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第46讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
【课标要求】　
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ　　　0 Δ　　　0 Δ　　　0
几何观点 d　　　r d　　　r d　　　r
2.圆与圆的位置关系
设圆O1,O2的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
数量的 关系 　　 　　 　　 　　 　　
公切线 条数 4 3 2 1 0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,则|AB|=2.
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,联立直线与圆的方程,消去y,得关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系,得到xM+xN,xMxN,则|MN|=·.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,若两圆相交,则有一条公共弦,该公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),其中不含圆C2的方程,所以注意检验圆C2的方程是否满足题意,以防丢解.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在圆中最长的弦是直径. (　 )
(2)“k=-1”是“直线x+y-k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件. (　 )
(3)若两个圆的方程所组成的方程组没有实数解,则两圆外离. (　 )
(4)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交. (　 )
题组二　教材改编
1.已知点A(,)是圆x2+y2=r2上的一点,则过A的圆的切线方程是　　　　　.
2.已知直线l:3x+y-6=0与圆C:x2+y2-2y-4=0,则直线l被圆C截得的弦长为　　　　.
3.圆x2+y2-6y+8=0与圆x2+y2-4=0的位置关系是　　　　,这两个圆有　　　　条公切线.
4.已知直线y=x+m与圆(x-2)2+(y-3)2=2相切,则m的值为　　　　.
　直线与圆的位置关系
例1 (1)已知直线l:ax+2y+a+4=0与圆C:x2+y2+2y-2=0,则直线l与圆C的位置关系是 (　 )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
(2)已知直线l:y=x+b,☉O:x2+y2=4,则“|b|<2”是“直线l与☉O相交”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
总结反思
判断直线与圆的位置关系的常用方法:
(1)若易求出圆心到直线的距离d,则用几何法,利用d与半径r的大小关系判断;
(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断.
能用几何法求解的,尽量不用代数法.
【对点演练1】 (1)若直线y=x+a+1与圆C:x2+(y-2a)2=a2相离,则a的取值范围是(　 )
A. B.(-∞,0)∪
C. D.
(2)[2026·贵州毕节期末] 若直线y=k(x-2)与曲线C:y=恰有两个公共点,则实数k的取值范围为 (　 )
A.[0,) B.
C.(-,0] D.
　圆的弦长与切线问题
题型1　圆的弦长
例2 (1)直线y=x被圆x2+y2-2x-2y=0截得的弦长为 (　 )
A. B.2 C.2 D.4
(2)已知点A,B为圆C: x2+y2-8y+4=0上两点,|AB|=,点P为线段AB的中点,则|CP|= (　 )
A. B. C. D.
总结反思
直线被圆截得的弦长的两种求法
(1)代数法:将直线和圆的方程联立,根据弦长公式求弦长.
(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径为r,则弦长l=2.
【对点演练2】 (1)若直线l:x+y-m=0(m>0)被圆C:(x-1)2+(y+1)2=4截得的弦长为2,则m= (　 )
A.±2 B. C.2 D.2
(2)若直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)与圆C:x2+y2+4y-12=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　 )
A. B. C.2 D.2
题型2　圆的切线方程
例3 (1)过圆O:x2+y2=1外的点P(3,3)作O的一条切线,切点为A,则|AP|= (　 )
A.2 B. C.3 D.5
(2)已知圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)经过点P(2,2),则圆在点P处的切线方程为 (　 )
A.x+y-4=0 B.x+y=0
C.x-y=0 D.x-y-4=0
总结反思
求圆的切线方程时常用的两种方法:
(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.
