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第59讲　随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)P(A)P(B)
2.(1)　(2)①1　②P(B|A)+P(C|A)　③对立事件
(3)①P(A)P(B|A)　②相互独立
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)设事件A=“第1次抽到螺口灯泡”,事件B=“第2次抽到卡口灯泡”,则在第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率P(B|A)===.
(2)设事件A表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”,事件B表示“4次射击中乙恰好有3次击中目标”,由题意知事件A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=×××××=.
(3)记事件A1,A2,A3分别表示此人来自甲、乙、丙地区,事件B表示此人被录取,则P(A1)=P(A2)=P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,∴P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.
题组二
1.0.7　[解析] 由事件A与B相互独立,得P(AB)=P(A)×P(B),即0.42=0.6×P(B),所以P(B)=0.7.
2.　　[解析] 由题意可知P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(B|A)===,P(A|B)===.
3.0.65　[解析] 设A1=“第一天选择一餐厅就餐”,B1=“第一天选择二餐厅就餐”,A2=“第二天选择一餐厅就餐”,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.7,由全概率公式可知P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.7=0.65.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)AD　[解析] (1)抛掷一枚质地均匀的硬币三次,样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,事件A包含的样本点为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),共4个,事件B包含的样本点为(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反),共3个,事件C包含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),共3个,事件D包含的样本点为(正,正,正),(反,反,反),共2个.对于A选项,A∩B={(正,反,反)},A与B不是互斥事件,故A中说法正确;对于B选项,P(A)==,P(D)==,P(AD)==×=
P(A)·P(D),则A与D相互独立,故B中说法正确;对于C选项,P(C)=,P(AC)=≠P(A)P(C),则A与C不独立,故C中说法错误;对于D选项,因为C∩D= ,C∪D≠Ω,所以C和D互斥但不对立,故D中说法正确.故选C.
(2)对于A,若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,故A正确;对于B,若A,B相互独立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.2=0.7,故B错误;对于C,若A,B,C两两独立,则P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),无法确定P(ABC)=P(A)P(B)P(C),故C错误;对于D,若B,C互斥,则P(BC)=0,P[(B∪C)A]=P(BA)+P(AC),两边同时除以P(A)得,=+,即P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),故D正确.故选AD.
对点演练1　(1)C　(2)ABC　[解析] (1)由题意知,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点.甲包含的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个,则P(甲)=.乙包含的样本点为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,则P(乙)=.甲乙包含的样本点为(1,6),(3,4),(5,2),共3个,则P(甲乙)=.又P(甲乙)=P(甲)·P(乙),所以甲、乙不互斥也不对立,但相互独立.故选C.
(2)对于A,根据互斥事件与对立事件的定义可知A正确.对于B,当P(A)>0,P(B)>0,且P(AB)=0时,P(AB)≠P(A)P(B),事件A,B不相互独立,所以事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立,故B正确.对于C,由相互独立的定义可知,C正确.对于D,有一个正八面体,八个面分别标有数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},记事件A={1,2,3,4},事件B={1,2,3,5},事件C={2,6,7,8}.显然P(A)=P(B)=P(C)=,事件ABC={2},则P(ABC)=,满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),而此时P(AB)=,P(A)P(B)=,P(AB)≠P(A)P(B),不能推出A,B相互独立,故D错误.故选ABC.
探究点二
例2　(1)D　(2)C　[解析] (1)∵随机变量X,Y均服从两点分布,∴P(X=0)=1-P(X=1)=,P(X=1,Y=1)=P(XY=1)=1-P(XY=0)=,又∵P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=P(X=0,Y=1)+=,∴P(X=0,Y=1)=,由条件概率公式得P(Y=1|X=0)===.故选D.
(2)记事件A表示“两人取出的球颜色相同”,事件B表示“两人取出的球同为蓝色”,则B A,n(A)=3×3+1×1=10,n(AB)=n(B)=1×1=1,由条件概率公式可得P(B|A)==.故选C.
对点演练2　(1)C　(2)A　[解析] (1)由题意得P()=,P(B)=P(|B)·P(B)=×=,因为P(B)=P(AB)+P(B),所以P(AB)=P(B)-P(B)=-=,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=.故选C.
(2)记事件A表示“甲参观珠海国际航展中心”,事件B表示“甲与乙不到同一观展区”,则n(A)=+=12,n(AB)=+=10,所以P(B|A)===.故选A.
(3)解:①设“甲平台向该用户推送A”为事件M,“甲平台向该用户推送B”为事件N,则“甲平台没有向该用户推送A”为事件,由题设可知
P(M)=0.7,P(N)=0.5,P(MN)=0.3,P()=1-P(M)=0.3,
又P(N)=P(MN)+P(N)=0.5,所以P(N)=0.2,
所以P(N|)==.
②设“乙平台向该用户推送C”为事件Q,则这两个平台向该用户至少推送A,B,C中的一种的概率为1-P(∩∩),P()=1-P(Q)=0.4.
