资源简介

第57讲　二项式定理
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　k+1　　(1)n+1
2.=　增大　减小　　　
3.(1)2n
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
[解析] (1)(a-b)11的展开式共有12项,所以二项式系数最大的项是第6项和第7项,故正确.
(2)令x=1,则2n=256,故正确.
(3)(a+b)n的展开式的通项Tk+1=an-kbk中的a和b不可以互换,故错误.
(4)在(1-2x)10的展开式中,各二项式系数的和是210,故正确.
题组二
1.160　[解析] (1+2x)6的展开式的通项为Tr+1=16-r(2x)r=2rxr,令r=3,则(1+2x)6的展开式中x3的系数为×23=×8=160.
2.2　[解析] 设f(x)=,则由题意得f(1)=(a-1)9=1,解得a=2.
3.672　[解析] 由题意得2n=128,则n=7,则展开式的通项为Tr+1=
(2x)7-r=(-1)r27-rx7-2r,
令7-2r=3,可得r=2,所以展开式中x3的系数为(-1)2×25=672.
4.-15　[解析] 含x4的项的系数为(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)AD　(2)0　[解析] (1)的展开式的通项为Tr+1==·x-r=,r=0,1,2,…,6,令3-r=0,得r=2,所以展开式的常数项为T3==15×=,故A正确,B错误;当r=0,2,4,6时,Tr+1为有理项,所以展开式中有理项有4项,故C错误,D正确.故选AD.
(2)-+-…+(-1)n=(-1+1)n=0.
对点演练1　(1)C　(2)10　[解析] (1)的展开式的通项为Tr+1==(-a)rx3-r,令3-r=0,得r=3,所以·(-a)3=-160,解得a=2.故选C.
(2)(x-y)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r(-y)r=(-1)rx5-ryr,r=0,1,2,3,4,5,由得r=2,所以展开式中x3y2的系数为(-1)2=10.
探究点二
例2　(1)A　(2)A　[解析] (1)由题可知2n=64,解得n=6,则展开式的通项为Tr+1==
(-1)r2r,令3-r=0,解得r=2,所以展开式中的常数项为(-1)2×22=60.故选A.
(2)∵展开式中第2项和第6项的二项式系数相等,∴=,∴n=1+5=6,则展开式的通项是Tr+1=x6-r·=(-2)rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,∴展开式中x2的系数为(-2)2=60.故选A.
例3　(1)AD　(2)AC　[解析] (1)在展开式中,令x=0,得(1-2×0)7=a0+a1×0+a2×02+…+a7×07,即17=a0,可得a0=1,故选项A正确.(1-2x)7的展开式的通项为Tr+1=17-r(-2x)r=(-2)rxr,令r=3,可得a3=(-2)3=(-2)3×35=-8×35=-280,故选项B错误.令x=1,则(1-2×1)7=a0+a1×1+a2×12+…+a7×17,即(-1)7=a0+a1+a2+…+a7,所以a0+a1+a2+a3+…+a7=-1,又a0=1,所以a1+a2+a3+…+a7=-1-1=-2,故选项C错误.对(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7两边同时求导,得-14(1-2x)6=a1+2a2x+…+7a7x6,令x=1,则-14(1-2×1)6=a1+2a2×1+…+7a7×16,即-14(-1)6=a1+2a2+…+7a7,所以a1+2a2+3a3+…+7a7=-14,故选项D正确.故选AD.
(2)对于A,令x=-1,可得a0-a1+a2-…+a6=(-2-1)6=36,故A正确;对于B,(2x-1)6的展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k(-1)k,令k=4,可得a2=×22×(-1)4=60,令k=3,可得a3=×23×(-1)3=-160,故a2+a3=-100,故B错误;对于C,令x=,可得a0+++…+=(1-1)=0,令x=0,可得a0=(0-1)6=1,所以++…+=0-1=-1,故C正确;对于D,当x=5时,(2x-1)6=96=(8+1)6=×86+×85+…+×81+×80=8(×85+×84+…+)+1,所以(2x-1)6除以8的余数是1,故D错误.故选AC.
例4　C　[解析] 由题意知,的展开式的通项为Tr+1==(-1)r·,因为展开式中第9项是常数项,所以2n-×8=0,解得n=10,故展开式中第r+1项系数的绝对值为.设展开式中第r+1项系数的绝对值最大,则有所以≤r≤,又因为r∈N*,所以r=7,则第8项系数的绝对值最大.故选C.
对点演练2　(1)B　(2)D　(3)BCD　(4)15x4　[解析] (1)令x=-1,得 (3-1)5=a0,即 a0=32,令x=-2,得 (3-2)5=1=a0-a1+a2-a3+a4-a5,即1=32-a1+a2-a3+a4-a5,所以a1-a2+a3-a4+a5=31.故选B.
