ满足tan θ=　　　　.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 　　　　　　 不含直线x=x0
斜截式 　　　　　　 不含垂直于x轴的直线
两点式 　　　　　　 不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式 　　　　　　 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 　　　　　　 平面内所有直线都适用
常用结论
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
α 0° 30° 45° 60° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 1 k>0 不存在 k<0
记忆:直线的斜率的绝对值越大,直线越“陡”.
2.特殊位置的直线方程
(1)经过点(a,b)且平行于x轴的直线方程为y=b;
(2)经过点(a,b)且平行于y轴的直线方程为x=a;
(3)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx.
3.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量为a=(-B,A).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何直线都可以用+=1表示. (　 )
(2)方程k=与y-y0=k(x-x0)表示的意义相同. (　 )
(3)经过P0(x0,y0)的任意直线的方程都可以表示为y-y0=k(x-x0). (　 )
(4)直线l在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离. (　 )
题组二　教材改编
1.直线x-y-3=0的倾斜角为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.已知直线l经过点A(-2,0)与B(-5,3),则直线l的斜率k=　　　　,倾斜角θ=　　　　,一个方向向量为　　　　　　.
3.已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三点在同一条直线上,则m=　　　　.
4.直线y+2=k(x+1)恒过点　　　　.
　直线的倾斜角和斜率
例1 (1)过点A(1,-2)和点B(-1,-4)的直线的倾斜角为 (　 )
A. B. C. D.
(2)已知点A(2,-3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是 (　 )
A.k≥或k≤-4 B.k≥或k≤-
C.-4≤k≤ D.-≤k≤4
总结反思
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助函数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.
(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,此时直线垂直于x轴.
(3)每条直线都有倾斜角,但不一定都存在斜率.
【对点演练1】 (1)[2026·江西南昌期末] 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则“k1>k2”是“α1>α2”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2026·河北衡水模拟] 已知直线l的方程为y=(-a2+1)x+b,则直线l的倾斜角的取值范围为 (　 )
A. B.
C.∪ D.∪
　直线的方程
例2 (1)[2025·湖南长沙联考] 过点(-4,2),倾斜角为的直线方程为 (　 )
A.x-y+2=0 B.x+y+2=0
C.x-y=2 D.x-y+1=0
(2)(多选题)直线l经过点(1,3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可能是 (　 )
A.3x-y=0 B.3x+y=0
C.x+y-4=0 D.x-y+2=0
总结反思
(1)求直线的方程一般有以下两种方法:
①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.
②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线的方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线的方程.
(2)在求直线的方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式,使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零).
(3)最终将直线的方程写成一般式或斜截式.
【对点演练2】 (1)[2025·广东广州期中] 直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 (　 )
A　B　C　D
(2)已知M为直线l:2x+3y+1=0上的动点,点P满足=(2,-4),则点P的轨迹方程为 (　 )
A.3x-2y+9=0
B.(x-2)2+(y+4)2=
C.2x+3y+9=0
D.(x+2)2+(y-4)2=
(3)[2025·上海大学附中期中] 已知直线l过点P(2,3),且它的一个法向量为n=(1,-2),则该直线的一般式方程为　　　　　　　.
　直线方程的综合应用
例3 已知直线l经过点P(-1,2).
(1)若l不过原点且在两坐标轴上的截距之和为0,求l的方程;
(2)设l的斜率k>0,l与x轴、y轴的交点分别为A和B,O为坐标原点,当△AOB的面积最小时,求l的斜截式方程.



总结反思
(1)求参数的值或取值范围时,需注意若点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
(2)求解与直线方程有关的最值问题时,一般先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值.
【对点演练3】 (1)(多选题)[2026·福建厦门外国语学校模拟] 对于直线l:(m-1)x+y-2m+3=0,下列说法中正确的是 (　 )
A.直线l恒过点(2,-1)
B.当m=0时,直线l在y轴上的截距为3
C.若直线l不经过第二象限,则m的取值范围为
D.坐标原点到直线l的距离的最大值为
(2)已知直线l过点P,且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,O为坐标原点.是否存在这样的直线l同时满足下列条件
①△AOB的面积为6;
②△AOB的周长为12.
若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.


