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第44讲　两直线的位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.k1=k2且b1≠b2　k1·k2=-1　k1≠k2
2.交点坐标　(1)相交　交点的坐标
(2)无公共点　平行
3.
　
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离d=.
(2)令3×1=a(a-2),解得a=-1或a=3.当a=-1时,两条直线的方程都为x-3y-1=0,即两条直线重合,故舍去;当a=3时,两条直线的方程分别为3x+3y+1=0,x+y+3=0,两条直线平行.故a的值为3.
(3)①当m≠0时, 因为l1⊥l2,所以(-m)×=-1,即2m+3=-1,解得m=-2;②当m=0时,直线l1,l2的方程分别为y-1=0,3x-1=0,显然l1⊥l2.综上可知,l1⊥l2等价于m=0或m=-2,所以“m=-2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
题组二
1.B　[解析] 设B(a,b),则由题意知解得所以点B的坐标为(0,2).故选B.
2.直角　[解析] 因为边AB所在直线的斜率k1=-,边BC所在直线的斜率k2=2,且k1k2=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形.
3.2　[解析] 点(1,3)到直线3x-4y-1=0的距离d==2.
4.2x+y-4=0 　[解析] 由解得∴直线x+y-3=0和x-2y+3=0的交点为(1,2),又所求直线与直线2x+y-7=0平行,∴所求直线的斜率为-2,∴所求直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　BCD　[解析] 对于A,当l1⊥l2时,a+3b=0,可得=-3或a=b=0,故A错误;对于B,当l1∥l2时,-ab+3=0,且2a≠1,则ab=3,且a≠,故B正确;对于C,由题可知a≠0,在ax-3y+1=0中,当x=0时,y=,当y=0时,x=-,所以l1与坐标轴围成的三角形的面积S=××=1,解得a=±,故C正确; 对于D,当b<0时,l2:y=x+如图所示,直线l2过定点(-2,0),且斜率为负数,所以l2不过第一象限,故D正确.故选BCD.
对点演练1　(1)A　(2)A　[解析] (1) 当k=0时,l2:x=3,此时l1与l2不垂直,不满足题意;当k≠0时,因为l1⊥l2,所以2×=-1,解得k=2.故选A.
(2) 因为l1∥l2,所以a2-2=-1,解得a=±1.当a=1时,l1:x+y-2=0,l2:x+y-2=0,此时l1,l2重合,不满足题意;当a=-1时,l1:x+y+2=0,l2:x+y-2=0,此时l1,l2平行,满足题意.所以l1∥l2等价于a=-1,所以“直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行”能推出“a=±1”,“a=±1”不能推出“直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行”,所以“直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行”是“a=±1”的充分不必要条件,故选A.
探究点二
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)因为直线l1:ax+8y=0与l2:3x+4y+b=0平行,所以4a=3×8,解得a=6,则直线l1:6x+8y=0,即3x+4y=0.又l1与l2之间的距离是1,所以=1,解得b=5或b=-5.所以a+b=11或a+b=1.故选C.
(2)由A(1,-1),B(3,1),可得=(2,2),同理可得=(2,2),则=,所以四边形ABCD为平行四边形.由C(0,4),D(-2,2),可得直线CD的方程为x-y+4=0,则点A到直线CD的距离d==3.又|CD|=2,所以S ABCD=|CD|·d=2×3=12.故选C.
对点演练2　(1)A　(2)x=2或3x-4y-10=0　[解析] (1)当线段AB最短时,直线AB与直线x+y-3=0垂直,此时点B为直线AB与直线x+y-3=0的交点.因为直线AB与直线x+y-3=0垂直,所以kAB=1,则直线AB的方程为y=x+1.由得所以B(1,2).故选A.
(2)①当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,此时原点到直线l的距离为|2-0|=2,满足题意.②当l的斜率存在时,设斜率为k,则l:y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由点到直线的距离公式得=2,解得k=,所以l:3x-4y-10=0.故所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
探究点三
例3　3x+y+1=0　[解析] 设直线l的斜率为k,因为直线l过点P(-1,2),
所以直线l的方程为y-2=k(x+1),即y=kx+2+k.由可得x=-;由可得x=.由题意可知P(-1,2)是截得的线段的中点,所以-+=2×(-1),可得k=-3,则直线l的方程为y=-3x+2-3,即3x+y+1=0.
例4　解:(1)由得∴B(2,0).
