资源简介

第45讲　圆的方程
【课标要求】　回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
1.圆的定义及方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准 方程 　　　　　　　　　　　(r>0) 圆心为　　　　, 半径为　　　
一般 方程 　　　　　　　　　　　(D2+E2-4F>0) 圆心为,半 径为
参数 方程 (θ为参数,r>0) 圆心为　　　　, 半径为　　　　
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)之间存在着下列关系:
(1)|MC|>r M在圆外,即　　　　　　　　　　　　　　　　;
(2)|MC|=r M在圆上,即　　　　　　　　　　　　　　　　;
(3)|MC|常用结论
1.常见圆的方程的设法:
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0
2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
3.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
4.圆心在任一弦的垂直平分线上.
5.圆心到圆上任一点的距离等于半径.
6.平面内到两定点的距离之比为定值(不等于1)的点的轨迹是圆.
拓展:阿波罗尼斯圆
(1)定义:在平面上给定两点A,B,设点P在同一平面上且满足=λ,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆.(当λ=1时,点P的轨迹是线段AB的中垂线)
(2)证明:设P(x,y),A(-a,0),B(a,0),由|PA|=λ|PB|及两点间距离公式,可得(x+a)2+y2=+y2],
化简可得(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+2(1+λ2)ax+(1-λ2)a2=0①.
(i)当λ=1时,方程①为x=0,此时动点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
(ii)当λ≠1时,方程①两边都除以1-λ2,得x2+y2++a2=0,化成标准形式为+y2=,所以点P的轨迹是圆心为,半径r=的圆.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(　 )
(2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),则圆心为(a,b),半径为m. (　 )
(3)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆. (　 )
(4)若二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可以表示圆,则此圆的圆心为,半径为. (　 )
题组二　教材改编
1.圆x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为　　　　,半径为　　　　.
2.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是　　　　　　　　　　　　,一般方程为　　　　　　　　　　　　　.
3.已知两点A(4,9)和B(6,3),则以AB为直径的圆的标准方程是　　　　　　　　.
4.若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围是　　　　.
5.已知长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹方程是　　　　　　.
　圆的方程
例1 (1)[2026·浙江宁波模拟] “关于x,y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的 (　 )
A.必要不充分条件
B.充要条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)过A(2,0),B(0,4),C(2,4)三点的圆的标准方程是 (　 )
A.(x-1)2+(y-2)2=
B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.(x+1)2+(y-2)2=10
D.(x-1)2+(y-2)2=10
总结反思
求圆的方程的两种方法:
(1)求解圆心及半径,可直接写出圆的标准方程;
(2)待定系数法,可根据已知条件列方程(组),进而求出待定的系数,得到圆的一般方程.
【对点演练1】 (1)已知m,n是方程x2+x-2=0的两个不等实数根,则点P(m,n)与圆C:x2+y2=8 的位置关系是 (　 )
A.点P在圆内 B.点P在圆上
C.点P在圆外 D.无法确定
(2)[2026·湖南永州期末] 圆C的圆心在y轴上,且过A(3,1),B(-3,5)两点,则圆C的标准方程为 (　 )
A.x2+(y-1)2=17 B.x2+(y-3)2=17
C.x2+(y+1)2=13 D.x2+(y-3)2=13
　与圆有关的最值问题
题型1　借助几何性质求最值
例2 (多选题)已知圆M:x2+y2+2y-2=0,点P(a,b)是圆M上的动点,则 (　 )
A.a+b的最大值为-1
B.a(b+1)的最大值为3
C.a2+b2的最小值为-1
D.的最大值为
总结反思
1.借助几何性质求最值的三种情况:
①形如μ=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
2.也可根据三角函数的有界性,利用圆的参数方程求解有关圆的最值问题.
题型2　建立函数关系式求最值
例3 [2025·河北唐山质检] 已知圆O:x2+y2=4的两条弦AB,CD互相垂直,且交于点M(1,),则|AB|+|CD|的最大值为　　　　.
