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第48讲　双曲线
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.距离的差的绝对值　焦点　焦距
(1)2a<|F1F2|　(2)2a=|F1F2|
(3)2a>|F1F2|
3.x≥a或x≤-a　y≤-a或y≥a
(-a,0)　(a,0)　(0,-a)　(0,a)
±x　±x　(1,+∞)　a2+b2　2a　2b　
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹才是双曲线,故错误.
(2)在双曲线的标准方程中,a,b只要求满足a>0,b>0即可,a与b的大小关系不确定,故错误.
(3)过点A(1,0)作直线与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,这样的直线可作三条,其中两条分别平行于两条渐近线,一条与双曲线相切,故错误.
(4)当m>0,n>0时,方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时,方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线.因此方程-=1(mn>0)表示的曲线一定是双曲线,故正确.
题组二
1.8　8　y=±x　　[解析] 双曲线2x2-y2=32的标准方程为-=1,故其实轴长为8,虚轴长为8,渐近线方程为y=±x,离心率为.
2.-=1　[解析] 设所求双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)的坐标代入,得λ=8,故所求双曲线的方程为-=1.
3.y=±x　[解析] 易知双曲线-=1的焦点在x轴上,a2=7,b2=14,所以a=,b=,所以所求的渐近线方程为y=±x=±x=±x.
4.(0,2)　[解析] 根据题意得,要使方程+=1表示双曲线,只需t(t-2)<0,解得0● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)B　(2)8　[解析] (1)由-=1可知,a=2,b=,c=.不妨设点P在第一象限,设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y),由定义得x-y=2a=4.∵∠F1PF2=90°,∴x2+y2=(2c)2=24,∴2xy=x2+y2-(x-y)2=8,∴xy=4,∴△F1PF2的面积为xy=2.故选B.
(2)由双曲线C:-=1可知a=2,b=,c=3.若点P在双曲线C的左支上,则|PF2|≥a+c=5,与|PF2|=4矛盾,则点P在双曲线C的右支上.
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=4,又|PF2|=4,所以|PF1|=8.
对点演练1　(1)B　(2)C　[解析] (1)由题意可知解得由椭圆方程+y2=1,得|F1F2|=2c=2=4,所以·=|PF1|·|PF2|·
cos∠F1PF2=|PF1|·|PF2|·=-6.故选B.
(2)若P在双曲线的右支上(如图①),由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a.延长PF2交F1Q的延长线于点M.因为PQ为∠F1PF2的平分线,且F1Q⊥PQ,所以|PF1|=|PM|,则Q为F1M的中点,又O为F1F2的中点,所以OQ为△MF1F2的中位线,所以|OQ|=|MF2|=(|PM|-|PF2|)=(|PF1|-|PF2|)=a.
若P在双曲线的左支上(如图②),由双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a.延长F1Q交PF2于点M.因为PQ为∠F1PF2的平分线,且F1Q⊥PQ,所以|PF1|=|PM|,则Q为F1M的中点,又O为F1F2的中点,所以OQ为△MF1F2的中位线,所以|OQ|=|MF2|=(|PF2|-|PM|)=(|PF2|-|PF1|)=a.
因为双曲线的方程为-=1(b>0),所以a2=9,即a=3,所以|OQ|=3.故选C.
探究点二
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)当Ax2+By2=1表示双曲线时,A,B均不为0.若双曲线的焦点在x轴上,则其标准方程为-=1,此时>0,->0,所以A>0,B<0,所以AB<0;若双曲线的焦点在y轴上,则其标准方程为-=1,此时>0,->0,所以A<0,B>0,所以AB<0.当AB<0时,若A>0,B<0,则Ax2+By2=1表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,则Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线.所以“AB<0”是“Ax2+By2=1为双曲线方程”的充要条件.故选C.
(2)由题意知,圆O的半径r=2.如图,延长BN交直线AM于点C,连接ON.因为∠AMN=∠BMN,且MN⊥BN,所以|MB|=|MC|,|NB|=|NC|.又|OA|=|OB|,所以ON∥AC,且|ON|=·|AC|,
因此||MA|-|MB||=||MA|-|MC||=|AC|=2|ON|=4<|AB|=6,所以点M在以A,B为焦点的双曲线Ω上.设Ω的方程为-=1(a>0,b>0),则2a=4,所以a=2.又c=3,所以b2=c2-a2=5,所以Ω的方程为-=1,故|x|≥2.又点M是圆O外一点,所以|x|>2,即|y|≠0,故所求轨迹方程为-=1(y≠0).故选B.
