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第2课时　定点、定值、定直线问题
● 课堂考点探究
探究点一
例1　解:(1)由题可知,a=1,e====3,
所以b2=8,故C的标准方程为x2-=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),根据题意易得x1≠x2.
因为点A,B在双曲线C上,所以
两式相减得--=0,即=,
因为x1+x2=,y1+y2=,
所以kAB===1,
所以直线AB的方程为y=x-+=x+1.
经检验,此时直线AB与双曲线C有两个交点,满足题意,则直线AB的方程为y=x+1.
(3)证明:依题意可设直线AB的方程为x=ty+n.
由得(8t2-1)y2+16nty+8n2-8=0,
则y1+y2=-,y1y2=,Δ>0,
因为M(-1,0),所以由(2)知=(x1+1,y1)=(ty1+n+1,y1),=(x2+1,y2)=(ty2+n+1,y2),
因为·=0,所以(ty1+n+1)(ty2+n+1)+y1y2=0,
即(t2+1)y1y2+t(n+1)(y1+y2)+(n+1)2=0,
即(t2+1)·+t(n+1)·+(n+1)2=0,
即(t2+1)(8n2-8)-16t2n(n+1)+(8t2-1)(n+1)2=0,整理得7n2-2n-9=0,解得n=或n=-1.
当n=-1时,直线AB的方程为x=ty-1,直线AB过点M(-1,0),不符合题意,舍去;
当n=时,直线AB的方程为x=ty+,满足Δ>0,则直线AB过定点,
故直线AB过定点.
对点演练1　解:(1)由题可得=,
又b2=a2-c2=4,所以a=2,c=2,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设P(4,t),Q(x0,y0),
则kPQ=,kOQ=.
因为直线OQ,PQ的斜率之积为-,
所以·=-,即ty0=+-2x0.
设T(m,0),则=(m-4,-t),=(m-x0,-y0).
因为PT⊥QT恒成立,
所以(m-4)(m-x0)+ty0=0恒成立,
即(m-4)(m-x0)++-2x0=0恒成立.
因为+=1,所以+=4,
即(m-4)(m-x0)+4-2x0=0恒成立,即m2-4m+4+(2-m)x0=0恒成立,所以m=2,故存在定点T(2,0),使得PT⊥QT恒成立.
探究点二
例2　解:(1)由题意知,=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:方法一:由题意设直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠0),代入椭圆方程+y2=1,
可得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知得点(1,1)在椭圆外,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,
且Δ=16k2(k-1)2-8k(k-2)(1+2k2)>0,解得k>0或k<-2.
则直线AP,AQ的斜率之和为
kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)·=2k+(2-k)·=
2k+(2-k)·=2k-2(k-1)=2.
即直线AP与AQ的斜率之和为2.
方法二:将原坐标系下移一个单位,则直线PQ过点(1,2),A(0,0),设直线PQ的方程为mx+ny=1,
则m+2n=1,即m=1-2n,移动坐标系后椭圆E的方程为x2+2(y-1)2=2,将直线PQ的方程与椭圆方程联立得2y2+x2-4y(mx+ny)=0,
即(-4n+2)y2-4mxy+x2=0,因为x≠0,所以同除以x2,得(-4n+2)·-4m+1=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2).
因为kAP=,kAQ=,所以kAQ+kAP====2.
对点演练2　解:(1)因为椭圆C的焦距为2,所以c=1,
由+=1,a>b>0,
且a2=b2+c2,
解得a=2,b=,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设E(xE,yE),F(xF,yF),
设直线AE的方程为y=k(x-1)+,代入+=1,
得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+-12=0,
则xExA=,
又xA=1,所以xE=,yE=kxE+-k.
因为直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,所以在上式中以-k代k,可得
xF=,yF=-kxF++k,
所以直线EF的斜率kEF=====,
即直线EF的斜率为定值,其值为.
探究点三
例3　解:(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由题意得可得
故双曲线C的方程为-=1.
(2)证明:由(1)得A1(-2,0),A2(2,0).
当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-4,
则易知M(-4,4),N(-4,-4),
∴直线MA1的方程为y=-2(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2),
由解得∴P(-1,-2).
当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=k(x+4),由题意知k≠0且k≠±2,
直线MA1的方程为y=(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2).
联立直线MA1与直线NA2的方程,消去y得(x+2)=(x-2),
则(x+2)=(x-2),
即(x1+4)(x2-2)(x+2)=(x2+4)(x1+2)(x-2),
解得x=2·①.
由可得(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0,
则可得代入①可得x=2·
=-=-1,
∴当直线MN的斜率存在时,点P在直线x=-1上.
又点(-1,-2)在直线x=-1上,故点P在定直线x=-1上.
对点演练3　解:(1)方法一:依题意得解得所以E的离心率为=.
方法二:由题可知c=6,2a=|-|=4,即a=2,所以E的离心率为=.
(2)证明:方法一:由(1)知E的方程为-=1.
直线OA的斜率k=-,设平行于OA的一组直线的方程为y=-x+t(t≠0),
直线与E交于点B(x1,y1),C(x2,y2),线段BC的中点为M(x0,y0).
由得x2+4tx-5t2-80=0,
则Δ=16t2-4×(-5t2-80)=80t2+1024>0,
所以x1+x2=-t,因为x0=(x1+x2)=-t,y0=-x0+t=t,
所以y0=-2x0,即这些直线被E截得的线段的中点在同一条直线y=-2x上.
方法二:由(1)知E的方程为-=1.
直线OA的斜率k=-,设平行于OA的一组直线与E交于点B(x1,y1),C(x2,y2),
线段BC的中点为M(x0,y0).
由两式相减得=,
显然x1≠x2,y1+y2≠0,所以=·,
所以·=-,即y0=-2x0,
即这些直线被E截得的线段的中点在同一条直线y=-2x上.第2课时　定点、定值、定直线问题
　定点问题
　　　1.常用的处理定点问题的思路:
(1)确定题目中的核心变量(此处设为k).
(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0的联系,得到有关k与x,y的等式.
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点(x0,y0),使得无论k的值如何变化,等式恒成立.此时要将关于k与x,y的等式进行变形,直至易于找到x0,y0.
常见的变形方向如下:
①若等式的形式为整式,则考虑将含k的项归在一组,变形为“k·(　 )”的形式,从而x0,y0只需满足让括号内的部分为零即可;
②若等式为含k的分式,则x0,y0的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而使分式的值与分母的取值无关;另一方面可以考虑让分子分母消去有关k的式子使分式变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式).
　　2.与定点问题有关的基本结论
　　(1)若直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于异于顶点的A,B两点,则OA⊥OB(其中O为坐标原点) 直线l过定点P(2p,0);
　　(2)若直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于异于顶点的A,B两点,则kOA·kOB=m(其中O为坐标原点) 直线l过定点P;
　　(3)设点P(2p,2pt0)是抛物线y2=2px(p>0)上一定点,M,N是该抛物线上的动点,则PM⊥PN 直线MN过定点Q(2p+2p,-2pt0);
　　(4)设点A(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上一定点,M,N是该抛物线上的动点,则kAM·kAN=m 直线MN过定点P;
　　(5)过椭圆+=1(a>b>0)的左顶点P作两条直线与该椭圆交于点A,B,则PA⊥PB 直线AB过点Q.
例1 [2026·广东东源模拟] 已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左顶点为M,离心率为3,A,B是C上不重合的两点.
(1)求C的标准方程;
(2)若线段AB的中点为,求直线AB的方程;
(3)若·=0(M不在直线AB上),证明:直线AB过定点.



