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第58讲　随机事件与概率、古典概型
【课标要求】　
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.结合具体实例,理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.
4.通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
5.结合实例,会用频率估计概率.
1.样本空间与样本点
名称 含义
样本点 随机试验E的　　　　　　的基本结果,常用ω表示样本点
样本空间 全体　　　　的集合,常用Ω表示样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间
2.随机事件、必然事件与不可能事件
名称 含义
随机事件 样本空间Ω的　　　,常用大写字母A,B,C,…表示
基本事件 只包含　　　样本点的事件
必然事件 每次试验　　　　　　的事件
不可能事件 每次试验　　　　　　　的事件
3.事件的关系和运算
定义 符号表示
包含关系 若事件A发生,则事件B　　　　　 　　　 (或A B)
相等关系 若事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等 　　　　
并事件(和 事件) 事件A与事件B　　　　　发生 A∪B(或A+B)
交事件(积 事件) 事件A与事件B　　　　　发生 A∩B(或AB)
互斥事件 事件A与事件B　　　　 A∩B=
对立事件 事件A和事件B有且仅有一个发生 A∪B=Ω,且A∩B=
注意:事件A的对立事件记为,对立事件是互斥事件的特殊情况.
4.古典概型
(1)两个特征:
(2)计算公式
设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　　=　　　　,其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
5.概率的基本性质
性质1　对任意的事件A,都有　　　　.
性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　　　　,P( )=　　　　.
性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　.
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　　　　　,P(A)=　　　　　.
性质5　如果A B,那么P(A)　　　P(B).
性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=　.
6.频率与概率
(1)概率:对随机事件发生　　　　　　　的度量(数值).
(2)概率与频率的关系:随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐　　　　　事件A发生的概率P(A),称频率的这个性质为频率的稳定性,可以用频率fn(A)估计概率P(A).
常用结论
互斥事件概率加法公式的推广:若事件A1,A2,A3,…,An两两互斥,则P(A1+A2+A3+…+An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某人去市场挑选水果,至少挑选一种水果和至多挑选一种水果是对立事件. (　 )
(2)某幼儿园给小朋友们准备节日灯笼,已知箱子里有6个灯笼,其中4个已经安装好,可以正常发光,另外2个还未安装好,不能发光,每次随机取出一个进行检验,取后不放回,直到确定出所有不发光的灯笼后停止,则检验4次后停止的概率为. (　 )
(3)若事件A和事件B是同一样本空间的子集,事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),P(A)+ P(B)=1,则事件A与事件B对立. (　 )
题组二　教材改编
1.向一个目标射击两次,用y表示“命中目标”,n表示“没有命中目标”,则该试验的样本空间Ω= 　　　　　　　　.
2.在10件产品中有8件一级品,2件二级品,从中任取3件,若记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是　　　　　　　　　　　　.
3.从存放号码分别为1,2,3,…,10的卡片的盒子里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 17 8 5 7 6 9 18 9 12 9
则取到的号码为奇数的频率为　　　　.
4.抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A=“朝上一面的数是奇数”,事件B=“朝上一面的数不超过3”,则P(A+B)=　　　　.
　事件的关系与运算
例1 (1)[2026·山东潍坊模拟] 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的两个事件是 (　 )
A.至少一个红球和都是红球
B.至少一个黑球和都是红球
C.至少一个黑球和至少一个红球
D.恰有一个红球和恰有一个黑球
(2)(多选题)某人连续投篮三次,每次投一球,记事件A为“三次都投中”,事件B为“三次都未投中”,事件C为“恰有两次投中”,事件D为“至少有两次投中”,则 (　 )
A.A D B.B∩D≠
C.A∪C=D D.B=B
总结反思
互斥事件、对立事件的判断
定 义 法 不可能同时发生的两个事件为互斥事件; 两个事件中,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件; 对立事件一定是互斥事件
集 合 法 ①若A,B满足A∩B= ,则A,B是互斥事件;②若A,B满足 则A,B是对立事件
【对点演练1】 抛掷一枚质地均匀的骰子,记随机事件A=“点数不大于3”,B=“点数大于4”,C=“点数为奇数”,D=“点数为偶数”,则下列结论正确的是 (　 )
A.B,C为对立事件 B.A,C为互斥事件
C.C,D为对立事件 D.A,D为互斥事件
　古典概型
例2 (1)[2026·湖北武汉模拟] 高三(1)班班主任从4名男同学和2名女同学中随机选出3人去参加志愿服务活动,则选出的3人中至少有2名男生的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(2)从1,2,3,4,5,6,7这7个数中任选3个不同的数排成一个数列,则得到的数列为等差数列的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(3)将一枚质地均匀的正方体骰子(点数分别为1,2,3,4,5,6)连续抛掷三次,求下列事件的概率.