对点演练2　(1)C　(2)AB　[解析] (1)由双曲线E的实轴长是虚轴长的3倍,得2=3×2,解得m=18,所以E的焦距为2=4.故选C.
(2)对于A,当t=2时,曲线C:x2+y2=1是圆心在原点,半径为1的圆,曲线长度为2π,A正确;对于B,若C为双曲线,则(3-t)(t-1)<0,解得t<1或t>3,B正确;对于C,若C为椭圆,且焦点在x轴上,则3-t>t-1>0,解得12=2,若2c=4,则t=0或4,此时C不为椭圆,故D错误.故选AB.
探究点三
例3　(1)B　(2)B　[解析] (1)由于F(2,0)为双曲线E:-=1(a>0)的右焦点,故a2+3=4,所以a=1,故渐近线方程为y=±x.故选B.
(2)由题可知,双曲线的渐近线方程为y=±x,且a>0.若直线l与双曲线C无交点,只需≤2,则a≥1,故充分性不成立;若a=1,则双曲线渐近线方程为y=±2x,此时直线l与双曲线C无交点,故必要性成立.所以“直线l与双曲线C无交点”是“a=1”的必要不充分条件.故选B.
例4　(1)B　(2)B　[解析] (1)由题意得椭圆+y2=1的焦点为(-,0)和(,0),而双曲线和椭圆有公共焦点,则双曲线的焦点也是(-,0)和(,0).由双曲线方程可得a2+a2+1=5,解得a2=2.又a>0,所以a=,则双曲线C的离心率e==.故选B.
(2)由|F1F2|=3,得F1.由AF1⊥F1F2,|AF1|=3,不妨令A.由A为双曲线C上的一点,得-=1.又a2+b2=,所以a=,b=,所以双曲线C的离心率为=.故选B.
对点演练3　(1)A　(2)A　(3)A
[解析] (1)设双曲线-=1的焦距为2c,则2c=4,故c=2,所以双曲线-=1的焦点坐标为(±2,0).又双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0,所以焦点(±2,0)到渐近线的距离d==b=,所以a=,所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0,即y=±x,故选A.
(2)由3=+2,即=+,可得=2.设|BF1|=t,根据上述条件及双曲线的定义,可知|AF1|=2t,|BF2|=2a+t,|AF2|=2a+2t.又因为|AB|=|BF2|,所以3t=2a+t,即t=a,故|BF1|=a,|AF1|=2a,|BF2|=3a,|AF2|=4a.在△ABF2中,由
cos∠BF1F2=-cos∠AF1F2,得=-,得=,即=,得=,故C的两条渐近线方程为y=±x.故选A.
(3)由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),渐近线方程为y=±x,|PF1|=3|PF2|,不妨设点P(x,y)在第一象限,则由得即P(a,b).因为|PF1|=3|PF2|,所以(a+c)2+b2=9[(c-a)2+b2],结合c2=a2+b2,得离心率e==.故选A.第48讲　双曲线
【课标要求】　
1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何性质.
3.通过双曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的　　　　,两焦点间的距离叫作双曲线的　　　　.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当　　　　　　　时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当　　　　　　　时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当　　　　　　　时,点P不存在.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
3.双曲线的性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性质 范围 　　　　　　　,y∈R 　　　　,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴.对称中心:原点
顶点 A1　　　　, A2　　　 A1　　　　, A2　　　
渐近线 y=　　　 y=　　　
离心率 e=,e∈　　　
a,b,c的关系 c2=　　　　(c>a>0,c>b>0)
实、虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　　　　;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　　　　.a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长
4.等轴双曲线:实轴长与虚轴长相等的双曲线,其方程可写作:x2-y2=λ(λ≠0).
等轴双曲线 离心率e= 两条渐近线y=±x相互垂直.
常用结论
双曲线的几个常用结论:
(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系方程为-=λ(λ≠0).
(2)离心率e===.
(3)F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点, 设 P为双曲线上任意一点, 在△PF1F2 中, 记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=θ,
则|PF1||PF2|=,=,e===.