总结反思
解决定点问题的一些技巧与注意事项:
(1)面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定点(或定直线),然后再验证该点(或该直线)对一般情况是否符合,属于“先猜再证”.
(2)有些题目所求与定点无关,但是在条件中会隐藏定点,且该定点通常是解题的关键条件,所以当遇到含参数的方程时,要清楚该方程对应哪一类曲线,从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中,要能够找到定点,抓住关键条件,例如遇到直线y=kx+k-1,就应该能够意识到y=k(x+1)-1,进而得到该直线过定点(-1,-1).
【对点演练1】 已知椭圆C:+=1(a>2)的离心率为,P是直线l:x=4上一点,点Q在C上.
(1)求C的方程.
(2)若直线OQ,PQ的斜率之积为-,其中O为坐标原点,x轴上是否存在定点T,使得PT⊥QT恒成立 若存在,求出点T的坐标,若不存在,请说明理由.



　定值问题
　　在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题.常见定值问题的处理方法有:
(1)直接消参求定值:①确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示;②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数.
(2)从特殊到一般求定值:①在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢;②巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算.
例2第2问的解法中除了通性通法还涉及了齐次化,这种解法常用来探究当直线与曲线存在两个交点时,交点与原点连线的斜率之和或积的问题.
例2 已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)经过点(1,1)且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.



总结反思
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略:
(1)求代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.
(2)求点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的表达式,再利用题设条件化简、变形求得.
(3)求某线段长度为定值:利用弦长公式等求得线段长度的表达式,再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.
【对点演练2】 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且经过点A.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点E,F是椭圆C上的两个动点,若直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出该定值.




　定直线
　　高中数学中,圆锥曲线的定直线问题是高考的核心难点之一,其本质是:当某个参数(如直线斜率、点的坐标、离心率等)变化时,满足特定条件的直线始终保持固定性质(如过定点、斜率为定值、平行于某定直线等).
解决圆锥曲线定直线问题的关键是“变中找不变”:通过参数表示变化量,利用代数推导(根与系数的关系、方程恒成立)或几何性质,锁定直线的固定特征(定点、斜率).
例3中的计算方法涉及非对称根与系数的关系的处理,主要解决形如x1+2x2,λx1y2+μx2y1,或之类中x1,x2的系数不对等的情况.
例3 [2023·新课标Ⅱ卷] 已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.


总结反思
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题,这类问题的核心在于确定定点的轨迹,主要方法有:
(1)设点法:设点的轨迹,通过已知点的轨迹,消去参数,从而得到动点的轨迹方程;
(2)待定系数法:设出含参数的直线方程,用待定系数法求解出系数;
(3)验证法:通过特殊点的位置求出直线方程,再对一般位置进行验证.
【对点演练3】 [2026·福建福州质检] 已知O为坐标原点,双曲线E:-=1(a>0,b>0)经过点A(-5,2),E的左、右焦点分别为F1(-6,0),F2(6,0).
(1)求E的离心率;
(2)一组平行于OA的直线与E相交,证明这些直线被E截得的线段的中点在同一条直线上.

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