设点C(m,n),则M,
∴解得即C(3,1),
∴kAC==,故直线AC的方程为y=x,即x-3y=0.
(2)设B1(a,b),则BB1的中点坐标为,=-3,
∴解得故B1.
例5　9x-46y+102=0　[解析] 在直线m上取一点,不妨取M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在m'上.设M'(a,b),则
解得
即M'.设m与l的交点为N,则由得即N(4,3).又m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为=,即9x-46y+102=0.
例6　BD　[解析] 由题可知A,B在直线x+y-3=0的同侧,设点B关于直线x+y-3=0的对称点为B'(a,b),如图所示,
则解得即B'(1,-3).对于A,将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线AB',又A(2,4),所以直线AB'的方程为y-4=(x-2),即7x-y-10=0,故A错误;对于B,设将军在河边饮马的地点为M,则M为直线7x-y-10=0与直线x+y-3=0的交点,联立两直线方程解得M,故B正确;对于C,将军从河边回军营的路线所在直线为直线BM,又B(6,2),所以直线BM的方程为y-2=(x-6),即x-7y+8=0,故C错误;对于D,总路程为|MA|+|MB|=|MA|+|MB'|=|AB'|==5,所以“将军饮马”的总路程为5,故D正确.故选BD.
对点演练3　(1)C　(2)A　(3)B　(4)C
(5)-3　[解析] (1)因为点P(a,-b)与Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称,所以即解得所以ab=7×(-2)=-14.故选C.
(2)由题意知,AB的中点为,即,由点在直线l上,可得-+n-3=0,解得n=1,则直线l:x+y-3=0,斜率为-1.又直线AB与直线l垂直,所以kAB=1=,解得m=0.故选A.
(3)由解得
则交点为P.取直线x-y-2=0上一点A(0,-2),设点A关于直线l:3x-y+3=0的对称点为A'(x',y'),则由kAA'·kl=-1,且线段AA'的中点在直线l上,得解得故所求直线过点P,(-3,-1),所以所求直线方程为y+=,即7x+y+22=0.故选B.
(4)由题意得,直线l1∥l2∥l,又l1与l2关于l对称,∴直线l1,l2与直线l间的距离相等,∵l1,l2的方程可分别化为2x-4y+2=0,2x-4y+4=0,∴=,解得C=3.故选C.
(5)如图,设A(1,-2)关于直线x-y-1=0的对称点为E(m,n),则解得
则E(-1,0),于是|PA|-|PB|=|PE|-|PB|,
结合图形知,当B,E,P三点共线(即点P位于图中Q点处)时,|PE|-|PB|取得最小值,最小值为-|BE|=-3,即
|PA|-|PB|的最小值为-3.第44讲　两直线的位置关系
【课标要求】　
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:
位置关系 l1,l2满足 的条件 l3,l4满足 的条件
平行 　　　 　　　 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1,B1C2-B2C1中至少有一个不为0
垂直 　　　 A1A2+B1B2=0
相交 　　　 A1B2-A2B1≠0
2.两条直线的交点
设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的　　　　　　就是方程组的解.
(1)若方程组有唯一解,则两条直线　　　,此解就是　　　　　　;
(2)若方程组无解,则两条直线　　　　　　,此时两条直线　　　　,反之,亦成立.
3.距离公式
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|=||= 　　　　　　　
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d=| ·n|=　　　　　　　(其中n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,P1为直线l上任意一点)
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离 d=　　　　　
常用结论
(1)若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行,则所求直线的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0;与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
(2)若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0垂直,则所求直线的方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0;与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)若直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这个方程可以表示l1,但不能表示l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.
(4)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(5)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
(6)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
(7)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(8)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(9)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为. (　 )
(2)已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行,则a的值为-1或3. (　 )
(3)已知直线l1:mx+y-1=0,l2:(2m+3)x+my-1=0,m∈R,则“m=-2”是“l1⊥l2”的充要条件. (　 )
题组二　教材改编
1.若点A(4,0)与点B关于点(2,1)对称,则点B的坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,4) B.(0,2)
C.(-2,4) D.(4,-2)
2.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是　　　　(从锐角、直角、钝角中选填一个)三角形.
3.点(1,3)到直线3x-4y-1=0的距离为　　　　.
4.经过直线x+y-3=0和x-2y+3=0的交点,且与直线2x+y-7=0平行的直线的方程是　　　　　　　.
