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拓展2　与焦点有关的常用结论
1. 焦点三角形
例1 (多选题)[2026·山东济南模拟] 已知椭圆C:3x2+4y2=48的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上任意一点,则 (　 )
A.C的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
结论
椭圆、双曲线焦点三角形相关结论
椭圆 双曲线
F1,F2 是曲线的焦点, 设 P为曲线上任意一点, 在△PF1F2 中, 记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=θ,△PF1F2的内切圆圆心为I,且圆I分别与△PF1F2的三边相切于点D,E,H.设P(x0,y0),I(xI,yI)
周长 L=2a+2c
面积 |PF1||PF2|=, =|PF1|·|PF2|sin θ=b2tan , =|F1F2|·|y0|=c|y0| |PF1||PF2|=,=, =|F1F2|·|y0|=c|y0|
内切圆 ①|PD|=|PE|=a-c;②xI=ex0,yI=,其中e=为椭圆的离心率 ①△PF1F2的内切圆与x轴切于双曲线的顶点; ②|F1D|=|F1H|=a+c,|xI|=a
离心率 e=== e===
【对点演练1】 [2026·浙江绍兴期末] 设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过双曲线C上一点P作切线PT交x轴于点T,若∠F2PT=30°,∠F2TP=45°,则该双曲线的离心率是 (　 )
A.　　　　　　　　 B.2
C. D.
2.焦半径
例2 [2026·江苏常州期中] 过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为120°,则的值为 (　 )
A.3　 　B.2　 　C.　 　D.
结论
与焦半径有关的常用结论
1.椭圆的焦半径公式
(1)(坐标式)P(x0,y0)是椭圆上任意一点,|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0));
|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0(F1(0,-c),F2(0,c)).
(2)与倾斜角有关的焦半径公式
如图①,当F是椭圆+=1的左焦点时,AB是过焦点F的弦且倾斜角为θ,点A在x轴上方,则|AF|=, |BF|=;当F是椭圆+=1的右焦点时, |AF|=,|BF|=.
注意:正负也可通过弦的长短决定, |AF|=,|BF|=无需分左右焦点.
2.双曲线的焦半径公式
P(x0,y0)为双曲线上任意一点,则
(1)(坐标式)当焦点在x轴上,且F1(-c,0),F2(c,0)时,|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|;
当焦点在y轴上,且F1(0,-c),F2(0,c)时,|PF1|=|a+ey0|,|PF2|=|a-ey0|.
(2)如图②,当F是双曲线-=1的右焦点时,过焦点F的弦的倾斜角为θ,交双曲线同一支于A,B两点,点A在x轴上方,则
|AF|=,|BF|=;
当F是双曲线的左焦点时,|AF|=,|BF|=.
注意:①正负也可由弦的长短决定,|AF|=,|BF|=;
②当直线与双曲线交于双支时,代入公式可得焦半径为负数,故为了统一焦半径公式,最后结果都取正数.
3.抛物线的焦半径公式
焦半径公式(角度形式):如图③,F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过焦点的弦AB的倾斜角为θ,点A在x轴上方,则|AF|=,|BF|=(θ为AB的倾斜角),+=.
4.设圆锥曲线C的焦点F在x轴上,过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A, B两点,若=λ(λ>0), 则e=,即|ecos θ|=(椭圆、双曲线、抛物线均适用,抛物线e=1).
若焦点在y轴上,则|esin θ|=.
【对点演练2】 过椭圆C:+=1的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A,B两点,则+= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
3.焦点弦
例3 (1)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= (　 )
A.12 B.6
C. D.7
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若=4,则C的离心率为(　 )
A. B.
C. D.
(3)[2026·福建晋江期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为10,左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上且AF2⊥x轴,△AF1F2的面积为,点P为双曲线右支上的任意一点,则-的取值范围是　　　　.
结论
与焦点弦有关的常用结论
1.(1)若F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,AB是过焦点F的弦且倾斜角为θ,则|AB|=.
(2)若F是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,过焦点F的弦的倾斜角为θ,交双曲线同一支于A,B两点,则|AB|=.
