资源简介

第47讲　椭圆
【课标要求】　
1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
3.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
4.了解椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作　　　　.这两个定点叫作椭圆的　　　　,两焦点间的距离叫作椭圆的　　　　.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若　　　　,则集合P为椭圆;
(2)若　　　　,则集合P为线段;
(3)若　　　　,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
图形
性质 范围 　　　　　　, 　　　　　 　　　　　　, 　　　　　
对称性 对称轴:　　　 对称中心:　　　
顶点 A1　 　,A2　 　, B1　　　,B2 　　 A1　 　,A2　 　, B1　 　,B2　 　
轴 长轴A1A2的长为　　　 短轴B1B2的长为　　　
焦点 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c)
焦距 |F1F2|=　　　
离心率 e=,e∈　　　
a,b,c 的关系 c2=　　　
常用结论
椭圆中几个常用的结论
(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2的连线叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.
①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0(“左加右减”);
②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0(“下加上减”);
③焦半径中以长轴的一个端点为端点的焦半径最大或最小,即|PF|min=a-c,|PF|max=a+c.
(2)焦点三角形:以椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2为顶点的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:
①当r1=r2,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;
②S=b2tan=c,当=b,即点P的位置为短轴端点时,S取到最大值,最大值为bc;
③焦点三角形的周长为2a+2c;
④F1,F2 是曲线的焦点, 设 P为曲线上任意一点, 在△PF1F2 中, 记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=θ,则e===.
(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,通径长为.
(4)若F1,F2为椭圆的两个焦点,弦AB过焦点F1,则△ABF2的周长为4a.
(5)若P为椭圆上任一点,F为椭圆的一个焦点,则a-c≤|PF|≤a+c.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆. (　 )
(2)方程+=1(m>0,n>0)不一定表示椭圆. (　 )
(3)椭圆+=1(a>b>0)中的参数不能刻画椭圆的扁平程度,而能刻画椭圆的扁平程度. (　 )
(4)已知椭圆+=1(a>b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线. (　 )
题组二　教材改编
1.如果椭圆+=1上一点P到一个焦点F1的距离等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是　　　　,△PF1F2 的周长为　　　　.
2.椭圆4x2+y2=16的长轴长为　　　　,离心率为　　　,焦点坐标为　　　　　　　　　　.
3.动点M(x,y)到定点F(4,0)的距离和到定直线l:x=的距离的比值是常数,则动点M的轨迹方程为　　　　　.
4.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为　　　　.
　椭圆的定义及其应用
例1 (1)与圆x2+y2=1外切,同时与圆x2+y2-6x-27=0内切的圆的圆心在 (　 )
A.椭圆上 B.双曲线的一支上
C.抛物线上 D.圆上
(2)[2026·河北石家庄调研] 椭圆C1:+y2=1的上、下顶点分别为B1,B2,椭圆C2:+=1与C1的一个交点为M,则△MB1B2的周长为 (　 )
A.4 B.2+2
C.2+2 D.6
总结反思
椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两个定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆(两个焦点为F1,F2)上时,利用定义可求焦点三角形的周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|(或∠F1PF2),通过整体代入可求焦点三角形的面积等.
【对点演练1】 (1)[2026·安徽芜湖期末] 已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,且|PF2|=3,则△PF1F2的面积为 (　 )
A.3 B.4 C.6 D.10
(2)已知椭圆C:+=1的上顶点为A,左焦点为F1,线段AF1的中垂线与椭圆C交于M,N两点,则△F1MN的周长为 (　 )
A.8 B.12 C.16 D.24
　椭圆的标准方程
例2 (1)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,1),则椭圆的方程为 (　 )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
(2)[2025·广西南宁二模] 已知A,B分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右顶点,若直线x=(c为椭圆E的半焦距)上存在点C,使得△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且△ABC的面积为4,则椭圆E的方程为(　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
总结反思
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的a,b.当不知焦点在哪一条坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
【对点演练2】 (1)[2026·湖南名校联合体联考] 已知曲线C:+=1,设p:2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点(异于点M,N),△AF1B的周长为4,且直线AM与AN的斜率之积为-,则椭圆C的标准方程为 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
　椭圆的简单几何性质
题型1　求椭圆的离心率的值或范围
例3 (1)若椭圆C:+y2=1(m>0)的离心率为m,则m= (　 )
A.3 B.2 C. D.