(4)若P(x0,y0)是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则①|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(“左加右减”);
②|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
(5)F1,F2 为双曲线的左、右焦点,过 F1 的直线交双曲线于 A,B 两点,记直线AB 的倾斜角为α,则|AB|=,三角形ABF2周长为4a+2|AB|,+=.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到两个定点的距离的差等于常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线.(　 )
(2)在双曲线的标准方程中,a,b的大小关系是a>b. (　 )
(3)过点A(1,0)作直线与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则这样的直线可作两条. (　 )
(4)方程-=1(mn>0)表示的曲线一定是双曲线. (　 )
题组二　教材改编
1.双曲线2x2-y2=32的实轴长为　　　　,虚轴长为　　　　,渐近线方程为　　　　　　,离心率为　　　　.
2.经过点A(3,-1),且对称轴为坐标轴的等轴双曲线的方程为　　　　　　　.
3.双曲线-=1的渐近线方程为　　　　.
4.已知方程+=1表示双曲线,则实数t的取值范围是　　　　.
　双曲线的定义及其应用
例1 (1)设F1,F2为双曲线-=1的两个焦点,点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为 (　 )
A. B.2 C.2 D.4
(2)[2026·辽宁抚顺检测] 已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线C上的一点,且|PF2|=4,则|PF1|=　　.
总结反思
与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.注意判断点在双曲线的哪一支上,便于去掉绝对值.
【对点演练1】 (1)已知椭圆+y2=1和双曲线x2-=1(b>0)的公共焦点为F1,F2,在第一象限内的交点为P,则·=(　 )
A.-4 B.-6 C.-8 D.-9
(2)双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,过F1作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为Q,O为坐标原点,则|OQ|= (　 )
A.9 B.6 C.3 D.1
　双曲线的标准方程
例2 (1)已知A,B为实数,则“AB<0”是“Ax2+By2=1为双曲线方程”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知A(-3,0),B(3,0),O为坐标原点,点N是圆O:x2+y2=4上任意一点,点M是圆O外一点,若∠AMN=∠BMN,MN⊥BN,则点M的轨迹方程为 (　 )
A.-=1(x≠0) B.-=1(y≠0)
C.-=1(y≠0) D.-=1(x≠0)
总结反思
求双曲线方程的常用方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线的方程.
(2)待定系数法:先确定焦点在x轴上还是在y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为Ax2+By2=1(AB<0),根据条件确定A,B即可.特别地,①与双曲线-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(a>0,b>0,λ≠0);②与双曲线-=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线的方程可设为-=1(a>0,b>0,-b2【对点演练2】 (1)[2026·广东潮州模拟] 双曲线E:-=1(m>0)的实轴长是虚轴长的3倍,则E的焦距为 (　 )
A.2 B.4
C.4 D.2
(2)(多选题)若方程+=1所表示的曲线为C,则下列说法正确的是 (　 )
A.若t=2,则曲线C的长度为2π
B.若C为双曲线,则t<1或t>3
C.若C为椭圆,且焦点在x轴上,则2D.若C为椭圆,则焦距为4
　双曲线的简单几何性质
题型1　渐近线
例3 (1)记F(2,0)为双曲线E:-=1(a>0)的右焦点,则E的渐近线方程为 (　 )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
(2)已知直线l:y=2x,双曲线C:-=1(a>0),则“直线l与双曲线C无交点”是“a=1”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型2　离心率
例4 (1)若双曲线C:-=1(a>0)与椭圆+y2=1有公共焦点,则双曲线C的离心率为 (　 )
A. B. C. D.
(2)[2026·福建福州质检] 已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线C上的一点,且AF1⊥F1F2,|AF1|=3,|F1F2|=3,则双曲线C的离心率为(　 )
A.2 B. C. D.1
总结反思
(1)求双曲线的渐近线方程时,可以先判断焦点的位置,也可以不判断焦点的位置,把双曲线方程右边的“1”改为“0”就可以得到渐近线方程.
(2)求双曲线离心率的方法:
①求出a,b,c的值,根据e2===1+直接求e;
②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
建立关于a,b,c的齐次方程(或不等式)时,要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等.
【对点演练3】 (1)[2026·江苏如皋调研] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的渐近线方程为 (　 )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
(2)[2026·福建泉州模拟] 已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右
焦点,直线l过F1与C交于A,B两点,若|AB|=|BF2|,3=+2,则C的渐近线为 (　 )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
(3)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P,若|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为(　 )
A. B. C.2 D.

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