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第49讲　抛物线
【课标要求】　1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.
3.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　　　　的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的　　　　　　,直线l叫作抛物线的　　　　.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
性 质 顶点 O(0,0)
对称轴 直线y=0 直线x=0
焦点 F　　 F　　 F　　 F　　
离心率 e=　　　
准线方程 　　　 　　　 　　　 　　　
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0,y0) |PF|=　　　 |PF|=　　　 |PF|=　　　 |PF|=　　　
通径长 2p
常用结论
抛物线的常用结论:
(1)焦点弦长|AB|=x1+x2+p=,α为弦AB所在直线的倾斜角,抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫作抛物线的通径)最短;
(2)以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线都是二次函数的图象. (　 )
(2)若直线与抛物线相交,则直线与抛物线有2个公共点. (　 )
(3)直线与抛物线有一个交点,说明直线与抛物线相切. (　 )
(4)若点P(x,y)到点F(3,0)的距离与到直线
x-y-3=0的距离相等,则动点P的轨迹是抛物线. (　 )
(5)若点M在抛物线y2=2x上,O为坐标原点,则线段OM的中点的轨迹是抛物线. (　 )
题组二　教材改编
1.已知抛物线C:y=4x2,则抛物线C的焦点到其准线的距离为　　　　.
2.已知抛物线的方程为4y=x2,则抛物线的准线方程为　　　　.
3.已知F是抛物线y=4x2的焦点,点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,则y0=　　　　　.
4.已知抛物线y2=2px(p>0)上与焦点距离等于9的点的纵坐标为6,则该抛物线的标准方程为　　　　　　　　　.
5.已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(2,0),且与x轴、y轴分别相交于B(x,0),C(0,y)两个动点,则点M(x,y)的轨迹方程为　　　　.
　抛物线的定义及应用
例1 (1)[2025·广东佛山模拟] 与直线y=2相切,且与圆x2+(y+3)2=1外切的圆的圆心轨迹为 (　 )
A.椭圆 B.双曲线的一支
C.抛物线 D.圆
(2)[2026·黑龙江哈尔滨期末] 在抛物线y2=8x上有一动点P,当点P到焦点F的距离与到点A(3,1)的距离之和最小时,点P的坐标为 (　 )
A.(1,2) B.(1,-2)
C. D.
总结反思
1.抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,注意转化思想的运用.
2.利用抛物线的定义可以解决距离的最大或最小问题,该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”使问题得解.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.
3.利用抛物线的定义进行距离转化的同时,要注意平面几何知识在其中的应用.
【对点演练1】 (1)[2026·河北保定模拟] 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B,C在抛物线上,F为△ABC的重心,且||+||+||=12,则p的值为 (　 )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,A(4,5),点B在C上,则△FAB的周长的最小值为(　 )
A.8 B.10 C.12 D.16
　抛物线的标准方程
例2 (1)已知抛物线y2=2px上一点A(1,m)到其焦点的距离为4,则p= (　 )
A.3 B.-3 C.6 D.±6
(2)[2026·河南南阳期中] 已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,4)在C上,且|MF|=2|OF|,则C的方程为 (　 )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=2x D.y2=x
总结反思
求抛物线标准方程的方法
①直接法:直接利用题中已知条件确定参数p.
②待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=my(m≠0).
注意:参数p的几何意义是焦点到准线的距离,可以利用它的几何意义来解决问题.
【对点演练2】 (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过C上一点M(2,m)作l的垂线,垂足为N,若∠NMF的平分线经过l与x轴的交点,则p= (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过C的焦点F的直线交C于A,B两点,交C的准线于P,且=3,|AF|=3,则C的方程为(　 )
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=6x
　抛物线的几何性质
例3 (1)已知A,B是抛物线C:y2=24x上的两点,且线段AB的中点的横坐标为7,则|AB|的最大值是 (　 )
A.34 B.29 C.26 D.17
(2)[2025·海南海口期末] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线距离为2,直线l过抛物线的焦点F,交C于A,B两点,且|AB|=6,点A关于原点的对称点为D,则kDB·kAB= (　 )
A. B. C.2 D.1
总结反思
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想.
【对点演练3】 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长是 (　 )
A. B.2 C.4 D.8
(2)[2025·河北衡水质检] 已知P(1,2)为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,直线l与抛物线C交于A,B两点,点P不在直线l上,且直线PA与PB的倾斜角互补,则直线l的斜率为 (　 )
A.-2 B.- C.-1 D.-第49讲　抛物线
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.相等　焦点　准线
2.　　　　1　x=-　x=　y=-　y=　x0+　-x0+　y0+　-y0+
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　[解析] (1)当抛物线开口向上或向下时,该曲线是二次函数的图象;当抛物线开口向右或向左时,该曲线不是二次函数的图象.故错误.
(2)当直线与抛物线的对称轴平行(或重合)时,直线与抛物线相交,且直线与抛物线只有1个公共点,故错误.
(3)直线y=1与抛物线y2=4x有一个交点,此时直线与抛物线相交,故错误.
(4)因为点F(3,0)在直线x-y-3=0上,所以不符合抛物线的定义,故错误.