(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数,解决问题.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过点M的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
【对点演练3】 (1)[2025·安徽皖南八校联考] 已知过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-2y+1=0相切的两条直线的夹角为α,则tan α=(　 )
A. B. C. D.
(2)与圆(x-2)2+y2=2相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有 (　 )
A.2条 B.3条
C.4条 D.6条
题型3　与圆的切线有关的最值(范围)问题
例4 (1)已知圆C过点(4,2),(2,0),(6,0),点M在直线y=x上,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则四边形ACBM面积的最小值为 (　 )
A.3 B.3 C.4 D.4
(2)过圆O:x2+y2=9上一点P作圆M:(x-1)2+(y-1)2=1的两条切线PA,PB,切点为A,B,当∠APB最大时,直线AB的斜率为 (　 )
A.- B. C.-1 D.1
总结反思
与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题,解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,再利用求函数取值范围(或最值)的方法求得结果.
【对点演练4】 (1)过直线x+y=4上一动点M,向圆O:x2+y2=4引两条切线,A,B为切点,则圆O上的动点P到直线AB的距离的最大值等于 (　 )
A.1+ B.2+
C.+ D.3+
(2)已知点P是直线l:x+y+4=0上一动点,过点P作圆C:(x+1)2+(y+1)2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·的最小值为 (　 )
A.0 B.1 C. D.2
　圆与圆的位置关系
例5 (1)已知圆E:x2+y2-6x-8y=0,圆F:x2+y2-2x-4y+4=0,则这两圆的位置关系为 (　 )
A.内含 B.相切
C.相交 D.外离
(2)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-4x+4y=a的公共弦长为2,则a的值为 (　 )
A.12或4 B.12或-4
C.16或4 D.16或-4
总结反思
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
(3)求两圆公共弦长时,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.
【对点演练5】 (1)[2026·浙江杭州期末] 圆C1:(x-2)2+y2=4,圆C2:x2+y2-4y=0,则圆C1与C2 (　 )
A.相离
B.有3条公切线
C.关于直线x-y=0对称
D.公共弦所在直线方程为x+y+1=0
(2)[2026·浙江名校协作体联考] 圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-2x+2y-6=0的公共弦长为 (　 )
A.2 B. C. D.
　隐圆问题
例6 (1)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(cos θ,sin θ),θ∈R,则P到直线y=x-2的距离的最大值为 (　 )
A.1 B.2 C.2 D.3
(2)已知P为直线l:x+y-2=0上的动点,过点P作圆C:x2+2x+y2=0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则当|PC|·|AB|最小时,直线AB的方程为　　　　　　　　　.
总结反思
隐圆问题常见类型:
1.利用圆的定义(|PA|=λ(λ为大于0的定值),P为动点,A为定点)确定隐形圆;
2.利用关系式(·=λ,其中λ为定值,A,B是定点,P是动点)确定隐形圆;
3.转化为阿波罗尼斯圆;
4.已知点P(a+rcos θ,b+rsin θ)(r>0),则点P在(x-a)2+(y-b)2=r2上.
【对点演练6】 (1)[2025·江苏南京联考] 已知点P(-m,0),Q(m,0),若圆(x-5)2+(y-12)2=4上存在点R,使得∠PRQ=90°,则正实数m的取值范围是 (　 )
A.[11,15] B.[11,17]
C.[9,15] D.[9,17]
(2)[2026·河北廊坊期末] 已知点M,N在圆x2+y2-2y-3=0上,点P在直线x-y-
3=0上,点Q为线段MN的中点,若|MN|=2,则|PQ|的最小值为 (　 )
A. B.2-
C.2- D.第46讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.<　=　>　>　=　<
2.d>R+r　d=R+r　R-r【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)任意两条不过圆心的弦AB,AC和直径BC组成直角三角形ABC,直径BC为斜边,肯定比任一直角边(即弦)长.
(2)当k=-1时,直线x+y-k=0与圆x2+y2=1相交;反之,当直线x+y-k=0与圆x2+y2=1相交时,<1,则-(3)若两个圆的方程所组成的方程组没有实数解,则两圆外离或内含.
(4)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆可能内含、内切或相交.
题组二
1.x+y-3=0　[解析] ∵点A(,)是圆x2+y2=r2上的一点,∴()2+()2=r2,即r2=9.圆x2+y2=9的圆心为O(0,0),直线OA的斜率kOA==,∵直线OA与过A的圆的切线垂直,∴过A的圆的切线斜率是-=-,∴过点A的圆的切线方程是y-=-(x-),即x+y-3=0.
