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第50讲　直线与圆锥曲线的位置关系
【课标要求】　
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与曲线方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程px2+qx+n=0(或py2+qy+n=0)的形式.当p≠0时,
①Δ>0 直线与曲线相交,有两个公共点;
②Δ=0 直线与曲线相切,有一个公共点;
③Δ<0 直线与曲线相离,无公共点.
2.直线与圆锥曲线相交所得弦的长
设直线l与曲线C的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l的斜率为k(k≠0)时,将直线方程与曲线方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程px2+qx+n=0(或py2+qy+n=0)的形式.当p≠0时,
|AB|=·|x1-x2|= =·或|AB|=·|y1-y2|==.
当直线l的斜率不存在时,|AB|=　　　　,当直线l的斜率k=0时,|AB|=　　　　.
3.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法:若直线与圆锥曲线有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程,通过作差,构造出关于x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2的等式,从而建立中点坐标和斜率的关系.
常用结论
1.中点弦
(1)若M(x0,y0)为椭圆+=1(a>b>0)的弦AB(不垂直于坐标轴)的中点, O为坐标原点,则kAB·kOM=-=e2-1.
(2)若M(x0,y0)为双曲线-=1(a>0,b>0)的弦AB (AB不平行于坐标轴) 的中点,O为坐标原点,则kAB·kOM==e2-1.
(3)若M(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)的弦AB(AB不平行于y轴)的中点, 则kAB=.
2.切线及切点弦
(1)椭圆的切线及切点弦
①在椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为+=1.
②过椭圆+=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程为+=1.
(2)双曲线的切线及切点弦
①在双曲线-=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是-=1.
②过双曲线-=1(a>0,b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是-=1.
(3)抛物线的切线及切点弦
①过抛物线y2=2px(p>0)上的点P(x0,y0)的切线方程是y0y=p(x+x0).
②过抛物线y2=2px(p>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y=p(x+x0).
③过抛物线x2=2py(p>0)上的点P(x0,y0)的切线方程是x0x=p(y+y0).
④过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是x0x=p(y+y0).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线y=k(x-a)(k≠0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交. (　 )
(2)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大. (　 )
(3)若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则k=±. (　 )
题组二　教材改编
1.已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x(如图),平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1),反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点,则点Q的坐标为　　　　.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线y=k(x-a)(k≠0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交. (　 )
(2)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大. (　 )
(3)若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则k=±. (　 )
题组二　教材改编
1.已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x(如图),平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1),反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点,则点Q的坐标为　　　　.
3.若双曲线x2-y2=1的弦被点(2,1)平分,则此弦所在直线的方程为　　　　.
4.过点P(1,0)作倾斜角为45°的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,则|PA|·|PB|的值为　　　　.
　直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系为 (　 )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
(2)过点(4,3)作直线,使它与双曲线-=1只有一个公共点,这样的直线有 (　 )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
总结反思
研究直线与圆锥曲线位置关系的方法:
(1)研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
【对点演练1】 (1)(多选题)[2026·重庆模拟] O为坐标原点,直线y=(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　 )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN的面积为
(2)(多选题)已知直线l:y=x+m与椭圆C:+=1,则下列结论正确的是 (　 )
A.若C与l至少有一个公共点,则m≤2
B.若C与l有且仅有两个公共点,则|m|<2
C.若m=3,则C上到l的距离为5的点只有1个
D.若m=-,则C上到l的距离为1的点只有3个
　弦长问题
例2 [2026·黑龙江绥化模拟] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是椭圆C上一点,且△MF1F2的周长是4+2,椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知O为坐标原点,过点P(4,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且·=,求|AB|.



总结反思
弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立消元建立一元二次方程,设直线方程也有技巧,不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.若直线(斜率存在)经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式y=kx+b便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;若直线(斜率不为0)经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a减少运算量,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.
【对点演练2】 [2025·重庆育才中学模拟] 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为6,到y轴的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)设C的焦点为F,过点F的直线l与C交于M,N两点,=2,求|MN|.