(5)设线段OM的中点坐标为(x0,y0),则M(2x0,2y0),因为点M在抛物线y2=2x上,所以(2y0)2=2×(2x0),整理得=x0,所以线段OM的中点的轨迹是抛物线,故正确.
题组二
1.　[解析] 抛物线C的标准方程为x2=y,所以2p=,所以焦点到其准线的距离为p=.
2.y=-1　[解析] 因为抛物线的方程为x2=4y,所以2p=4,即p=2,则准线方程为y=-1.
3. 　[解析] 抛物线的标准方程为x2=y,则焦点为F,准线方程为y=-.因为点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,所以y0+=2,则y0=.
4.y2=12x或y2=24x　[解析] 设满足题意的点为P,则=2p,解得p=6或p=12,故所求方程为y2=12x或y2=24x.
5.y2=-2x　[解析] 因为动圆圆心在x轴上移动,且该动圆始终经过点A(2,0)和B(x,0),所以AB为该动圆的直径.又因为点C(0,y)在该动圆上,所以·=0,即2x+y2=0,
所以点M(x,y)的轨迹方程为y2=-2x.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)记与圆x2+(y+3)2=1外切的圆为圆C,设圆C的圆心为C(x,y),半径为r,圆x2+(y+3)2=1的圆心为A(0,-3).因为圆C与圆x2+(y+3)2=1外切,所以|CA|=r+1.设圆C圆心到直线y=2的距离为d,则d=r,所以|CA|=d+1,即动点C到定点A(0,-3)的距离等于到定直线y=3的距离,由抛物线的定义知,动点C的轨迹为抛物线.故选C.
(2)由题意得抛物线的焦点为F(2,0),准线为l:x=-2.
过点P作PM⊥l于点M,由抛物线的定义可得|PM|=|PF|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PM|.又点A在抛物线内,所以当A,P,M三点共线时,|PA|+|PM|最小,此时PA⊥l,则yP=1,代入抛物线方程得xP=,所以点P的坐标为.故选C.
对点演练1　(1)B　(2)C　[解析] (1)由题可知F,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由抛物线定义知||+||+||=x1++x2++x3+=x1+x2+x3+=12.又F为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3×,所以3p=12,即p=4,故选B.
(2)过点B作抛物线准线的垂线,垂足为D,△FAB的周长为|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|.因为F(0,2),A(4,5),所以|AF|==5,所以|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+5,要使周长最小,需使|AB|+|BD|最小,当且仅当A,B,D三点共线时,|AB|+|BD|取得最小值7,所以△FAB的周长的最小值为12.故选C.
探究点二
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)∵点A(1,m)在抛物线y2=2px上,∴抛物线开口向右,p>0.又点A(1,m)到抛物线焦点的距离为4,∴1+=4,
∴p=6.故选C.
(2)由抛物线的定义,得|MF|=x0+,又2|OF|=p,|MF|=2|OF|,所以x0+=p,即x0=,又点M在C上,所以16=2p×,结合p>0,解得p=4,所以C的方程为y2=8x.故选B.
对点演练2　(1)D　(2)C　[解析] (1)抛物线C:y2=2px(p>0) 的焦点为F,设准线l与x轴交于点K,依题意得|MN|=
|MF|.又MN∥KF,所以∠NMK=∠MKF.又∠NMK=∠KMF,所以∠KMF=∠MKF,所以|KF|=|MF|,所以|MN|=|KF|,则四边形NMFK为正方形.又M(2,m),所以=2,解得p=4.故选D.
(2)记C的准线与x轴的交点为M,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1.因为=3,所以|PB|=3|BF|,即|PB|=3|BB1|,由于|AF|=3,所以|AA1|=3.
由△PBB1∽△PAA1可知|PA|=9,所以|PF|=6,由△PFM∽△PBB1,得=,则|FM|=p=2,所以C的方程为y2=4x.故选C.
探究点三
例3　(1)C　(2)D　[解析] (1)由抛物线y2=24x,可得p=12,焦点为F(6,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点的横坐标为7,所以x1+x2=14,连接AF,BF,则|AB|≤|AF|+|BF|=x1+x2+12=26,所以当弦AB过焦点F(6,0)时|AB|取得最大值26.故选C.
(2)由题知p=2,故抛物线C:y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
D(-x1,-y1),且=4x1,=4x2,所以kDB·kAB=·===.
又|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=6,所以x1+x2=4,所以kDB·kAB==1.故选D.
对点演练3　(1)D　(2)C　[解析] (1)设原点为O,等边三角形的另外两个顶点分别为A,B,由对称性可知点A,B关于x轴对称,不妨设点A在第一象限,则直线OA的倾斜角为30°,直线OA的方程为y=x,由可得x2=4x,解得或即点A(12,4),同理点B(12,-4),则|AB|=8,因此该等边三角形的边长为8.故选D.
(2)因为P(1,2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,所以4=2p,得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题易知直线l、直线PA、直线PB的斜率均存在,则kAP===,kBP=,由题意可知=-,可得y1+y2=-4,所以kAB====-1,所以直线l的斜率为-1.故选C.

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