2.　[解析] 方法一:由
消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,所以直线l与圆C相交,有两个公共点,设这两个公共点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),把x1=1,x2=2分别代入3x+y-6=0,得y1=3,y2=0,所以直线l与圆C的两个交点分别为A(1,3),B(2,0),则|AB|=
=.
方法二:圆C:x2+y2-2y-4=0的圆心为C(0,1),半径r=,因为圆心C到直线l:3x+y-6=0的距离d==<,所以直线l被圆C截得的弦长为2×=.
3.外切　3　[解析] 两圆的方程x2+y2-6y+8=0,x2+y2-4=0可分别化为x2+(y-3)2=1,x2+y2=4,则两圆圆心分别为O1(0,3),O2(0,0),半径分别为r1=1,r2=2.连接O1O2,因为|O1O2|=3=r2+r1,所以两圆外切,这两个圆有3条公切线.
4.3或-1　[解析] 圆(x-2)2+(y-3)2=2的圆心为(2,3),半径为,由题意知,点(2,3)到直线x-y+m=0的距离d==,整理得|m-1|=2,解得m=3或m=-1.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)A　[解析] (1)由题意可得直线l:a(x+1)+2y+4=0过定点A(-1,-2).因为(-1)2+(-2)2+2×(-2)-2=-1<0,所以点A(-1,-2)在圆C内,则直线l与圆C相交.故选C.
(2)由直线l:x-y+b=0与☉O:x2+y2=4相交,得<2,解得|b|<2.因为|b|<2能推出|b|<2,|b|<2不能推出|b|<2,所以“|b|<2”是“直线l与☉O相交”的充分不必要条件.故选A.
对点演练1　(1)B　(2)D　[解析] (1)方法一:由题知圆C的圆心为C(0,2a),半径R=,C(0,2a)到直线x-y+a+1=0的距离d=>,解得a<.又R=>0,所以a∈(-∞,0)∪.故选B.
方法二:由题意,联立消去y,得4x2-2(a-1)x+=0,由题可知Δ=12(a-1)2-4(3a2-8a+4)=8a-4<0,则a<.又圆C的半径>0,所以a∈(-∞,0)∪.故选B.
(2) 由y=得x2+y2=1(y≥0),所以曲线C是半圆,圆心为O(0,0),半径为1.直线y=k(x-2)经过定点P(2,0),如图,
当直线与半圆相切时,M为切点,k=tan∠MPx=-tan∠MPO=-=-,由图可知,直线与曲线C恰有两个公共点时,k∈.故选D.
探究点二
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)由x2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2=2,可得圆的圆心为(1,1),半径为.因为圆心(1,1)到直线x-y=0的距离d==0,所以直线y=x经过圆心,所以直线y=x被圆x2+y2-2x-2y=0截得的弦长为圆的直径,即2.故选C.
(2)由题可得圆的圆心为C(0,4),半径R==2.因为点P为线段AB的中点,|AB|=,所以|CP|===.故选C.
对点演练2　(1)C　(2)C　[解析] (1)因为圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,所以圆心为C(1,-1),半径为2.圆心到直线l:x+y-m=0(m>0)的距离d==.因为直线l被圆C截得的弦长为2,所以2=2,解得m=2.故选C.
(2)由(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)可得x+y-2+λ(3x+y-4)=0,令解得故直线l过定点M(1,1).又12+12+4-12<0,所以M(1,1)在圆C内.
由x2+y2+4y-12=0可得x2+(y+2)2=16,故圆心为C(0,-2),半径为4.如图,连接CM,当CM与l垂直时,|AB|最小,因为|CM|==,所以由垂径定理得|AB|min=2=2.故选C.
例3　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题意可知,圆O的圆心为O(0,0),半径r=1,所以|AP|2=|OP|2-r2=18-1=17,故|AP|=.故选B.