第八单元　解析几何
第43讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)0°　(2)0°≤θ<180°　(3)正切值　tan α　(4)
2.(1)(x2-x1,y2-y1)　(1,k)
(2)①90°　②　
3.y-y0=k(x-x0)　y=kx+b　=　+=1
Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
[解析] (1)与坐标轴垂直或过原点的直线的方程不可以用截距式表示.
(2)方程k=中x≠x0,与y-y0=k(x-x0)表示的意义不同.
(3)当直线的斜率存在时,其方程可表示为y-y0=k(x-x0);当直线的斜率不存在时,其方程不能表示为点斜式,可表示为x=x0.
(4)直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标,而不是交点到原点的距离.
题组二
1.A　[解析] 设直线x-y-3=0的倾斜角为α,则α∈[0,π),因为直线x-y-3=0的斜率k=tan α=,所以α=.故选A.
2.-　120°　(1,-)(答案不唯一)　[解析] 由题意知直线l的斜率k==-,即tan θ=-,则倾斜角θ=120°,直线l的一个方向向量为(1,-).
3.5　[解析] 因为kAB==,kBC==,A,B,C三点在同一条直线上,所以=,解得m=5.
4.(-1,-2)　[解析] 由y+2=k(x+1),得y-(-2)=k[x-(-1)],所以该直线恒过点(-1,-2).
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题意知直线AB的斜率k==1,设直线AB的倾斜角为α,α∈[0,π),则tan α=1,所以α=.故选B.
(2)如图所示,
依题意得kPA==-4,kPB==,要使直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则需满足k≥或k≤-4,故选A.
对点演练1　(1)D　(2)D　[解析] (1)因为直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,所以k1=tan α1,k2=tan α2.取k1=1,k2=-1,满足k1>k2,可求得α1=,α2=,此时α1<α2,所以“k1>k2”不是“α1>α2”的充分条件;取α1=,α2=,满足α1>α2,但k1=-1,k2=1,此时k1k2”不是“α1>α2”的必要条件.所以“k1>k2”是“α1>α2”的既不充分也不必要条件.故选D.
(2)直线l的斜率k=-a2+1≤1,设该直线的倾斜角为θ,则tan θ≤1,又因为0≤θ<π,所以θ∈∪.故选D.
探究点二
例2　(1)B　(2)ACD　[解析] (1)由题意可得直线的斜率为tan =-1,所以直线方程为y-2=-(x+4),整理得x+y+2=0.故选B.
(2) 当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,直线l的方程为y=3x,即3x-y=0.当直线l在两坐标轴上的截距都不为0时,设直线l的方程为+=1(a≠0,b≠0),由题得或由得a=b=4,此时直线l的方程为+=1,即x+y-4=0;由得此时直线l的方程为+=1,即x-y+2=0.故选ACD.
对点演练2　(1)D　(2)C　(3)x-2y+4=0　[解析] (1)对于A,B,l2的斜率为正数,在y轴上的截距也为正数,故不可能有l1的斜率或截距为负数的情况,故A,B错误.对于C,l2的斜率为正数,即b>0,则l1的截距应为正数,题图中的l1与之不符,故C错误;对于D,l2的斜率与截距都为正数,则l1的截距与斜率应都为正数,题图中的l1与之相符,故D正确.故选D.
(2)设点P(x,y),因为=(2,-4),所以M(x-2,y+4),将坐标代入直线方程可得2(x-2)+3(y+4)+1=0,化简可得2x+3y+9=0.所以点P的轨迹方程为2x+3y+9=0.故选C.
(3)直线l的一个法向量为n=(1,-2),则该直线的斜率为,又因为直线l过点P(2,3),所以直线l的方程为y-3=(x-2),化简得到一般式方程为x-2y+4=0.
探究点三
例3　解:(1)由题意知,l的斜率存在且不为0,
设斜率为k,则l的点斜式方程为y-2=k(x+1),
则它在x轴、y轴上截距分别为-1-和k+2,
所以-1-+k+2=0,解得k=-2(此时直线过原点,舍去)或k=1,
所以l的方程为y-2=x+1,即x-y+3=0.
(2)由(1)知,A,B(0,k+2),k>0,
所以△AOB的面积S=·|k+2|==+2+≥2+2=4,
当且仅当=,即k=2时,等号成立,
此时l的点斜式方程为y-2=2(x+1),
斜截式方程为y=2x+4.
对点演练3　(1)AD　[解析] 直线l的方程可化为(x-2)m-x+y+3=0,由得所以直线l恒过点(2,-1),故A正确;当m=0时,直线l:-x+y+3=0,令x=0,得y=-3,故此时直线l在y轴上的截距为-3,故B错误;当m=1时,直线l的方程为y=-1,此时直线l不经过第二象限,故C错误;因为直线l过定点(2,-1),所以坐标原点到直线l的距离的最大值为
=,故D正确.故选AD.
(2)解:设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
因为直线l过点P,所以+=1.
由条件①知ab=12,
所以a=4,b=3或a=2,b=6.
当a=4,b=3时,
|OA|=4,|OB|=3,|AB|=5,△AOB的周长为12,符合条件②;
当a=2,b=6时,
|OA|=2,|OB|=6,|AB|=2,△AOB的周长为8+2,不符合条件②.
所以存在直线l同时满足条件①②,且直线l的方程为+=1,即3x+4y-12=0.

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