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第56讲　排列与组合
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.一定的顺序
2.不同排列　n(n-1)(n-2)…(n-m+1)　不同组合　
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)将4本不同的书平均分成两份,共有种方法,故错误.
(2)从4本不同的书中选2本分给第一个人,有种方法,另外2本书分给第二个人,有种方法,故将4本不同的书平均分给2个人,共有种方法,故正确.
(3)A项工作需3人,则有=10(种)安排方法,B,C两项工作都只需1人,则有=2(种)安排方法,所以不同的安排方法共有10×2=20(种),故正确.
题组二
1.4　[解析] 这2名学生来自不同年级的选择方法共有=4(种).
2.2400　[解析] 先安排甲和乙在10月3日至10月7日,再安排其他人,所以不同的安排方法共有×=20×120=2400(种).
3.21　[解析] 将4个礼盒分给3名同学,则其中一人获得2个礼盒,另外两人每人获得1个礼盒.分两种情况讨论.第一种情况,2个相同礼盒分给同一人.第一步,从3名同学中选择1名同学分配2个相同礼盒,有=3(种)方法;第二步,将剩下的2个不同礼盒,分给剩下的2名同学,有=2(种)方法.所以共有3×2=6(种)分法.第二种情况,2个相同礼盒不分给同一人.记4个礼盒分别为A,A,B,C,当A,B分给同一人或A,C分给同一人时,有2=12(种)方法;当B,C分给同一人时,有=3(种)方法.
综上,共有6+12+3=21(种)分法.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　解:(1)从7人中选5人排列,有=7×6×5×4×3=2520(种)方法.
(2)分两步完成,先选3人站前排,有种方法,余下4人站后排,有种方法,共有·=5040(种)方法.
(3)方法一(特殊元素优先法):先排甲,有5种方法,再排其余6人,有种方法,故共有5×=3600(种)方法.
方法二(特殊位置优先法):从除甲之外的6人中选2人,安排在最左边和最右边,有种排法,剩余5人全排列,有种排法,故共有=3600(种)方法.
(4)方法一(特殊元素优先法):当甲站最右边时,其他人可全排列,有种方法;当甲不站最左边也不站最右边时,从余下的5个位置任选一个,有种方法,由于乙不站最右边,故乙从剩下的5个位置中任选一个,有种方法,最后将其余人全排列,有种方法,共有种方法.综上,共有+=3720(种)方法.
方法二(间接法):7名学生全排列,有种方法,其中甲在最左边时,有种方法,乙在最右边时,有种方法,甲在最左边且乙在最右边时,有种方法,故共有-2+=3720(种)方法.
(5)因为甲、乙、丙的顺序一定,所以满足条件的站法共有=840(种).
对点演练1　(1)D　(2)A　[解析] (1)当乙站在第五道时,甲有3种站法,其余4人进行全排列,有种站法,则共有3=72(种)站法;当乙站在第六道时,甲有3种站法,其余4人进行全排列,有种站法,则共有3=72(种)站法.所以共有72+72=144(种)不同站法.故选D.
(2)因为歌曲和戏曲节目相邻,所以先用捆绑法视为同一个元素,有种排列顺序;歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出,可视作两个元素顺序固定,用其余三个元素将5个位置补全,有种排列顺序.所以满足题意的排列顺序种数为=120.故选A.
探究点二
例2　(1)C　(2)A　[解析] (1)方法一(直接法):选取的员工中可以有1男2女,2男1女两类情况,所以不同的选法种数为×+×=6×6+15×4=36+60=96.
方法二(间接法):用从10人中任选3人的方法种数减去选出的3人全是男生或全是女生的方法种数,可得不同的选法种数为--=120-20-4=96.故选C.
(2)先往2号,3号盒内分别放入1个球和2个球,此时每个盒子至少还需放入1个球,将剩下的17个球排成一排,不含两边有16个空隙,插入2块隔板分为三堆,分别放入三个盒中即可,共有=120(种)方法.故选A.
对点演练2　(1)D　(2)A　[解析] (1)正方体共有8个顶点,从中任选4个顶点有=70(种)方法,若所选的4个点共面,则有12种方法,所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是70-12=58.故选D.
(2)①“0恰好出现两次”:万位不能为0,因此两个0的位置只能从剩下的4个位置中选择,有=6(种)方法,剩下的3个位置由1或2填充,每个位置有2种选择,共23=8(种)方法,则“0恰好出现两次”的五位数有6×8=48(个).
②“1恰好出现两次”:万位为1时,从剩下的4个位置中选择1个位置放1,有=4(种)方法,剩下的三个位置由0或2填充,每个位置有2种选择,共23=8(种)方法,共有4×8=32(个)五位数;万位不为1时,从剩下的4个位置中选择2个位置放1,有=6(种)方法,则万位放2,剩下的两个位置由0或2填充,每个位置有2种选择,有22=4(种)方法,共有6×4=24(个)五位数.所以“1恰好出现两次”的五位数有32+24=56(个).
