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第九单元　统计
第52讲　随机抽样
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)全体　调查对象　个体　个体数
(2)
2.(5)将号签充分搅拌　重复
3.(1)若干个子总体(层)　简单随机
(4)+
[+(-)2]+[+(-)2]
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)简单随机抽样中,每个个体在第几次被抽到的概率都相等,与抽取顺序无关.
(2)由题意得,每个个体被抽到的概率均为=,与是否剔除个体无关.
(3)总体容量是无限的,不能用简单随机抽样.
题组二
1.31　[解析] 简单随机抽样中,随机数法获取的个体编号在指定编号范围内,遇到大于总体编号或者重复编号需舍去,由给定的数据知,从8数起至第5个数据仍是8,重复,应舍去,所以选出来的第5个个体的编号为31.
2.分层随机抽样　简单随机抽样
[解析] ①中某社区这500户家庭的收入有明显差异,所以选择样本时宜采用分层随机抽样法;②中个体间差异不大,所以宜采用简单随机抽样法.
3.150　[解析] 依题意得=,解得n=150.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)D　[解析] (1)对于①,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用比例分配的分层随机抽样比较恰当;对于②,总体包含的个体数较少,用简单随机抽样比较恰当.故选A.
(2)总体有40个个体,每个个体被抽到的概率相同,均为=,故选D.
对点演练1　(1)B　(2)B　[解析] (1) 由题知,剔除重复数据以及超过500的数据后,选取的学生编号依次为442,175,455,331,047,则第5个被抽到的学生的编号为047.故选B.
(2)由简单随机抽样的定义知,每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到,因为每次抽取一个号码,所以李华第一次被抽到的可能性为a=,第五次被抽到的可能性为b=××××=,即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是,所以a=,b=.故选B.
探究点二
例2　(1)A　(2)A　[解析] (1)不妨设学校运动会志愿者服务协会总人数为k,则k-k=8,所以k=32,所以“计分组”的人数为32×=16,故选A.
(2) 依题意,男生应抽取的人数是40×=22.故选A.
例3　(1)D　(2)B　[解析] (1)高一年级总人数为504+596=1100,分别从高一年级女生和高一年级男生中随机抽取50人和60人,没有按照比例分配的方式进行抽样,不能直接用样本平均数估计总体平均数,需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重,即×49+×57,故选D.
(2) 由题可知,这20人的平均数为=4,则所求方差s2=×[1.8+(5-4)2]+×[3.4+(3-4)2]=3.6.故选B.
对点演练2　(1)C　(2)C　(3)C　[解析] (1)由题可知,样本中男生人数为n×=,样本中女生人数为n×=,所以-=8,解得n=40.故选C.
(2)由题可知,166×+169×+172×=169.9(cm).因此,估计该校全体学生的平均身高是169.9 cm.故选C.
(3)由题意,记样本中女员工的平均体重和方差分别为,,所占权重为ω(ω>0.5),男员工的平均体重和方差分别为,,所占权重为1-ω,所以样本中所有员工的平均体重为=ω+(1-ω)=70-20ω,方差s2=ω[+]+(1-ω)[+]=ω[50+(20-20ω)2]+(1-ω)[30+(-20ω)2]=-400ω2+420ω+30=120,化简得40ω2-42ω+9=0,即(4ω-3)(10ω-3)=0,解得ω=0.75或ω=0.3(舍),所以女员工的人数为×0.75=63.故选C.第九单元　统计
第52讲　随机抽样
【课标要求】　1.知道获取数据的基本途径,包括:统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.
2.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系.
3.了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.
4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.
1.总体与样本
(1)总体、个体、样本、样本容量
统计含义
总体 把调查对象的　　　　称为总体
个体 组成总体的每一个　　　　　称为个体
样本 在抽样调查中,从总体中抽取的那部分　　　　称为样本
样本容量 样本中包含的　　　　称为样本容量
(2)总体与样本的均值
名称 定义
总体均值 (又称总体 平均数) 一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称=　　　　　　　=　　　　　为总体均值
如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=　　　　　
样本均值 (又称样本 平均数) 如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称= =　　　　　为样本均值
注意:①在简单随机抽样中,我们常用样本平均数去估计总体平均数;
②总体平均数是一个确定的数,样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性);
③一般情况下,样本容量越大,估计越准确.
2.不放回简单随机抽样
(1)抽取方式:逐个不放回地抽取.
(2)每个个体被抽到的概率相等.
(3)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数法.
(4)适用条件:个体间差异不大,抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于个体数较多的情况.
(5)实施注意点:抽签法的关键是　　　　;随机数法要注意剔除　　　　的编号.
特别地,从总体中,逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本,一次性批量随机抽取n个个体作为样本,两种方法是等价的.
3.分层随机抽样
(1)概念:按一个或多个变量把总体划分成　　　　　　　　,每个个体属于且仅属于一个子总体(层),在每个子总体(层)中独立地进行　　　　　　抽样,再把所有子总体(层)中抽取的样本合在一起作为总样本.