总结反思
建立函数关系式求最值,就是根据题目条件列出关于所求目标式子对应的函数关系式,然后根据关系式的特征选用适当的方法求最值,利用不等式求最值是比较常用的.
题型3　利用对称性求最值
例4 已知点O是坐标原点,点Q是圆C:(x-3)2+(y+4)2=1上的动点,点P在直线x+y+4=0上,则当|PQ|+|PO|取到最小值时,·= (　 )
A.7 B.6
C.5 D.4
总结反思
求解形如|PA|+|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两条线段之和,一般要通过对称性解决.
【对点演练2】 (1)[2026·湖南长沙模拟] 已知动点P在直线l:x-y-1=0上,点O是坐标原点,点Q是圆C:(x-3)2+(y+1)2=1上的动点,则|PQ|-|PO|的最大值为 (　 )
A.2 B. C.3 D.4
(2)(多选题)[2026·广东深圳模拟] 已知圆C:x2+y2-6x-4y+5=0,则下列说法正确的是 (　 )
A.y-x的最大值为3
B.x+y的最大值为7
C.的最大值为6+2
D.x2+y2的最大值为21+4
(3)[2025·江苏南京师大附中期中] 已知点A(1,2),B(-1,-2),点P满足·=4.
①求点P的轨迹Γ的方程;
②过点Q(-2,0)作直线MN与直线RS,交曲线Γ于M,N,R,S四点,且MN⊥RS,求四边形MRNS面积的最大值与最小值.


　与圆有关的轨迹问题
例5 (1)[2026·山东泰安模拟] 已知点P在圆(x-2)2+y2=1上运动,O为坐标原点,则线段OP的中点的轨迹方程为 (　 )
A.(x-1)2+y2= B.(x-1)2+y2=
C.(x-1)2+y2=1 D.(x-2)2+y2=
(2)过圆O:x2+y2=16外一点M(2,-6)任意引一条割线交圆于A,B两点,则弦AB的中点C的轨迹是　.
总结反思
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程;
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程;
(3)几何法:利用圆的几何性质列方程;
(4)代入法:找到要求点的坐标与已知点的坐标的关系,将要求点的坐标代入已知点坐标满足的关系式.
【对点演练3】 (1)方程|x|-2=所表示的图形是 (　 )
A.一个圆 B.一个半圆
C.两个圆 D.两个半圆
(2)已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
①求线段AP中点的轨迹方程;
②若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.


第45讲　圆的方程
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(x-a)2+(y-b)2=r2　(a,b)　r
x2+y2+Dx+Ey+F=0　(a,b)　r
2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2 M在圆外
(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2 M在圆上
(3)(x0-a)2+(y0-b)2【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)只要确定了圆的圆心坐标和圆的半径,即可得到圆的标准方程.
(2)当m<0时,圆的半径为-m.
(3)因为x2+y2-4x-2y+5=(x-2)2+(y-1)2=0,所以方程x2+y2-4x-2y+5=0表示点(2,1),不表示圆.
(4)将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为圆的标准方程,得+=,则可知圆的圆心为,半径为.
题组二
1.(1,2)　1　[解析] 由x2+y2-2x-4y+4=0,得(x-1)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(1,2),半径为1.
2.(x-1)2+(y-1)2=2　x2+y2-2x-2y=0　[解析] ∵点(1,1)为圆心,且圆经过原点,∴半径r==,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2,则圆的一般方程为x2+y2-2x-2y=0.
3.(x-5)2+(y-6)2=10　[解析] 由题意得所求圆的圆心为线段AB的中点(5,6),半径为==,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.
4.(-,)　[解析] ∵点(0,0)在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,∴(0-m)2+(0+m)2<4,解得-5.x2+y2=1　[解析] 设线段AB的中点为P(x,y),O为坐标原点.若A,B不与原点重合,则△ABO是直角三角形,且∠AOB为直角,则|OP|=·|AB|=1,则点P的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,除去与坐标轴的交点后,剩余的四段弧;若A,B有一个是原点,则点P的轨迹是点(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1).综上,线段AB的中点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,方程是x2+y2=1.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)B　[解析] (1)方程x2+y2+mx+4y+8=0可化为+(y+2)2=-4,所以当原方程表示圆时,需满足-4>0,则m>4或m<-4.因为{m|m>4} {m|m>4或m<-4},所以“关于x,y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的必要不充分条件,故选A.