因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响,所以P(∩∩)=P(∩)·P(),
因为P()=P(N)+P(∩)=0.3,所以P(∩)=0.1,
则P(∩)·P()=0.1×0.4=0.04,
所以所求概率为1-P(∩∩)=1-0.04=0.96.
探究点三
例3　(1)B　(2)C　[解析] (1)设“输入的问题表达清晰”为事件A,“回答被采纳”为事件B,则P(A)=1-=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,根据全概率公式得P(B)=P(A)·P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.故选B.
(2)设“第一次取到黑球”为事件A,“第二次取到黑球”为事件B,则P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=.故选C.
对点演练3　(1)B　[解析] 设“该同学能够正确解答第一问”为事件A,“该同学能够正确解答第二问”为事件B,由题意可得P(A)=0.6,P(B|)=0.1,P(|A)=0.7,则P()=0.4,P(B|A)=0.3,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.6×0.3+0.4×0.1=0.22.故选B.
(2)解:①记A=“2件不合格品被装在同一个箱子中”,
16件产品随机分装到两个箱子中,样本空间包含个样本点,
2件不合格品被装在同一个箱子中,包含个样本点,
所以P(A)==,即2件不合格品被装在同一个箱子中的概率为.
②由①知,P(A)=,P()=,
记B=“产品被拒收”,C=“第1次抽到不合格品”,D=“第2次抽到不合格品”.
(i)若2件不合格品被装在同一个箱子中,则当第1次选择的是不含不合格品的箱子时,P(C)=0,P(D)=P()P(D|)=(1-0)×=,
当第1次选择的是含不合格品的箱子时,P(C)=,P(D)=P()·P(D|)=×0=0.
所以P(B|A)=P(C)+P(D)=×+×=,
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(ii)若2件不合格品被装在两个箱子中,则P(C)=,P(D)=P()·P(D|)=×=,
所以P(B|)=P(C)+P(D)=+=,
所以P(B)=P()P(B|)=×=.
由(i)和(ii)得,P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B)=+=,
即这批产品被拒收的概率为.
探究点四
例4　A　[解析] 记事件A为“客户是VIP客户”,事件B为“客户是普通客户”,事件E为“客户发生信用卡未按时还款”,则P(A)=,P(B)=,P(E|A)=,P(E|B)=,由全概率公式得P(E)=P(E|A)P(A)+P(E|B)P(B)=×+×=,由条件概率公式得P(A|E)===
=.故选A.
对点演练4　(1)C　(2)C　[解析] (1)设事件A,B,C分别表示该市上班族上班的出行方式为乘坐公共交通工具,开私家车,步行,事件M为上班迟到.由题知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(M|A)=,P(M|B)=,P(M|C)=,所以P(M)=×+×+×=,故所求的概率为P(A|M)====.故选C.
(2)记选择甲、乙、丙通道预订分别为事件A1,A2,A3,预订成功为事件B,由题意可得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+
P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=,所以P(A1|B)==
==.故选C.第59讲　随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
【课标要求】　
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.
2.结合古典概型,能利用独立性计算概率.
3.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
4.结合古典概型,理解条件概率与独立性的关系.
5.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
6.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
7.*了解贝叶斯公式.
1.事件的相互独立性
(1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=　　　　　　成立,则称事件A与事件B相互独立.
(2)判断方法:
①根据定义;
②根据实际意义:如果两个事件相互独立,那么这个事件的发生与否不会影响另一个事件发生的概率;
③应用结论:当事件A,B相互独立时,事件A与事件,事件与事件B,事件 与事件也相互独立.
(3)注意:公式P(AB)=P(A)P(B)不能推广到多个事件.当事件A1,A2,…,An两两独立时, P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An)不一定成立.
2.条件概率
(1)定义:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=　　　　为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)=　　　　;
②如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=　　　　　　　　　　;
③设和B互为　　　　　　,则P(|A)=1-P(B|A).
(3)注意:①乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=　　　　　　.
②特例: 当P(A)>0时,当且仅当事件A与B　　　　　　时,有P(B|A)=P(B).
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),该公式为全概率公式.
4.*贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n.
常用结论
1.乘法公式的推广:
设Ai(i=1,2,3)表示事件,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率,P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率.
2.事件的拆分:对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn.
3.如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),反过来不一定成立.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡,这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率为. (　 )
(2)甲、乙两人各射击1次,击中目标的概率分别是和,假设两人击中目标与否相互之间没有影响,每人各次击中目标与否相互之间也没有影响,若两人各射击4次,则甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为.(　 )
(3)某学校在甲、乙、丙三个地区录取学生,已知甲、乙、丙地区的录取比例分别为,,,且三个地区的学生人数相同.现从这三个地区的学生中随机抽取一个人,则此人被录取的概率为. (　 )
题组二　教材改编　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.已知事件A与B相互独立,P(A)=0.6,P(AB)=0.42,则P(B)=　　　　.