(2)由题意得=a0+x+x2+x3+x4+x5,令x=-2,可得=a0+×(-2)+×(-2)2+×(-2)3+×(-2)4+×(-2)5,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=25=32.故选D.
(3)因为展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,所以=,解得n=7,故A错误;令x=1,可得展开式中所有项的系数和为=1,故B正确;的展开式的通项为Tr+1=·27-r··(-x)r=·27-r·(-1)r·x2r-7,令2r-7=0,得r= N,所以展开式中不存在常数项,故C正确;令2r-7=5,得r=6,所以T7=×21×(-1)6·x5=14x5,所以x5的系数为14,故D正确.故选BCD.
(4)由的展开式中,仅第6项的二项式系数最大,得展开式中共11项,则n=10,所以的展开式的通项为Tr+1=x10-r=x10-2r(0≤r≤10,r∈N), 设展开式中系数最大的项是Tr+1,则即
解得≤r≤,又r∈N,所以r=3,则T4=x4=15x4,所以展开式中系数最大的项是15x4.
探究点三
例5　(1)B　(2)C　[解析] (1)(1+x),(1+x)2两项中不存在x3项,(1+x)3的展开式中x3的系数为,(1+x)4的展开式中x3的系数为,…,(1+x)8的展开式中x3的系数为,所以a3=+++++=1+4+10+20+35+56=126.故选B.
(2)因为(x+2)3+(x+2)4+(x+2)5+(x+2)6+…+(x+2)40=[1+(x+1)]3+[1+(x+1)]4+[1+(x+1)]5+
[1+(x+1)]6+…+[1+(x+1)]40,所以a3=++++…+=++++…+
=+++…+=++…+=…=+=.故选C.
例6　(1)A　(2)B　[解析] (1)(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=·15-r·xr=xr,令r=3,得T4=x3=10x3,令r=2,得T3=x2=10x2,故(1-2x)(1+x)5的展开式中x3的系数为1×10+(-2)×10=-10.故选A.
(2)由题可得含x5的项为x5-2x5+3x5-4x5+5x5-ax5=(3-a)x5,所以3-a=6,解得a=-3.故选B.
例7　C　[解析] 因为(x+y+1)6=[x+(y+1)]6,所以(x+y+1)6的展开式中x3y2项的系数为=60.故选C.
对点演练3　(1)B　(2)-69　(3)-60
[解析] (1)在的展开式中,T3=a2=6a2x4,T5=a4=a4,可知(a>0)的展开式中的常数项为a4+6a2x4·=a4+6a2=40,即a4+6a2-40=0,解得a2=4或a2=-10(舍去),又a>0,所以a=2.故选B.
(2)(x-1)4-(x-1)5+(x-1)6-(x-1)7的展开式中,含x3的项的系数是----=-4-10-20-35=-69.
(3)的展开式的通项为Tk+1=yk,令k=2,得T3=y2=10y2.又的展开式的通项为·=(-2)m··x6-3m,令6-3m=3,解得m=1,∴的展开式中含x3的项为(-2)··x3=-6x3,∴的展开式中含x3y2的项为10(-6x3)y2=-60x3y2,∴x3y2的系数是-60.第57讲　二项式定理
【课标要求】　
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
二项式 定理 (a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(n∈N*)
二项展开 式的通项 Tk+1=an-kbk,它表示展开式的第　　　项
二项式系数 　　　　(k=0,1,…,n)
注意点:
(1)项数:展开式共有　　　　项.
(2)幂指数:①字母a的幂指数从n逐项递减到0,字母b的幂指数从0逐项递增到n;
②各项中所有字母的幂指数之和均为n.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末“等距离”的两个二项式系数相等,即　　　
增减性 当k<(n∈N*)时,随k的增加而　　　　,二项式系数的后半部分,随k的增加而　　　　
二项式系 数最大值 当n为偶数时,中间的一项　　　　取得最大值
当n为奇数时,中间的两项　　　　与　　　　相等,且同时取得最大值
3.各二项式系数的和
(1)+++…+=　　　　;
(2)+++…=+++….　　　　　 　　　　　 　　　　　
常用结论
赋值法的应用
(1)在二项式定理中,令a=1,b=x,得(1+x)n= +x+x2+…+xk+…+xn.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则
①a0+a1+a2+…+an=f(1);
②奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=;
③偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在(a-b)11的展开式中,二项式系数最大的项是第6项和第7项. (　 )
(2)已知的展开式中各项系数的和为256,则2n=256. (　 )
(3)(a+b)n的展开式的通项Tk+1=an-kbk中的a和b可以互换. (　 )
(4)在(1-2x)10的展开式中,各二项式系数的和是210. (　 )
题组二　教材改编
1.(1+2x)6的展开式中x3的系数为　　　　.(用数字作答)
2.若的展开式中各项系数的和为1,则实数a的值为　　　　.
3.已知的展开式中各二项式系数的和为128,则展开式中x3的系数是　　　　.