①点数都为奇数;
②至少出现一次3点;
③三个点数之和为8.


总结反思
计算古典概型的概率问题的一般步骤:
(1)判断试验样本空间中每个样本点的发生是否是等可能的,并通过列举或计算得到样本空间中样本点的总数n;
(2)找出事件A所包含的样本点,得到A包含的样本点的个数m;
(3)利用公式P(A)==,求出概率P(A).
【对点演练2】 (1)从《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》这5部书籍中任意抽取2部,则抽到《九章算术》的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(2)[2025·湖南郴州模拟] 抛掷一枚质地均匀的骰子两次,得到的点数分别为m,n,则m≠2n的概率为 (　 )
A. B. C. D.
　概率的基本性质的应用
例3 (1)[2025·河南驻马店质检] 设随机事件A,B满足P(A)=P(B)=0.75,P(AB)=0.6,则P()= (　 )
A.0.4 B.0.35 C.0.25 D.0.1
(2)[2026·河北邯郸期末] 抛掷一红一绿两枚质地均匀的正方体骰子,记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数,用y表示绿色骰子的点数,用(x,y)表示一次试验的结果.设A=“两个点数之积是偶数”,B=“至少有一枚骰子的点数为5”,则P(A∪B)= (　 )
A. B. C. D.
总结反思
求复杂的事件的概率一般有两种方法:(1)直接法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;(2)间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解,当题目为“至多”“至少”型问题时,多考虑用间接法.
【对点演练3】 (1)已知随机事件A和B互斥,A和C对立,且P(C)=0.6,P(B)=0.3,则P(A∪B)= (　 )
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.7
(2)已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题,甲独立攻克该难题的概率为,甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为,则该难题被攻克的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(3)(多选题)[2026·山东济南模拟] 已知某古典概型的样本空间Ω及事件A和事件B满足n(Ω)=36,n(A)=12,n(B)=16,n(A∪B)=24,则 (　 )
A.P(AB)= B.P(A∪B)=
C.P(B)= D.P()=
　频率与概率
例4 (1)[2026·湖北咸宁模拟] 根据统计,某篮球运动员在1000次投篮中,命中的次数为860,则该运动员 (　 )
A.投篮10次至少有8次命中
B.投篮命中的频率为0.86
C.投篮命中的概率为0.86
D.投篮100次有86次命中
(2)[2025·江西景德镇期中] 某著作中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,有人送米1805石(古代容量单位),验得米内夹谷,抽样取米一把,数得155粒内夹谷31粒,则这批米内夹谷约为 (　 )
A.361石 B.341石
C.314石 D.360石
总结反思
概率研究的是“应该发生的可能性”,频率研究的是“实际发生的可能性”.只要观察地足够久、足够多,“实际发生的可能性”就会无限接近“应该发生的可能性”,即频率会无限接近概率.
