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素养导向　解题指引——圆锥曲线
例 [2025·全国一卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=.
(1)求C的标准方程.
(2)已知动点P(m,n)不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3.
(i)求R的坐标(用m,n表示);
(ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值.
[思路分析]
(1)根据题意列出a,b,c的关系式,解方程求出a,b,c,即可得到椭圆的标准方程;
(2)(i)设R(x0,y0),根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出;
(ii)根据斜率关系可得到点P的轨迹为圆(除去与y轴相交的两点),再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出.
[得分秘籍]
高考数学中圆锥曲线的得分关键在于对基础知识的掌握、运算能力的培养以及数学思想方法的运用.我们要①注重圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等基础知识,理解每个概念的内涵和外延,能够熟练运用相关公式进行计算;②圆锥曲线问题往往涉及大量的代数运算,如联立方程、化简求值等,要加强运算能力的培养,掌握正确的运算方法和技巧,提高运算的准确性和速度;③注重数学思想方法的渗透,数学思想方法是数学的灵魂,要注重数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法的渗透;④加强综合应用能力的训练:圆锥曲线问题常常与向量、直线方程等知识相结合,具有较强的综合性.所以我们需要能够将不同的知识板块进行整合,灵活运用所学知识解决实际问题.我们可以通过模拟考试、综合练习等方式,提高综合应用能力和应试能力.

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