2.如图①,
AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,设点A(x1,y1),B(x2,y2),点A在B上方,焦点F,则有以下结论:
(1)|AB|=x1+x2+p.
(2)①x1x2=;②y1y2=-p2;
③|AF|=,|BF|=,+=,|AB|=(θ为AB的倾斜角);
④过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
3.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作互相垂直的两条射线且与抛物线相交,交点分别为A,B(如图②),则直线AB过定点M(2p,0);反之,若过点M(2p,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,则必有OA⊥OB.
【对点演练3】 (多选题)[2026·江苏南京调研] 已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F作一条倾斜角为的直线l交C于A,B两点(A在第一象限),AD与准线垂直,垂足为D,则 (　 )
A.△ADF为等边三角形
B.|AF|=2|BF|
C.|AB|=8
D.|DF|·|BF|=12拓展2　与焦点有关的常用结论
例1　BD　[解析] 椭圆C:3x2+4y2=48,即+=1,故a=4,b=2,c==2.对于A,e==,故A错误;对于B,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12,故B正确;对于C,|PF1|的最小值为a-c=2,故C错误;对于D,|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,故D正确,故选BD.
对点演练1　D　[解析] 连接PF1,由双曲线的光学性质可知切线PT为∠F1PF2的平分线,则∠F2PF1=60°.又∠F2TP=45°,所以∠PF2F1=105°,所以∠PF1F2=15°.在△PF1F2中,由正弦定理可得==,所以=,即=,所以=
===,故选D.
例2　C　[解析] 方法一:设A(x1,y1)(x1>0,y1>0),B(x2,y2),由题可知F(1,0),因为直线l的倾斜角为120°,所以l:x=-y+1,由可得y2+y-4=0,解得y1=,y2=-2,故=.
方法二:因为|AF|=,|BF|=,所以==.故选C.
对点演练2　C　[解析] 方法一:由+=1,得a2=5,b2=4,c2=a2-b2=1,左焦点为F(-1,0),则过左焦点F倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+1,代入+=1,得9x2+10x-15=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1·x2=-,x1+x2=-.又 y1y2=(x1+1)·(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-,所以|AB|==,|AF||BF|=·=·
=2|y1y2|=,所以+==.
方法二:+==.故选C.
例3　(1)A　(2)B　(3)　[解析] (1)因为弦AB过抛物线C:y2=3x的焦点,且倾斜角为30°,所以|AB|===12,故选A.
(2)方法一:因为直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角θ=60°,所以cos θ=.又=4,即λ=4,所以|ecos θ|==,所以e=.故选B.
方法二:设双曲线C:-=1的右准线为l,过A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,作BD⊥AM于点D,如图所示.
因为直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角为60°,所以∠BAD=60°,|AD|=|AB|.由双曲线的第二定义得|AM|-|BN|=|AD|=
(||-||)=|AB|=(||+||).又=4,所以||=||,所以e=.
(3)由题意可知F1(-5,0),F2(5,0),A(5,yA),
将点A坐标代入双曲线方程得=b2,则yA=±.
又△AF1F2的面积为,所以=×2c×|yA|,得得a2=16,b2=9,
所以双曲线方程为-=1.
设P(x0,y0),则-=1(x0≥4),则|PF1|===x0+4,
同理|PF2|=x0-4.
因为x0≥4,所以-==∈.
对点演练3　ACD　[解析] 对于A,根据抛物线的定义可得|AF|=|AD|,又AD∥x轴,∠AFx=,所以∠FAD=,所以△ADF为等边三角形,故A正确;对于B,因为F,直线l的方程为y=,代入抛物线方程得3=6x,整理得4x2-20x+9=0,即(2x-1)(2x-9)=0,所以xB=,xA=,根据抛物线的定义得|AF|=xA+=+=6,|BF|=xB+=+=2,所以|AF|=3|BF|,故B错误;对于C,|AB|=|AF|+|BF|=6+2=8,故C正确;对于D,由选项A,B可知,|DF|=|AF|=6,所以|DF|·|BF|=6×2=12,故D正确.故选ACD.

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