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分别将点A,B,C的坐标代入方程,得解得所以圆的一般方程为x2+y2-2x-4y=0,标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.故选B.
对点演练1　(1)C　(2)D　[解析] (1)因为m,n是方程x2+x-2=0的两个不等实数根,且Δ=-4×(-2)=14>0,所以则m2+n2=(m+n)2-2mn=6-2×(-2)=10>8,所以点P(m,n)在圆C:x2+y2=8外.故选C.
(2)因为圆C的圆心在y轴上,所以可设圆C的圆心为(0,b),半径为r,则圆C的标准方程为x2+(y-b)2=r2,因为点A,B在圆C上,所以整理得
解得所以圆C的标准方程为x2+(y-3)2=13.故选D.
探究点二
例2　AD　[解析] 方法一:由圆M:x2+y2+2y-2=0得x2+(y+1)2=3,则圆心M(0,-1),半径r=,因为点P(a,b)是圆M上的动点,所以a2+(b+1)2=3.对于A,令z=a+b,则b=-a+z,故问题转化为直线l:y=-x+z与圆M有公共点时,求直线l在y轴上的截距z的最大值.显然,当直线l与圆M相切时,截距z取得最大值或最小值,所以=,解得z=-1或z=--1,所以截距z的最大值为-1,故a+b的最大值为-1,故A正确.对于B,因为a2+(b+1)2=3,所以2a(b+1)≤a2+(b+1)2=3,当且仅当a=b+1=±时,等号成立,所以a(b+1)≤,即a(b+1)的最大值为,故B错误.对于C,a2+b2可看作是点O(0,0)到圆M上的点的距离d的平方,如图,
因为|OM|=1,所以dmin=r-|OM|=-1,故===4-2,故C错误.
对于D,将看作是点Q(2,-1)与圆M上的点的连线m的斜率k,则直线m的方程为y+1=k(x-2),即kx-2k-y-1=0,由题意可知,圆心M到直线m的距离d'≤r,则≤r=,解得-≤k≤,故k的最大值为,即的最大值为,故D正确.故选AD.
方法二:由圆M:x2+y2+2y-2=0得x2+(y+1)2=3,则圆心为M(0,-1),半径r=,因为点P(a,b)是圆M上的动点,所以设
(θ为参数).对于A,a+b=cos θ-1+sin θ=sin-1,因为sin≤1,所以a+b≤-1,故a+b的最大值为-1,故A正确;对于B,a(b+1)=cos θ(-1+sin θ+1)=sin 2θ≤,故B错误;对于C,a2+b2=+=4-2sin θ≥4-2,故C错误;对于D,将看作是点Q(2,-1)与圆M上的点的连线m的斜率k,则直线m的方程为y+1=k(x-2),即kx-2k-y-1=0,由题意可知,圆心M到直线m的距离d'≤r,则≤r=,解得-≤k≤,故k的最大值为,即的最大值为,故D正确.故选AD.
例3　2　[解析] 由题可知,圆心O(0,0),半径r=2,|OM|=,设圆心O到弦AB的距离为x(0≤x≤),则到弦CD的距离为,所以|AB|=2,|CD|=2,则|AB|+|CD|=2(+)≤2=2,当且仅当4-x2=1+x2,即x=时取等号,所以|AB|+|CD|的最大值为2.
例4　D　[解析] 设点O(0,0)关于直线x+y+4=0对称的点为A(m,n),则解得m=n=-4,即A(-4,-4).由题意可知,圆C:(x-3)2+(y+4)2=1的圆心为C(3,-4),半径r=1,则|PQ|+|PO|=|PQ|+|PA|≥|PC|+|PA|-1,当且仅当点Q在线段PC上时,等号成立.