(2)因为圆(x-1)2+(y-1)2=r2经过点P(2,2),所以(2-1)2+(2-1)2=r2,所以r2=2,则圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
方法一:令此圆的圆心为C(1,1),则kCP==1,所以圆在点P处的切线斜率k=-1.又因为切线过点P(2,2),所以切线方程为y-2=-(x-2),整理得x+y-4=0.故选A.
方法二:圆在点P处的切线方程为(2-1)(x-1)+(2-1)(y-1)=2,即x+y-4=0.故选A.
对点演练3　(1)D　(2)B　[解析] (1)x2+y2-4x-2y+1=0变形为(x-2)2+(y-1)2=4,故圆心为(2,1),半径为2,所以点(0,-2)到圆心的距离为=,则切线长为=3,所以tan=,则tan α===.故选D.
(2)①当直线不经过原点时,设直线方程为x+y-a=0,a≠0.因为该直线与圆(x-2)2+y2=2相切,所以=,化简得|a-2|=2,解得a=4或a=0(舍去).此时只有一条直线符合题意,该直线的方程为x+y-4=0.②当直线经过原点时,设直线方程为y=kx,即kx-y=0.因为直线与圆(x-2)2+y2=2相切,所以=,化简得k2-1=0,解得k=±1.此时有两条直线符合题意,这两条直线的方程分别为y=x,y=-x.综上,共有3条直线符合题意.故选B.
例4　(1)C　(2)C
[解析] (1) 显然过点(4,2),(2,0)的直线斜率为1,过点(4,2),(6,0)的直线斜率为-1,即以点(4,2),(2,0),(6,0)为顶点的三角形为直角三角形,因此圆C的圆心为C(4,0),半径为2,如图.
点C(4,0)到直线x-y=0的距离d==2,又点M在直线y=x上,所以|MC|≥d=2.由过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,得四边形ACBM的面积S=2S△ACM=2××|AC|×|AM|=2|AM|=2≥2=4,所以四边形ACBM面积的最小值为4.故选C.
(2)由题可知∠APB=2∠APM,当∠APB最大时,∠APM最大.易知|MA|=1,在直角三角形AMP中,当|PM|最短时,∠APM最大.而|OM|+|PM|≥|OP|,当且仅当O,M,P三点共线时|PM|最小,又AB⊥OM,kOM=1,所以直线AB的斜率为-1.故选C.
对点演练4　(1)B　(2)A　[解析] (1)设M(a,b),则a+b=4.如图,连接OA,OB,则MA⊥OA,MB⊥OB,则点A,B在以OM为直径的圆上.以OM为直径的圆的方程是+=(a2+b2),圆O的方程为x2+y2=4,联立两个圆的方程,可得直线AB的方程为ax+by=4,即ax+by-4=0.因为a+b=4,所以b=4-a,代入直线AB的方程,得ax+(4-a)y-4=0,即a(x-y)+4y-4=0.当x=y且4y-4=0,即x=1,y=1时该方程恒成立,所以直线AB过定点N(1,1),点P到直线AB的距离的最大值即为点O,N之间的距离加上圆的半径2.又|ON|==,所以动点P到直线AB的距离的最大值为+2,故选B.
(2)圆C:(x+1)2+(y+1)2=1的圆心为C(-1,-1),半径为1,点C到直线l:x+y+4=0的距离d==.如图所示,
连接AC,BC,由圆的几何性质可得AC⊥AP,BC⊥BP,由切线长定理可得|PA|=|PB|,又因为|AC|=|BC|,|PC|=|PC|,所以Rt△PAC≌Rt△PBC,则∠APC=∠BPC.设∠APC=∠BPC=θ,则∠APB=2θ,sin θ==,|PA|==,所以·=||·||cos 2θ=(1-2sin2θ)=(|PC|2-1)=|PC|2+-3.由图可知,当PC⊥l时,|PC|取最小值,即|PC|2≥d2=2.由对勾函数的单调性可知,函数y=x+-3在[2,+∞)上单调递增,故当|PC|=,即CP⊥l时,·取得最小值,且最小值为2+-3=0.故选A.