【对点演练4】 (1)下列说法一定正确的是 (　 )
A.一名篮球运动员号称“百发百中”,若他罚球三次,则不会出现三投都不中的情况
B.随机事件发生的概率与试验次数无关
C.若买彩票中奖的概率为万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.一枚骰子掷一次得到2的概率是,则掷6次一定会出现一次2
(2)某学校乒乓球比赛中,学生甲和学生乙比赛三局(采取三局两胜制),假设每局比赛甲获胜的概率是0.7,乙获胜的概率是0.3.利用计算机模拟试验,计算机产生0~9之间的随机整数,当出现随机数0~6时,表示一局比赛甲获胜,其概率是0.7,由于要比赛三局,所以每三个随机数为一组.已知产生的20组随机数如下表:
603 099 316 697 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 378 107 347 467 822 166
根据随机数估计甲最终获胜的概率为 (　 )
A.0.9 B.0.95
C.0.8 D.0.85第58讲　随机事件与概率、古典概型
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.每个可能　样本点
2.子集　一个　一定发生　一定不发生
3.一定发生　B A　A=B　至少有一个　同时　不能同时发生
4.(1)有限　相等　(2)　
5.P(A)≥0　1　0　P(A)+P(B)　1-P(A)　1-P(B)　≤　P(A)+P(B)-P(A∩B)
6.(1)可能性大小　(2)稳定于
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)若至少挑选一种水果,则挑选的水果种数大于或等于1,若至多挑选一种水果,则挑选的水果种数小于或等于1.当挑选的水果种数为1时,这两种情况同时发生,故至少挑选一种水果和至多挑选一种水果不对立.
(2)检验4次后停止的概率P==.
(3)若事件A与事件B对立,则P(A)+ P(B)=1;若P(A)+ P(B)=1,则事件A与事件B有可能同时发生,不一定对立.
题组二
1.{yy,yn,ny,nn}　[解析] 由题意可知该试验的样本空间Ω={yy,yn,ny,nn}.
2.3件中至多有2件一级品　[解析] “3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件为“3件不都是一级品”,即“3件中至多有2件一级品”.
3.0.58　[解析] 由题表知,取到的号码为奇数的次数是17+5+6+18+12=58,所以取到的号码为奇数的频率为=0.58.
4.　[解析] 事件A+B=“朝上一面的数是1,2,3,5”,所以P(A+B)==.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　(2)ACD　[解析] (1)对于A,至少一个红球和都是红球不互斥,当3个球都是红球时同时发生,A错误;对于B,至少一个黑球和都是红球互斥且对立,B错误;对于C,至少一个黑球和至少一个红球不互斥,当取出一个黑球两个红球时两事件同时发生,C错误;对于D,恰有一个红球和恰有一个黑球互斥但不对立,当取出的都是红球或都是黑球时,两个事件都不发生,D正确.故选D.
(2)设Ai为三次投篮命中i次,i=0,1,2,3,则A=A3,B=A0,C=A2,D=A2∪A3,可得=A0∪A1,所以A D,B∩D= ,A∪C=D,B=B,故A,C,D正确,B错误.故选ACD.
对点演练1　C　[解析] 由题可得,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={5,6},C={1,3,5},D={2,4,6}.对于A,B∩C={5}≠ ,所以B,C不互斥也不对立,故A错误;对于B,A∩C={1,3}≠ ,所以A,C不互斥,故B错误;对于C,因为C∩D= ,C∪D=Ω,所以C,D为对立事件,故C正确;对于D,A∩D={2}≠ ,所以A,D不互斥,故D错误.故选C.
探究点二
例2　(1)C　(2)A　[解析] (1)从6名学生中任选3人,样本空间中有=20(个)样本点,选出的3人中至多有1名男生包含的样本点个数为=4,所以所求概率为1-=.故选C.
(2)从给定的7个数中任取3个排成一个数列,样本空间中包含个样本点.若得到的数列为等差数列,则当公差为±1时有5×2个,当公差为±2时有3×2个,当公差为±3时有1×2个,所以得到的数列为等差数列包含的样本点共10+6+2=18(个),所以得到的数列为等差数列的概率为==.故选A.
(3)解:①将一枚质地均匀的骰子连续抛掷三次,样本空间包含的样本点总数为63,
设事件A=“点数都为奇数”,则事件A包含的样本点有33个,所以点数都为奇数的概率P(A)==.