(2)适用条件:从某一个变量的角度看,个体间差异大,根据该变量分层后,每一层内个体差异不大.
(3)实施注意点:为保证样本的代表性,常用比例分配的分层随机抽样:=.
(4)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差
利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中,第一层的样本量为n1,均值为,方差为;第二层的样本量为n2,均值为,方差为.则总的样本均值=　　　　　　,总的样本方差s2=　　　　　　　　　　　　　　　　　.
常用结论
在比例分配的分层随机抽样中,总体数是N,样本容量为n,每一层的总体数分别是N1,N2,…,Nm,每一层中抽取的样本数分别为n1,n2,…,nm,则满足关系:
①==…=;
②n1∶n2∶…∶nm=N1∶N2∶…∶Nm;
③n1=,…,nm=.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若在一个容量为100的总体中,随机抽取30个个体,则某个个体在第21次被抽到的概率为. (　 )
(2)一个总体含有105个个体,从中剔除5个个体后,以简单随机抽样的方式从剩余个体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为. (　 )
(3)在实数集中随机抽取10个数分析奇偶性可选用简单随机抽样. (　 )
题组二　教材改编
1.总体由编号为1,2,…,99,100的100个个体组成.现用随机数法选取60个个体,利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据如下,则选出来的第5个个体的编号为　　　　.
2.完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标.此调查宜采用的抽样方法是　　　　　　.②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.此调查宜采用的抽样方法是　　　　　　.
3.某学校有教师200人,男学生1600人,女学生1200人.现用比例分配的分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本,若女学生一共抽取了60人,则n的值为　　　　.
　简单随机抽样
例1 (1)①在一次满分为100分的测试中,有12人的成绩在90分以上,30人的成绩在60~90分,12人的成绩低于60分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为 (　 )
A.比例分配的分层随机抽样,简单随机抽样
B.简单随机抽样,简单随机抽样
C.简单随机抽样,比例分配的分层随机抽样
D.比例分配的分层随机抽样,比例分配的分层随机抽样
(2)某班级有40名学生,班主任用不放回地简单随机抽样地方法从这40名学生中抽取5人进行家访,则同学a被抽到的可能性为 (　 )
A. B. C. D.
总结反思
(1)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).
(2)简单随机抽样中每个个体被抽中的可能性是相等的.
【对点演练1】 (1)某校从500名学生中用随机数法抽取30人参加一项调查,将这500名学生编号为001,002,…,500,假设从第1行第4列的数字开始,则第5个被抽到的学生的编号为 (　 )
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A.331 B.047
C.447 D.672
(2)用抽签法从学号为1到50的50名学生(其中含学生李华)中不放回地抽取5名学生进行问卷调查,每次抽取一个号码,共抽取5次,设李华第一次被抽到的概率为a,第五次被抽到的概率为b,则 (　 )
A.a= ,b= B.a= ,b=
C.a= ,b= D.a= ,b=
　分层随机抽样
题型1　比例分配的分层随机抽样
例2 (1)学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别,其中“检录组”比“宣传组”多8人,现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务,如果选出的人中有3人来自“检录组”,4人来自“计分组”,1人来自“宣传组”,那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为 (　 )
A.16 B.12 C.8 D.4
(2)[2026·山西大同质检] 某校高三年级有1200名学生,其中男生有660人,现按男、女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本,则男生应抽取的人数是 (　 )
A.22 B.18 C.16 D.14
题型2　分层随机抽样的样本均值与样本方差
例3 (1)某校高一年级有女生504人,男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重,分别从高一年级女生和高一年级男生中随机抽取50人和60人,经计算,这50名女生的平均体重为49 kg,60名男生的平均体重为57 kg,依据以上条件,估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为(　 )
A.
B.×49+×57
C.×49+×57
D.×49+×57
(2)已知某班级参与投篮比赛的学生共有20人(男生、女生各10人),男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8,女生进球数的平均值和方差分别是3和3.4,则这20人进球数的方差为 (　 )
A.4 B.3.6 C.3 D.2.6
总结反思
比例分配的分层随机抽样中,通过增加层数,使层内分布更加同质,以获得更精准的数据分析.
【对点演练2】 (1)[2026·河南周口联考] 某校高三年级共有2000人,其中男生有1200人,女生有800人,某次考试结束后,学校采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本,已知样本中男生比女生多8人,则n= (　 )
A.20 B.30 C.40 D.48
(2)某学校的高一、高二及高三年级分别有学生400人、600人、1000人,用比例分配的分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为20的样本,抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高分别为166 cm,169 cm,172 cm,则估计该校全体学生的平均身高是 (　 )
A.169.0 cm B.169.8 cm
C.169.9 cm D.170.0 cm
(3)[2026·广东肇庆期末] 某公司现准备调查员工的体重(单位:千克)情况,因为女员工远多于男员工,所以用按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,已知抽取的所有员工的体重的方差为120,女员工的平均体重为50 kg,方差为50,男员工的平均体重为70 kg,方差为30.若样本中有21名男员工,则女员工的人数为 (　 )
A.28 B.35 C.63 D.48

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