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第51讲　圆锥曲线热点问题
第1课时　求值、最值与范围、证明问题
● 课堂考点探究
探究点一
例1　解:(1)将点A的坐标代入双曲线C的方程得-=1,可得a2=2,故双曲线C的方程为-y2=1.
由题知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线l与双曲线C的方程,可得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0,
则Δ=8(m2+1-2k2)>0,x1+x2=-,x1x2=.
由题知kAP+kAQ=+=+=0,
化简得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,
则+(m-1-2k)·-4(m-1)=0,
可得(k+1)(m+2k-1)=0.
因为直线l不过点A,所以2k+m-1≠0,所以k=-1,即直线l的斜率为-1.
(2)方法一:不妨设直线PA,AQ的倾斜角分别为α,β,因为kAP+kAQ=0,所以α+β=π,由(1)知,x1x2=2m2+2>0,所以点P,Q在双曲线的同一支上.
当P,Q均在双曲线左支时,∠PAQ=2α,所以tan 2α=2,
所以tan2α+tan α-=0,
解得tan α=(负值舍去),
此时PA与双曲线的一条渐近线平行,与双曲线左支无交点,不符合题意,舍去.
当P,Q均在双曲线右支时,
因为tan∠PAQ=2,所以tan(β-α)=2,则tan 2α=-2,
所以tan2α-tan α-=0,
解得tan α=(负值舍去),
所以直线PA:y=(x-2)+1,直线QA:y=-(x-2)+1.
由可得x2+2(-4)x+10-4=0,
因为方程有一个根为2,所以x1=,y1=.
同理可得,x2=,
y2=.
所以直线PQ:x+y-=0,|PQ|=,点A到直线PQ的距离d==,
故△PAQ的面积为·|PQ|·d=××=.
方法二:设直线AP的倾斜角为α(tan α>0),同方法一可知PQ只能在双曲线的右支上,由tan∠PAQ=2,可得tan=,
由2α+∠PAQ=π,可得kAP=tan α=tan=,即=,
又-=1,所以x1=,y1=,
代入直线l的方程y=-x+m,可得m=,由(1)得x1+x2=,x1x2=.
由tan∠PAQ=2,可得sin∠PAQ=,
因为|AP|=|x1-2|,|AQ|=|x2-2|,
所以S△PAQ=|AP||AQ|sin∠PAQ=|x1x2-2(x1+x2)+4|=.
对点演练1　解:(1)∵椭圆C过点(0,1),
∴b=1,又e==,a2=b2+c2,
∴a=,c=1,
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)易知F(1,0),当直线l的斜率不存在时,四边形AOBD不为平行四边形,不满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),
由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=.
设D(x0,y0),∵四边形AOBD为平行四边形,
∴=+,
∴x0=x1+x2=,y0=y1+y2=.
∵点D在椭圆C上,
∴+2-2=0,解得k=±,
∴直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).
探究点二
例2　　[解析] 由题知b2=4,则b=2,故P在椭圆外.当直线l的斜率不存在时,点A,B为椭圆的短轴端点,此时==.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设0由判别式Δ>0,可得 k2>,则注意到==,令=λ∈(0,1),则x1=λx2,则x1+x2=(λ+1)x2,x1x2=λ,则=,即λ++2==.
因为k2>,所以0<<,则4<<,则4<λ++2<,
解得<λ<5且λ≠1,结合0<λ<1得<λ<1.综上,的取值范围为.
例3　解:(1)设E的方程为mx2+ny2=1,m>0,n>0,
由题得解得
所以E的方程为+y2=1.
(2)由得(4k2+1)x2+8ktx+4t2-4=0.
Δ=(8kt)2-4(4k2+1)(4t2-4)>0,化简得4k2-t2+1>0.
①因为k=1,所以4-t2+1>0,解得-所以t的取值范围为(-,).
②设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
|MN|=·=·=
·=,化简得48k4-24k2-9+16t2(k2+1)=0,
即16t2=≥0,
所以-48k4+24k2+9≥0,解得-≤k≤,
所以k的取值范围为.
对点演练2　解:(1)将点P(,1)的坐标代入方程+=1(a>0,b>0),得+=1.
又2b=2c,a2=b2+c2,所以a2=4,b2=2,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2).
联立直线方程与椭圆C的方程得x2+mx+m2-2=0,
由Δ=2m2-4(m2-2)=2(4-m2)>0,得-2x1+x2=-m,x1x2=m2-2,
则|AB|=·=.
又点P(,1)到直线l:x-y+m=0的距离
d===,
所以△ABP的面积S=|AB|·d=·=≤=,
当且仅当m2=4-m2,即m=±时等号成立,
故当△ABP面积取得最大值时,直线l的方程为y=x±.
探究点三
例4　解:(1)由|MF|=xM+=2+=3,可得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:根据题意,直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-4my+4=0,由Δ=16m2-16>0,可得m>1或m<-1,
由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=4.
则kFA+kFB=+====
=0,即直线FA与直线FB的倾斜角互补.又F(1,0),
所以x=1是∠AFB的平分线.
对点演练3　解:(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.
因为O(0,0),B(0,1),所以可设A,将A点坐标代入椭圆方程得+=1,得t=±,所以|AC|=2.
(2)证明:假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.
由消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-,=k·+m=,
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,所以直线OB的斜率为-.
因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直,所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B在W上且不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.第51讲　圆锥曲线热点问题
【课标要求】　
1.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
2.根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化为代数问题.
3.根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路,运用代数方法得到结论,给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题.
4.能够根据不同的情境,建立平面直线和圆的方程,建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程,能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系.
常用结论
1.注意转化思想在圆锥曲线热点问题中的应用.
(1)平行四边形条件的转化
几何性质 代数实现
对边平行 斜率相等,或向量平行
对边相等 长度相等,横(纵)坐标差相等
对角线互相平分 中点重合
(2)圆条件的转化
几何性质 代数实现
点在圆上 点与直径端点向量数量积为零
点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数
点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数
(3)角条件的转化
几何性质 代数实现
锐角、直角、钝角 角的余弦(向量数量积)的符号
倍角、半角、平分角 角平分线性质、定理
等角(相等或相似) 比例线段或斜率
2.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线,两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.
3.切点弦方程:过平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程.二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0外一点P(x0,y0)的切点弦方程为Ax0x+B+Cy0y+
D+E+F=0.
4.若A,B,C,D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC,BD的斜率存在且不等于零,并有kAC+kBD=0(kAC,kBD分别表示AC和BD的斜率).
5.对任意圆锥曲线,过其上任意一点作两条直线,若两条直线的斜率之积为定值,两条直线与圆锥曲线的另外一个交点分别为A,B,则直线AB过定点.
第1课时　求值、最值与范围、证明问题
　求值问题
　　圆锥曲线中的求值问题主要涉及直线斜率、弦长、距离、面积、直线方程及圆锥曲线方程中的参数,考查形式多种多样.
解决求值问题的常用方法有待定系数法、数形结合法、公式法等.
例1 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积.