探究点三
例5　(1)A　(2)B　[解析] (1)根据题意,化简得圆E:(x-3)2+(y-4)2=25,圆心为E(3,4),半径r1=5,圆F:(x-1)2+(y-2)2=1,圆心为F(1,2),半径r2=1,圆心距|EF|==2(2)两圆方程作差可得4x-4y=4-a,即公共弦所在直线方程为4x-4y+a-4=0.由圆C1:x2+y2=4,得圆心C1(0,0),半径r1=2,点C1到公共弦所在直线的距离d=,则公共弦长为2=2,则4-=2,解得a=12或-4.由圆C2:x2+y2-4x+4y=a,整理可得(x-2)2+(y+2)2=a+8,所以a+8>0,所以a=12或-4符合题意.故选B.
对点演练5　(1)C　(2)C　[解析] (1)圆C1:(x-2)2+y2=4的圆心C1(2,0),半径r1=2,圆C2:x2+(y-2)2=4的圆心C2(0,2),半径r2=2=r1.因为|C1C2|=2∈(0,r1+r2),所以圆C1与圆C2相交,有2条公切线,A,B错误;对于D,两圆方程相减得公共弦所在直线方程为x-y=0,D错误;对于C,易得线段C1C2的中垂线的斜率为1,且过线段C1C2的中点(1,1),则该中垂线方程为x-y=0,又圆C1与圆C2的半径相等,所以它们关于直线x-y=0对称,C正确.故选C.
(2)圆x2+y2-4=0的圆心为(0,0),半径r=2,
联立x2+y2-4=0与x2+y2-2x+2y-6=0得公共弦所在直线方程为x-y+1=0,圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d==,故公共弦长为2=
2=,故选C.
探究点四
例6　(1)D　(2)3x+3y+1=0　[解析] (1)因为cos2θ+sin2θ=1,所以点P在圆x2+y2=1上,该圆的圆心为点(0,0),半径r=1,圆心到直线x-y-2=0的距离d==2,因此P到直线y=x-2的距离的最大值为d+r=2+1=3.故选D.
(2)圆C:x2+2x+y2=0的圆心为C(-1,0),半径r=1,
因为PA⊥AC,PB⊥BC,所以A,P,B,C四点在以PC为直径的圆上,且AB⊥PC,
所以|PC|·|AB|=4S△PAC=4××|PA|×|AC|=2|PA|.
又|PA|=,所以|PC|取最小值时,|PA|也取最小值.易知当直线PC⊥l时,|PC|取得最小值,
此时|PC|·|AB|取得最小值,且直线PC的方程为y=x+1.
由解得即P,
则以PC为直径的圆的方程为(x+1)+y=0,
将两圆方程(x+1)+y=0与x2+2x+y2=0作差,得3x+3y+1=0,即直线AB的方程为3x+3y+1=0.
对点演练6　(1)A　(2)B　[解析] (1)圆(x-5)2+(y-12)2=4的圆心为(5,12),半径为2.由题意得点R在以线段PQ为直径的圆上.∵P(-m,0),Q(m,0),∴以线段PQ为直径的圆的方程为x2+y2=m2,圆心为(0,0),半径为m.∵圆(x-5)2+(y-12)2=4上存在点R,使得∠PRQ=90°,∴两圆有交点,又m为正数,∴|m-2|≤≤m+2,∴11≤m≤15,即m的取值范围是[11,15].故选A.
(2)由题意可得圆的标准方程为x2+(y-1)2=4,其圆心为C(0,1),半径r=2.又|MN|=2,所以由垂径定理可得|CQ|==,故点Q在以C(0,1)为圆心,为半径的圆上.
因为点C到直线x-y-3=0的距离d==2,所以|PQ|的最小值为d-r=2-,故选B.

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