②设事件B= “至少出现一次3点”,则其对立事件=“没有出现3点”,
事件包含的样本点有53个,则P(B)=1-P()=1-=,
所以至少出现一次3点的概率为.
③三个点数之和为8包含的样本点有(1,1,6),(1,6,1),(6,1,1),(1,2,5),(1,5,2),(2,1,5),(2,5,1),(5,1,2),(5,2,1),(1,3,4),(1,4,3),(3,1,4),(3,4,1),(4,1,3),(4,3,1),(2,3,3),(3,2,3),(3,3,2),(2,2,4),(2,4,2),(4,2,2),共21个,所以三次点数之和为8的概率为=.
对点演练2　(1)D　(2)D　[解析] (1)用A,B,C,D,E分别表示《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》,从上述5部书籍中任意抽取2部,则样本空间Ω={AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE},可知n(Ω)=10,设抽到《九章算术》为事件M,则M={AB,BC,BD,BE},可知n(M)=4,所以P(M)==.故选D.
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,样本空间中共有6×6=36(个)样本点.设A为抛掷一枚质地均匀的骰子两次,依次得到的点数m,n满足m=2n,则A中包含的样本点有(2,1),(4,2),(6,3),共3个,所以P(A)==,所以P()=1-=,故m≠2n的概率为.故选D.
探究点三
例3　(1)D　(2)D　[解析] (1)因为P()+P(B)+P(A)+P(AB)=1,P(B)+P(A)+P(AB)=P(A∪B),所以P()=P(),又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.75+0.75-0.6=0.9,所以P()=
P()=1-0.9=0.1.故选D.
(2)样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),
(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点.事件A包含的样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共27个,所以P(A)==.事件B包含的样本点有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),共11个,所以P(B)=.事件A∩B包含的样本点有 (2,5),(4,5), (5,2), (5,4), (5,6),(6,5),共6个,所以P(A∩B)==.所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.故选D.
对点演练3　(1)D　(2)B　(3)BCD
[解析] (1)由A和C对立,可得P(A)+P(C)=1,则P(A)=0.4,又由随机事件A和B互斥可知P(AB)=0,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0=0.7.故选D.
(2)设A表示“甲独立攻克该难题”,B表示“乙独立攻克该难题”,则P(A)=,设P(B)=p,由题意可得P(A+B)=,即P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=,可得(1-p)+p=,解得p=,所以该难题被攻克的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-×=.故选B.
(3)由题意得n(A∩B)=12+16-24=4,n(∩B)=16-4=12,n(∩)=36-24=12,所以P(AB)==,P(A∪B)==,P(B)==,P()==.故选BCD.
探究点四
例4　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题意可知投篮命中的频率为=0.86,而频率可能比概率大也可能比概率小,概率是频率的稳定值,二者不一定相等,故B正确,C错误;投篮10次或100次相当于做10次或100次试验,每一次的结果都是随机的,其结果可能是一次都没中,也可能是1次投中,2次投中等,频率和概率只反映事件发生的可能性的大小,不代表事件一定会发生,故A,D错误.故选B.
(2)因为抽样取米一把,数得155粒内夹谷31粒,所以样本中米内夹谷的频率为=,则这批米内夹谷约为1805×=361(石).故选A.
对点演练4　(1)B　(2)C　[解析] (1)对于A选项,一名篮球运动员号称“百发百中”,若他罚球三次,也可能出现三投都不中的情况,A错误;对于B选项,随机事件发生的概率是一个固定的值,与试验次数无关,B正确;对于C选项,买彩票中奖的概率为万分之一,是指买彩票有万分之一的可能性中奖,而不是指买一万元的彩票一定会中奖一元,C错误;对于D选项,一枚骰子掷一次得到2的概率是,掷6次出现2的次数不确定,可能是1次,也可能是2次或者其他次数,D错误.故选B.
(2)设事件A为 “甲最终获胜”,20组随机数中,表示事件A发生的有16组,所以P(A)==0.8.故选C.

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