4.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是　　　　.
　展开式的通项问题
例1 (1)(多选题)在的展开式中,下列说法正确的是 (　 )
A.常数项为 B.常数项为
C.有理项有3项 D.有理项有4项
(2)-+-…+(-1)n的值为　　　　.
总结反思
本类题考查的核心是(a+b)n的展开式的通项Tr+1=an-rbr.求解此类问题可以分两步完成:
(1)根据给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数或其他参数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n为正整数,r为非负整数,且n≥r);
(2)根据所求的指数或其他参数求解所求的项.
【对点演练1】 (1)[2025·重庆八中模拟] 的展开式中的常数项是-160,则a= (　 )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
(2)[2026·黑龙江绥化模拟] (x-y)5的展开式中x3y2的系数是　　　　.
　二项式系数与各项的系数问题
题型1　二项式系数
例2 (1)(n∈N*)的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中的常数项为(　 )
A.60 B.-60 C.15 D.-15
(2)[2026·云南昭通模拟] 已知的展开式中,第2项和第6项的二项式系数相等,则展开式中x2的系数为 (　 )
A.60 B.-60 C.448 D.-448
题型2　展开式中各项系数的和
例3 (1)(多选题)[2026·深圳外国语学校模拟] 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则下列结论正确的是 (　 )
A.a0=1
B.a3=280
C.a1+a2+a3+…+a7=-1
D.a1+2a2+3a3+…+7a7=-14
(2)(多选题)[2026·广东潮州期末] 设(2x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则 (　 )
A.a0-a1+a2-a3+…+a6=36
B.a2+a3=220
C.++…+=-1
D.当x=5时,(2x-1)6除以8的余数是7
题型3　展开式中各项系数的最值
例4 已知的展开式中第9项是常数项,则展开式中系数的绝对值最大的项是(　 )
A.第6项 B.第7项
C.第8项 D.第9项
总结反思
1.二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念,求法上也有较大差异.二项展开式中二项式系数最大的项可由二项式系数的性质求得,当n为偶数时,中间的一项的二项式系数最大,当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,同时取得最大值.系数最大的项不一定在中间,需要利用二项展开式的通项,根据系数值的增减性具体讨论而定.
2.对于(ax+bx-1)n,当x,x-1的系数均为1时,某项的二项式系数与系数相等.
3.二项展开式中各项系数的最值的求法:
当各项的系数均为正数时,求二项展开式中项的系数的最大值,不妨令第r+1项的系数最大,则满足进而解不等式组即可.
注意:当各项的系数均为负数时,可以求解对应的系数的最小值.
【对点演练2】 (1)[2025·江苏镇江模拟] 若(3+x)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2++a4(1+x)4+a5(1+x)5,x∈R,则a1-a2+a3-a4+a5= (　 )
A.-31 B.31 C.-32 D.32
(2)若=a0+x+x2+x3+x4+x5,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=(　 )
A.-1 B.0 C.1 D.32
(3)(多选题)已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,则 (　 )
A.n=9
B.展开式中所有项的系数和为1
C.展开式中没有常数项
D.x5的系数为14
(4)[2025·深圳中学质检] 在的展开式中,仅第6项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是　　　　.
　多项展开式
题型1　几个多项式和的展开式
例5 (1)(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a3的值为(　 )
A.70 B.126 C.56 D.84
(2)[2026·陕西铜川模拟] 已知(x+2)3+(x+2)4+(x+2)5+(x+2)6+…+(x+2)40=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a40(x+1)40,则a3的值为 (　 )
A. B.2 C. D.2
题型2　几个多项式积的展开式
例6 (1)(1-2x)(1+x)5的展开式中x3的系数为 (　 )
A.-10 B.-15 C.10 D.30
(2)[2026·云南师大附中期中] 在(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)(x-a)的展开式中,含x5的项的系数是6,则a= (　 )
A.-6 B.-3 C.3 D.6
题型3　三项展开式
例7 (x+y+1)6的展开式中x3y2项的系数为 (　 )
A.120 B.90
C.60 D.45
总结反思
1.求几个多项式和的展开式中的特定项只需要先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并即可.
2.几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项进行合并即可.
3.形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和时,常采用赋值法,令x=1即可.
4.求三项展开式中某些指定的项,常常利用这几种方法:
(1)两项看成一项,利用二项式定理展开.
(2)因式分解,转化为两个二项式再求解.
(3)看作多个因式的乘积,用组合的知识解答.
【对点演练3】 (1)已知(a>0)的展开式中的常数项为40,则a等于(　 )
A.1 B.2 C.2 D.
(2)在(x-1)4-(x-1)5+(x-1)6-(x-1)7的展开式中,含x3的项的系数是　　　　.(用数字作答)
(3)[2026·福建三明模拟] 的展开式中x3y2的系数是　　　　.(用数字作答)

展开更多......

收起↑