(2)[2025·山东青岛期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F1,焦距为2c,圆O:x2+y2=c2与椭圆C有四个交点,其中点P,Q分别在第一、四象限,若△F1PQ为等边三角形,则椭圆C的离心率为 (　 )
A.-1 B. C.-1 D.
总结反思
求椭圆离心率的值或取值范围的方法
(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解.
(2)由a与b的关系求离心率,即利用变形公式e=求解.
(3)构造a,c的齐次式,可以不求出a,c的具体值得出a与c的关系,从而求得e的值或范围.
【对点演练3】 (1)[2026·云南昆明检测] 已知椭圆+=1和椭圆+=1有相同的离心率,则m= (　 )
A. B.
C.或4 D.或4
(2)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在该椭圆上,若满足△PF1F2为直角三角形的点P共有8个,则该椭圆离心率的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
题型2　与椭圆有关的范围(最值)问题
例4 (1)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆C上任意一点,则下列说法错误的是 (　 )
A.△MF1F2的周长为6
B.△MF1F2面积的最大值为
C.|MF2|的取值范围为[1,3]
D.|MF1|-|MF2|的最小值为-1
(2)已知F是椭圆C:+=1的左焦点,P为C上一点,A,则|PA|+|PF|的最小值为 (　 )
A. B.
C.4 D.
总结反思
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法:
(1)数形结合,利用相关量的几何意义,以及椭圆的性质求解;
(2)利用函数,尤其是二次函数求解;
(3)利用不等式,尤其是基本不等式求解.
特别注意:求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要厘清它们之间的关系.
【对点演练4】 (1)[2025·河北辛集四模] 已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,点M在C上,且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍,则椭圆的离心率为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2026·江苏徐州期末] 已知椭圆C:+y2=1的左焦点为F,点M在C上,点N在圆x2+y2-4y+7=0上,则|MN|+|MF|的最小值为 (　 )
A.3 B.4 C.9 D.11第47讲　椭圆
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.椭圆　焦点　焦距　(1)a>c
(2)a=c　(3)a2.-a≤x≤a　-b≤y≤b　-b≤x≤b
-a≤y≤a　坐标轴　(0,0)　(-a,0)　(a,0)　(0,-b)　(0,b)　(0,-a)　(0,a)　(-b,0)　(b,0)　2a
2b　2c　(0,1)　a2-b2　
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)要使“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”,还需要满足这个常数大于两个定点之间的距离,故错误.
(2)对于方程+=1(m>0,n>0),当m=n时,方程不表示椭圆,故正确.
(3)椭圆+=1(a>b>0)中的参数,均能刻画椭圆的扁平程度,故错误.
(4)因为P(b,0)在椭圆内部,所以过点P作不出该椭圆的切线,故错误.
题组二
1.14　36　[解析] 根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又a2=100,即a=10,所以6+|PF2|=20,故|PF2|=14. 由a2=100,b2=36,得c2=a2-b2=64,则c=8,所以△PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=20+16=36.
2.8　　(0,-2),(0,2)　[解析] 椭圆方程可化为+=1,则a=4,b=2,c=2,所以长轴长为8,离心率为,焦点坐标为(0,-2),(0,2).
3.+=1　[解析] 设d是点M到直线l:x=的距离,则=,即=,整理得9x2+25y2=225,即+=1.
4.　[解析] 由得5x2+8x-12=0,设弦的两个端点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),所以故弦长为·|x1-x2|=·
=×=×=.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)D　[解析] (1)设动圆的圆心为P,半径为r,圆O1:x2+y2=1,圆O2:(x-3)2+y2=36,则|O1P|=r+1,|O2P|=6-r,|O1O2|=3.又|O1P|+|O2P|=7>|O1O2|,所以点P在以O1,O2为焦点的椭圆上.故选A.
(2)由椭圆C1:+y2=1的上、下顶点分别为B1,B2,可得B1(0,1),B2(0,-1).由椭圆C2:+=1,可得椭圆C2的上、下焦点分别为B1(0,1),B2(0,-1),长轴长为2×=4,则△MB1B2的周长为|MB1|+|MB2|+|B1B2|=4+2=6.故选D.
对点演练1　(1)C　(2)C　[解析] (1)由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a=8,故|PF1|=8-3=5,由题知|F1F2|=2c=2=4.
方法一:因为|PF2|2+|F1F2|2=,所以PF2⊥F1F2,故=|PF2|·|F1F2|=×3×4=6.
方法二:由余弦定理得cos ∠F1PF2==
=,所以sin∠F1PF2==,故=|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2=×
5×3×=6.故选C.