总结反思
(1)涉及弦长、距离的计算,一般可以采用弦长公式、点到直线的距离公式、两点间距离公式等,进而还可以计算三角形面积、四边形面积.
(2)常见求解面积模型
三角形面积比值 四边形面积
对顶角模型 == 等角、共角模型 == 对角线垂直 S四边形ABCD=AC·BD 一般四边形 S四边形ABCD=AC·BD·sin α 分割为两个三角形 S四边形ABCD=AC·(d1+d2)
【对点演练1】 [2026·山东青岛期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率e=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M,设原点为O,射线OM交椭圆C于点D,已知四边形AOBD为平行四边形,求直线l的方程.


　最值(范围)问题
　　求解最值(范围)问题的常用方法
(1)利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系.
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式(组),从而求出参数的取值范围.
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.在建立函数的过程中,要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来,同时要注意变量的取值范围.
例2 设直线l过点P(0,3),与椭圆+=1交于A,B两点,点A在点B上方,则的取值范围为　　　　.
例3 [2025·湖南长沙摸底] 已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,1),B两点.
(1)求E的方程.
(2)直线l:y=kx+t与E交于M,N两点.
①若k=1,求t的取值范围;
②若|MN|=,求k的取值范围.





总结反思
1.解析几何中的常见最值问题有:求线段长度(弦长)最值、求三角形面积最值、求面积比最值、求线段长度比最值等.常用解题方法是:(1)代数法,把这些问题利用代数方法表示为某个(些)变量(如直线的斜率、截距、点的横坐标或纵坐标等)的函数,然后通过变形,利用函数方法或不等式方法等进行求解;(2)几何法,即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解,解题时常用到两点间线段最短、点到直线的垂线段最短等结论.
2.(1)解决圆锥曲线中的范围问题的基本思想是建立目标函数或不等关系.
(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量,使得这个变量能够表达要解决的问题;建立不等关系通常利用圆锥曲线的几何特征、判别式或基本不等式等灵活处理.
【对点演练2】 [2026·湖南益阳期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(,1),且椭圆C的短轴长等于焦距.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l的斜率为,且与椭圆C相交于A,B两点,求△ABP面积取得最大值时直线l的方程.



　证明问题
　　圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如线段或角相等以及位置关系等.证明时,常把几何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代数方法证明.
例4 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点M(2,y0)满足|MF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设点D(-1,0),过D作直线l交抛物线C于A,B两点,证明:x=1是∠AFB的平分线.



总结反思
圆锥曲线中的证明问题的常见类型:
(1)位置关系方面:证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.
(2)数量关系方面:存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算进行证明,但有时也会用反证法证明.
【对点演练3】 直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.
(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;
(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.

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