③“0恰好出现两次”且“1恰好出现两次”:先安排2个0,有=6(种)方法,再从剩下的3个位置中选择2个放1,有=3(种)方法,最后一个位置放2,则共有6×3=18(个)五位数.综上,“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为48+56-18=86.故选A.
探究点三
例3　(1)D　(2)B　[解析] (1)第一步,排1,5,7三个数,有=6(种)不同的排法;第二步,排2,6,8三个数,有=12(种)不同的排法;第三步,将3和4作为一个整体插入,有=7(种)不同的排法.根据分步乘法计数原理可知,组成的不同的八位数共有6×12×7=504(个).故选D.
(2)因为甲负责第一关,最后一关由2名选手共同完成,且乙、丙不在同一关卡,所以先从除甲之外的四人中选两人负责最后一关,有-1=5(种)方法,然后再将剩余两人分配到第二、三关,有=2(种)方法,所以满足条件的参赛方案有5×2=10(种).故选B.
例4　B　[解析] 首先从下层8件商品中抽取3件,有==56(种)方法,再将取出的3件商品放入上层,由于上层原有商品保持相对顺序不变,可以使用定序问题中的倍缩法,有=210(种)方法.根据分步乘法计数原理可知共有56×210=11 760(种)方法.故选B.
例5　38　[解析] 根据题意,分3种情况讨论:①取出的4张卡片中有且只有2张数字相同,则相同的数字为1或2,若相同的数字为1,则另外2张卡片上的数字为2,3,有=12(个)四位数;若相同的数字为2,则另外2张卡片上的数字为1,3,有=12(个)四位数.共有12+12=24(个)四位数.②取出的4张卡片为2张1和2张2,则有=6(个)四位数.③取出的4张卡片中有3张数字相同,则相同的数字为1,此时有=8(个)四位数.综上,共可排出24+6+8=38(个)四位数.
例6　ABC　[解析] 对于A,若甲1本,乙2本,丙3本,则有=60(种)方案,故A正确.对于B,若每人2本,则有·=90(种)方案,故B正确.对于C,若三人分得的书本数互不相同,即三人分得的书本数分别为1,2,3,则有=360(种)方案,故C正确.对于D,分三类:第一类,每人2本,方案数为90;第二类,一人1本,一人2本,一人3本,方案数为360;第三类,一人4本,另外两人各1本,方案数为·=90.故共有90+360+90=540(种)方案,故D错误.故选ABC.
对点演练3　(1)C　(2)B　(3)A　(4)36　(5)600　[解析] (1)前3个节目有B类节目分为有1个B类节目和有2个B类节目两种情况,则不同排列方式共有+=576(种).故选C.
(2)先将舍长、副舍长排到中间的2个位置上,有=2(种)排法,再从两侧各选1个位置,安排两位不相邻的1班同学,有=8(种)排法,最后把两位不相邻的2班同学安排到余下的2个位置上,有=2(种)排法.所以共有2×8×2=32(种)不同的站法.故选B.
(3)根据定序问题采用倍缩法可得,共有=504(种)不同的放法.故选A.
(4)10个评优指标没有差别,把它们排成一排,之间形成9个空隙,在9个空隙中选2个插入隔板,把评优指标分成3份,对应地分给3个班级,每一种插入隔板的方法对应一种分配方法,则有=36(种)分配方法.
(5)第一步,安排甲同学,因为甲同学不去A乡镇,所以有种方法;第二步,安排剩下的5名同学去5个不同的乡镇,有种方法.由分步乘法计数原理可知,共有=600(种)分配方案.第56讲　排列与组合
【课标要求】　通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
1.排列与组合的概念
名称 定义 区别
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照　　　　 　　排成一列 排列有序,组合无序
组合 作为一组
2.排列数与组合数
名称 定义 计算公式 性质 联系
排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　　　　　 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示 =　　　　　　　　= (n,m∈N*,且m≤n) (1)=n!; (2)0!=1 (1)=; (2)应用时一般是先选(元素)后排,先分组后分配
组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　　　　的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示 = 　　　=(n,m∈N*,且m≤n) (1)==1; (2)=; (3)=+
常用结论
1.解决排列、组合问题的常见策略
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型.
(10)正难则反,等价转化.
2.解决排列与组合问题的四大原则
(1)特殊优先原则;(2)先取后排原则;(3)正难则反原则;(4)先分组后分配原则.
3.排列数、组合数常用公式
(1)=(n-m+1).
(2)=n.
(3)(n+1)!-n!=n·n!.
(4)k=n.
(5)++…++=.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)将4本不同的书平均分成两份,共有种方法. (　 )
(2)将4本不同的书平均分给2个人,共有种方法. (　 )
(3)安排5名志愿者完成A,B,C三项工作,其中A项工作需3人,B,C两项工作都只需1人,则不同的安排方法共有20种. (　 )
题组二　教材改编
1.某校文艺部共有4名学生,其中高一、高二年级学生各有2名,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,要求这2名学生来自不同年级,则不同的选择方法共有　　　　种.