(2) 如图,由椭圆方程可知a=4,b=2,c=2,所以|AF1|=|F1F2|=|AF2|=4,所以△AF1F2为等边三角形,因此线段AF1的中垂线过F2.结合椭圆的定义,可得△F1MN的周长为|F1M|+|F1N|+|MN|=2a-|F2M|+2a-|F2N|+|MN|=4a=16.故选C.
探究点二
例2　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题意可得解得故椭圆方程为+=1,故选A.
(2)取直线x=与x轴的交点为M,由题意可知∠ABC=120°,则∠MBC=60°,|BM|=-a,则|CB|=2|BM|=2.又|CB|=|AB|,所以2=2a,则2c=a.由于S△ABC=·2a·=4,则a=4,故a=2,c=1,则b==,故椭圆方程为+=1.故选B.
对点演练2　(1)A　(2)A　[解析] (1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是解得2(2)由△AF1B的周长为4,结合椭圆的定义得4a=4,解得a=,所以M(-,0),N(,0).设A(x1,y1),则+=1,可得=b2,则kAM·kAN=·===-=-,解得b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.故选A.
探究点三
例3　(1)C　(2)C　[解析] (1)依题意,0(2)如图,取椭圆C的右焦点为F2,因为△F1PQ为等边三角形,所以由椭圆的对称性可得
∠PF1F2=.由圆O方程易知F1F2为圆O的直径,所以PF1⊥PF2,所以|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|=c.由椭圆的定义可得|PF2|+|PF1|=(+1)c=2a,所以椭圆的离心率e===-1.故选C.
对点演练3　(1)D　(2)A　[解析] (1)易知椭圆+=1的离心率为.对于椭圆+=1(m>0),当其焦点在x轴上时,它的离心率为=,解得m=;当其焦点在y轴上时,它的离心率为=,解得m=4.所以m=4或m=.故选D.
(2)如图,取椭圆上顶点为B.
满足∠PF1F2=90°的点P有2个(点P6,P7),满足∠PF2F1=90°的点P有2个(点P5,P8),因为使△PF1F2为直角三角形的点P有8个,所以∠F1BF2>90°,则∠OBF2>45°,O为坐标原点,即|OF2|>|OB|,所以c>b,则c2>b2,则c2>a2-c2,则>,可得e>.又椭圆的离心率e<1,所以e∈.故选A.
例4　(1)D　(2)D　[解析] (1)椭圆C:+=1中a=2,b=,c=1.对于A,△MF1F2的周长为2a+2c=6,A中说法正确;对于B,点M到直线F1F2的距离的最大值为b=,则△MF1F2面积的最大值为×2×=,B中说法正确;对于C,解得1≤|MF2|≤3,C中说法正确;对于D,由||MF1|-|MF2||≤2,得-2≤|MF1|-|MF2|≤2,D中说法错误.故选D.
(2)设椭圆C:+=1的右焦点为F2,易知F2(2,0),F(-2,0).由A,得|AF2|=
=,且+<1,故A在椭圆C的内部.根据椭圆的定义可得|PF|+|PF2|=2a=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF2|≥6-|AF2|=6-=,当且仅当P,A,F2三点共线时等号成立,所以|PA|+|PF|的最小值为,故选D.
对点演练4　(1)A　(2)A　[解析] (1)因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|·|MF2|=|MF1|(2a-|MF1|)=
-+2a|MF1|=-+a2,所以当|MF1|=a,即M为椭圆的上或下顶点时,|MF1|·|MF2|取得最大值a2.因为|MF1|∈[a-c,a+c],所以当|MF1|=a±c,即M为椭圆的左或右顶点时,|MF1|·|MF2|取得最小值-c2+a2=b2.因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍,所以a2=2b2,所以c2=a2-b2=b2,所以a=b,c=b,所以椭圆的离心率e===.故选A.
(2)由椭圆C:+y2=1,得a=3,b=1,c==2,∴F(-2,0).由x2+y2-4y+7=0得x2+=1,所以圆心E(0,2),半径r=1.如图,连接EF,EN,设EF分别与椭圆、圆交于点M',N',则|MF|+|MN|+|NE|≥|EF|=|M'F|+|M'N'|+|N'E|,当且仅当F,M,N,E四点共线时取等号,又|NE|=|N'E|=1,所以|MF|+|MN|≥|EF|-1=-1=3,所以|MN|+|MF|的最小值为3.故选A.

展开更多......

收起↑