　两条直线的位置关系
例1 (多选题)[2025·湖南长沙长郡中学期中] 已知直线l1:ax-3y+1=0,l2:x-by+2=0,则 (　 )
A.若l1⊥l2,则=-3
B.若l1∥l2,则ab=3且a≠
C.若l1与坐标轴围成的三角形的面积为1,则a=±
D.当b<0时,l2不经过第一象限
总结反思
(1)掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2),l1∥l2 k1=k2,l1⊥l2 k1·k2=-1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况.
(2)若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0,l1∥l2 A1B2=A2B1,且A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1.
【对点演练1】 (1)[2026·四川绵阳模拟] 已知直线l1:2x-y+1=0与l2:x+ky-3=0垂直,则实数k的值为 (　 )
A.2 B.-2 C. D.-
(2)设a∈R,则“直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行”是“a=±1”的(　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　两条直线的交点与距离问题
例2 (1)[2026·云南昆明模拟] 若两平行直线l1:ax+8y=0与l2:3x+4y+b=0之间的距离是1,则a+b= (　 )
A.-4或11 B.-4或16
C.1或11 D.1或16
(2)已知四边形ABCD的顶点A,B,C,D的坐标分别为(1,-1),(3,1),(0,4),(-2,2),则四边形ABCD的面积为 (　 )
A.24 B.12 C.12 D.6
总结反思
(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式.
(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中x,y的系数对应相等.
【对点演练2】 (1)已知点A(0,1),点B在直线x+y-3=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为 (　 )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-1,4) D.
(2)[2026·湖北随州期中] 已知点P(2,-1),则过点P且与原点的距离为2的直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　.
　对称问题
题型1　点关于点对称
例3 已知直线l的斜率存在,且被直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的一般式方程为　　　　　　　.
总结反思
求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题,主要依据A是线段PP'的中点来求解.
设P(x0,y0),对称中心为A(a,b),则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0).
题型2　点关于线对称
例4 [2025·广东深圳联考] 已知△ABC的顶点A的坐标为(0,0),边BC所在直线的方程为x-y-2=0,边AC上的中线BM所在直线的方程为x+y-2=0.
(1)求边AC所在直线的方程;
(2)求点B关于直线AC的对称点B1的坐标.



总结反思
设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y).
(1)当直线l的斜率不存在时,设直线l:x=t,则
(2)当直线l的斜率为0时,设直线l:y=t,则
(3)当直线l的斜率存在且不为0时,设l:Mx+Ny+C=0,由可求出(x,y).
题型3　线关于线对称
例5 已知直线l:2x-3y+1=0,则直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程为　　　　　　　　.
总结反思
(1)求直线的对称直线,本质上是求点的对称点的问题,取已知直线上两个不同的点,那么这两个点关于对称轴对称的点一定在对称直线上;
(2)求两条直线的对称轴:①若两条直线互相平行,则对称轴为与两条直线平行且等距的直线;②若两条直线不平行,则对称轴为两条相交直线的角平分线.
题型4　对称问题的应用
例6 (多选题)“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回军营,怎样走才能使总路程最短的问题.在平面直角坐标系中,设将军的出发点为A(2,4),军营所在位置为B(6,2),河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马,再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短,则 (　 )
A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x-y-8=0
B.将军在河边饮马的地点的坐标为
C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x-6y+6=0
D.“将军饮马”走过的总路程为5
总结反思
(1)利用对称性解决线段和差的最值问题的主要方法是将线段的和差转化为两点间的距离,从而得到最大(或最小)值;
(2)光线的入射与反射问题是对称性的典型问题,常用对称性来求入射与反射光线所在直线的方程、经过的点的坐标及光线经过的路程等.
【对点演练3】 (1)已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称,则ab= (　 )
A.-5 B.14 C.-14 D.5
(2)若点A(m,4)和点B(-1-m,3)关于直线l:x+ny-3=0对称,则 (　 )
A.m=0,n=1 B.m=1,n=1
C.m=0,n=-1 D.m=1,n=-1
(3)[2025·江苏苏州模拟] 直线x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线方程为 (　 )
A.7x-y-22=0 B.7x+y+22=0
C.6x-y+22=0 D.6x+y+22=0
(4)[2026·广东深圳期末] 已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x-2y+2=0关于直线l:2x-4y+C=0对称,则C的值为 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
(5)已知点P在直线x-y-1=0上,点A(1,-2),B(2,6),则|PA|-|PB|的最小值为　　　　.

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