　中点弦
例3 [2026·河北廊坊期末] 已知椭圆+=1,过点P(1,1)的直线交椭圆于A,B两点,且P为线段AB的中点,则直线AB的方程为 (　 )
A.x+3y-4=0 B.3x+y-4=0
C.x-3y+2=0 D.3x-y-2=0
总结反思
处理圆锥曲线的中点弦问题常用的方法:
(1)点差法,设出弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)后,分别代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了弦中点坐标和弦所在直线的斜率,借助中点坐标公式即可求得斜率;
(2)根与系数的关系,联立弦所在直线的方程与圆锥曲线的方程,消去x(或y),化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
特别要注意的是中点弦问题常用的两种求解方法都有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注弦所在直线的斜率;点差法只是形式变化,无法直接判断交点个数.
【对点演练3】 (1)若斜率为1的直线与椭圆+=1交于A,B两点,则弦AB的中点坐标可能是 (　 )
A. B.
C.(-3,4) D.(-4,3)
(2)[2025·内蒙古包头二模] 直线l与双曲线-y2=1交于P,Q两点,线段PQ的中点为M(4,1),则直线l的方程为 (　 )
A.y=x-3 B.y=-x-3
C.y=x+5 D.y=-x+5第50讲　直线与圆锥曲线的位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
2.|y1-y2|　|x1-x2|
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)√　(3)√
[解析] (1)直线y=k(x-a)(k≠0)过点(a,0)且斜率存在,所以直线y=k(x-a)(k≠0)与椭圆+=1的位置关系是相交.
(2)由椭圆的对称性知,若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.
(3)由消去y,得(3k2+2)x2+12kx+6=0,由题可得Δ=(12k)2-4(3k2+2)×6=0,得k=±.
题组二
1.　[解析] 因为抛物线y2=x的焦点为F,所以直线PF的方程为y=-.
由解得或(舍去),
故点Q的坐标为.
2.±25　[解析] 由方程组
消去y,得25x2+8mx+m2-225=0①,Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2).
由Δ=0,得m=25或m=-25,此时方程①有两个相等的实数根,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
3.2x-y-3=0　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B在双曲线上,得两式作差可得(-)-(-)=0,即(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0①.
又弦AB被点(2,1)平分,所以代入①式可得4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,则kAB==2,则直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
4.　[解析] 由题可知直线l的方程为y=x-1,与椭圆方程+=1联立,消去x得
2(y+1)2+3y2=6,整理得5y2+4y-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-,则|PA|·|PB|=|y1|·|y2|=2×=.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)因为直线+=1过点(a,0),(0,b),且(a,0),(0,b)为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,所以直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)相交.故选C.
(2)把x=4代入双曲线方程,得y=±3,故点(4,3)在双曲线上,因此过点(4,3)且与双曲线的两条渐近线分别平行的直线,与双曲线有一个交点.设y=k(x-4)+3,将其代入双曲线方程可得-=1,化简得x2+x-=0,令Δ=+4·=0,化简得(k-)2=0,解得k=,故过点(4,3)的切线与双曲线有唯一的交点.综上,满足题意的直线共有3条,故选C.
对点演练1　(1)ACD　(2)BCD　[解析] (1)对于A,由题意,在直线y=(x-1)中,令y=0,可得x=1,所以抛物线C的焦点为(1,0),则=1,p=2,故A正确.对于B,设M(x1,y1),N(x2,y2),由得3x2-10x+3=0,则x1+x2=,|MN|=x1+x2+p=+2=,故B错误.对于C,y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=.设线段MN的中点为D,则D.点D到准线l:x=-1的距离d=+1=,以MN为直径的圆的半径r==.因为d=r,所以以MN为直径的圆与l相切,故C正确.对于D,O到直线MN:x-y-=0的距离h==,则△OMN的面积为×|MN|×h=××=,故D正确.故选ACD.
(2)由消去y得4x2+6mx+3m2-6=0,则判别式Δ=12(8-m2).对于A,令Δ=12(8-m2)≥0,得|m|≤2,故A错误;对于B,令Δ=12(8-m2)>0,得|m|<2,故B正确;对于C,令直线l与椭圆C相切,则Δ=12(8-m2)=0,即m=±2,又直线y=x+3与y=x-2之间的距离d==5,所以当m=3时,C上到l的距离为5的点只有1个,故C正确;对于D,因为直线y=x-与直线y=x-2间的距离为1,直线y=x-与直线y=x+2间的距离为3,所以当m=-时,椭圆C上到l的距离为1的点有3个,故D正确.故选BCD.
探究点二
例2　解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意可得
解得a=2,c=,所以b2=a2-c2=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在,设为k,所以直线l的方程为y=k(x-4).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y得
(1+4k2)x2-32k2x+64k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=,由Δ>0得0≤k2<.
由·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2==,得k2=,满足Δ>0,
所以x1+x2=,x1x2=0,
所以|AB|==·=×=.
对点演练2　解:(1)设点A(x0,y0),因为点A到C的焦点的距离为6,到y轴的距离为5,
所以解得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)得,抛物线C的方程为y2=4x,所以F(1,0),
由题可知直线l的斜率不为0,
设直线l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去x整理得y2-4my-4=0,
所以Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1·y2=-4.
因为=2,所以-y1=2y2,
由解得m=±,
则|MN|===4(1+m2)=4×=.
探究点三
例3　A　[解析] 由椭圆+=1,及+<1,得点P(1,1)在椭圆内.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得
+
=0,而x1+x2=2,y1+y2=2,因此=-,即直线AB的斜率为-,所以直线AB的方程为y-1=-(x-1),即x+3y-4=0.故选A.
对点演练3　(1)A　(2)A　[解析] (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得
+=0(*).设弦AB的中点为M(x0,y0),则x0=,y0=.因为直线AB的斜率为1,所以=1,代入(*)式,整理得3x0+4y0=0.将选项逐一代入检验知,A,D满足,但是点(-4,3)在椭圆外,不符合要求.故选A.
(2) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为线段PQ的中点为M(4,1),所以x1+x2=8,y1+y2=2.由可得-=-,即=(y1+y2)(y1-y2),所以·=,则=1,所以直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-1=x-4,即y=x-3,经检验符合题意.故选A.

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