2.某单位安排七位工作人员在10月1日至10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙两人都不安排在10月1日和10月2日,则共有　　　　种不同的安排方法.
3.为了表扬三位乐于助人的同学,班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学,每名同学至少分得1个礼盒.若购买的4个礼盒仅有2个相同,则共有　　　　　种分法.(用数字作答)
　排列问题
例1 有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;
(4)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边;
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.



总结反思
解决排列问题的注意点:
(1)有些排列的问题,可以根据机会均等的关系或每个元素出现的机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.
(2)间接法是解决排列问题的常用方法,即遇到直接解题步骤多,不易计算时,可以考虑先计算出总的情况种数,然后计算出不满足要求的情况种数,最后用总的情况种数减去不满足要求的情况种数即得最后答案.
(3)求解排列问题往往有多个不同的思路,若选择方法得当,则求解过程简单,容易让人接受,否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误,因此,可借助分类讨论思想来求解.
【对点演练1】 (1)6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站在第二道或第三道,乙只能站在第五道或第六道,则不同的站法共有 (　 )
A.48种 B.72种
C.96种 D.144种
(2)为了抒写乡村发展故事,展望乡村振兴图景,演出民众身边日常,唱出百姓幸福心声,某地组织了“美丽乡村”节目表演,共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目.若要求歌曲和戏曲节目相邻,且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出,则节目的排列顺序种数为(　 )
A.120 B.360
C.180 D.90
　组合问题
例2 (1)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工,从该部门选3人组成一个项目组,要求该项目组男、女员工都有,则不同的选法种数为 (　 )
A.84 B.90 C.96 D.100
(2)[2026·南京外国语学校期中] 20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为 (　 )
A.120 B.240 C.300 D.360
总结反思
解决组合问题的注意点:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含有”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含有”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.
(3)成双成对的元素一般是先取双再取单.
【对点演练2】 (1)[2026·广东汕头质检] 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 (　 )
A.70 B.66 C.62 D.58
(2)由数字0,1,2组成的五位数中,满足“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为 (　 )
A.86 B.104 C.128 D.130
　排列与组合的综合应用
题型1　相邻、相间及特殊元素(位置)问题
例3 (1)[2025·重庆南开中学质检] 由1,2,3,4,5,6,7,8组成一个没有重复数字的八位数,任何相邻两个数字的奇偶性不同,且满足 3 和 4 相邻,则这样的八位数的个数为 (　 )
A.432 B.257 C.216 D.504
(2)某高中举行益智闯关团队赛,共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛,若甲负责第一关,最后一关由2名选手共同完成,且乙、丙不在同一关卡,则不同的参赛方案有 (　 )
A.8种 B.10种 C.12种 D.14种
题型2　定序问题
例4 现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取3件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 (　 )
A.8400 B.11 760
C.13 440 D.20 160
题型3　相同元素分配问题
例5 有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,从中任取4张,可排出不同的四位数的个数为　　　　.
题型4　分组分配问题
例6 (多选题)[2026·四川崇州模拟] 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少分得1本,则下列说法正确的是 (　 )
A.若甲分得1本,乙分得2本,丙分得3本,则有60种方案
B.若每人分得2本,则有90种方案
C.若三人分得的书本数互不相同,则有360种方案
D.共有450种分配方案
总结反思
1.相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法,定序问题采用倍缩法,这些方法是解决有限制条件的排列与组合问题的常用方法.
2.对于分组与分配问题要注意以下几点
(1)要先分组再分配.
(2)分组时若不涉及分配,则要考虑是否存在重复的分组方式.
【对点演练3】 (1)为4个A类节目和2个B类节目编排节目单,则前3个节目有B类节目的不同排列方式有 (　 )
A.144种 B.432种
C.576种 D.720种
(2)2025年高考结束后,某校高三年级一宿舍的6位舍友准备拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排,舍长与副舍长必须站中间,其他两位1班同学彼此不相邻,两位2班同学彼此不相邻,则不同的站法共有 (　 )
A.16种 B.32种 C.48种 D.64种
(3)[2025·南京模拟] 书架上有6本不同的书,再往书架上放另外3本不同的书,要求不改变原来书架上6本书的相对顺序,则不同的放法有 (　 )
A.504种 B.84种
C.1008种 D.168种
(4)[2025·上海华东师大附中期中] 有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标,则不同分配方法共有　　　　种.
(5)包含甲在内的6名优秀大学毕业生到6个乡镇(包含A乡镇)承担农业科技推广等任务,若每个乡镇至少有1名大学毕业生,且每名大学毕业生只去1个乡镇,则甲同学不到A乡镇的分配方案有　　　　种.

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