又因为|PC|+|PA|≥|AC|=7,当且仅当P,A,C三点共线时,等号成立.综上所述,当且仅当P(0,-4),Q(2,-4)时,|PQ|+|PO|取得最小值6,此时·=(2,0)·(2,-4)=4.故选D.
对点演练2　(1)C　(2)ACD　[解析] (1)由题意知|PQ|max=|PC|+1,因此(|PQ|-|PO|)max=1+(|PC|-|PO|)max.设点C(3,-1)关于直线l的对称点为C'(a,b),则
解得即C'(0,2),因此|PC|-|PO|=|PC'|-|PO|≤|OC'|=2,当且仅当点P,O,C'共线,且点O在线段PC'上时取等号,所以(|PC|-|PO|)max=2,则(|PQ|-|PO|)max=1+2=3.故选C.
(2)方程x2+y2-6x-4y+5=0可化为(x-3)2+(y-2)2=8,设x=2cos θ+3,y=2sin θ+2,θ∈[0,2π).对于A,y-x=2sin θ-2cos θ-1=4sin-1,当θ=时,y-x取得最大值3,故A正确;对于B,x+y=2cos θ+2sin θ+5=4sin+5,当θ=时,x+y取得最大值9,故B错误;对于C,设=k,则y=kx,易知圆心C(3,2),半径为2,则圆心到直线y=kx的距离小于或等于半径,即≤2,所以k2-12k-4≤0,得6-2≤k≤6+2,所以的最大值为6+2,故C正确;对于D,x2+y2可以看作是圆上某点P到原点的距离的平方,可得|OP|2≤(|OC|+r)2==21+4,故D正确.故选ACD.
(3)解:①设P(x,y),则4=·=(1-x,2-y)·(-1-x,-2-y),
即(1-x)(-1-x)+(2-y)(-2-y)=x2+y2-5=4,即x2+y2=9,
故点P的轨迹方程为x2+y2=9.
②如图,设点O到MN的距离为m,点O到RS的距离为n,
则S四边形MRNS=
|MN|·|RS|=2·.
因为MN⊥RS,所以m2+n2=|OQ|2=4,
所以S四边形MRNS=2=2(0≤m2≤4).
因为0≤m2≤4,所以-2≤m2-2≤2,则0≤≤4,
所以S四边形MRNS∈[6,14],所以四边形MRNS面积的最大值为14,最小值为6.
探究点三
例5　(1)A　(2)以(1,-3)为圆心、为半径,且位于圆O内的一段圆弧　[解析] (1)设线段OP的中点为Q(x,y),P(x0,y0),可得则P(2x,2y), 因为点P在圆(x-2)2+y2=1上运动,所以(2x-2)2+(2y)2=1,即(x-1)2+y2=,所以线段OP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=.故选A.
(2)如图所示,设弦AB的中点C的坐标为(x,y),连接OC,由|OA|=|OB|,
|AC|=|CB|,可得OC⊥AB,即OC⊥MC,得·=0.又=(x,y),=(x-2,y+6),所以x(x-2)+y(y+6)=0,即(x-1)2+(y+3)2=10.因此点C的轨迹是以(1,-3)为圆心、为半径,且位于圆O内的一段圆弧.
对点演练3　(1)D　[解析] 由题意知|x|-2≥0,故x≥2或x≤-2. 当x≥2时,方程为x-2=,平方可得(x-2)2+(y-1)2=1,此时方程表示圆心为(2,1),半径为1的圆的右半部分;当x≤-2时,方程为-x-2=,平方可得(x+2)2+(y-1)2=1,此时方程表示圆心为(-2,1),半径为1的圆的左半部分.故选D.
(2)解:①设线段AP的中点M的坐标为(x,y),P的坐标为(x0,y0)(x0≠2),
则由题意得∴
又P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,化简得(x-1)2+y2=1(x≠2),
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
②设PQ的中点为N(x1,y1),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
∴+++=4,
化简得+-x1-y1=1,
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

展开更多......

收起↑