2.交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查,发现该地区上班时间拥堵的概率为,下班时间拥堵的概率为,上、下班时间都拥堵的概率为.设事件A=“上班时间拥堵”,事件B=“下班时间拥堵”,则P(B|A)=　　　　,P(A|B)=　　　　.
3. 学校食堂分设有一、二餐厅,学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐,根据统计:第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6,第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7,那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为　　　　.
　相互独立事件的概率
例1 (1)[2026·河北石家庄模拟] 抛掷一枚质地均匀的硬币三次,记“第一次硬币正面向上”为事件A,“三次试验恰有1次正面向上”为事件B,“三次试验恰有2次正面向上”为事件C,“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件D,则下列说法中错误的是 (　 )
A.A与B不互斥
B.A与D相互独立
C.A与C相互独立
D.C与D互斥但不对立
(2)(多选题)[2026·湖南永州模拟] 已知A,B,C为随机事件,P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列说法正确的有 (　 )
A.若A,B相互独立,则P(AB)=0.2
B.若A,B相互独立,则P(A∪B)=0.9
C.若A,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
D.若B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
总结反思
1.两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.
(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件.
2.三个事件A,B,C相互独立的充要条件为
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)且
【对点演练1】 (1)[2026·长沙质检] 掷一枚质地均匀的骰子两次,甲表示事件“第一次出现的点数是奇数”,乙表示事件“两次骰子的点数之和是7”,则甲与乙的关系为 (　 )
A.互斥
B.对立
C.相互独立
D.既不互斥也不相互独立
(2)(多选题)[2026·安徽合肥期末] 设A,B,C是样本空间Ω中三个概率大于0的随机事件,则下列选项正确的是 (　 )
A.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件
B.事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立
C.若P(AB)=P(A)P(B)成立,则事件A与B相互独立
D.若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立,则事件A,B,C一定两两独立
　条件概率与乘法公式
例2 (1)[2025·广东深圳质检] 已知随机变量X,Y均服从两点分布,且P(X=1)=,P(Y=1)=,若P(XY=0)=,则P(Y=1|X=0)= (　 )
A. B. C. D.
(2)盒中装有3个红球和1个蓝球,小球除颜色外均相同.甲、乙两人先后从盒中随机取出1个球,记录颜色后放回.已知两人取出的球颜色相同,则两人取出的球同为蓝色的概率为 (　 )
A. B. C. D.
总结反思
求条件概率的常用方法:
(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A).
(2)缩小样本空间法:先求事件A所包含的样本点个数n(A),再求事件AB所包含的样本点个数n(AB),则P(B|A)=.
【对点演练2】 (1)记为事件A的对立事件,且P(A)=,P(|B)=,P(B)=,则P(A+B)= (　 )
A. B. C. D.
(2)[2025·江苏南京期末] 第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办.本届航展规模空前,首次实现空天海陆全领域动态演示,尽显逐梦长空的中国力量.航展共开辟了三处观展区,分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、中国航展无人机无人船演示区.甲、乙、丙、丁四人相约去参观,每个观展区至少有1人,每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下,甲与乙不到同一观展区的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(3)电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的.某体育用品供应商在甲电商平台推广新品A和B,在乙电商平台推广新品C.已知甲平台向一用户推送A的概率为0.7,推送B的概率为0.5,同时推送A和B的概率为0.3;乙平台向该用户推送C的概率为0.6,且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响.
①在甲平台没有向该用户推送A的条件下,求它向该用户推送B的概率;
②求这两个平台至少向该用户推送A,B,C中的一种的概率.


　全概率公式
例3 (1)某公司升级了智能客服系统,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为,则智能客服的回答被采纳的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(2)[2026·山东潍坊期末] 盒中有5个红球,3个黑球,现随机从中取出一个,观察其颜色后放回,并放入同色球2个,再从盒中任取一个球,则第二次取出的是黑球的概率是 (　 )
A. B. C. D.
总结反思
1.全概率:所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能,所以把样本空间分成容易研究的几种情况,全概率公式考察的是在每一种情况下事件B发生的概率,从而计算B发生的概率(如图).
2.计算全概率主要分为三步,核心是把一个复杂事件分解成几个简单的、互不相干的事件来计算.
(1)定义样本空间的划分:找到一组事件A1,A2,…, An.这些事件需要满足两个条件:互斥性,即任意两个事件不会同时发生;穷尽性,即所有事件加起来覆盖了所有可能情况.
(2)计算每个划分事件的概率:计算P(A1),P(A2),…, P(An).
(3)应用全概率公式:计算在每个Ai发生的条件下事件B发生的概率 P(B|Ai)(i=1,2,3,…,n),代入公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+ P(An)P(B|An)即可.
【对点演练3】 (1)已知一道解答题共有两小问,某同学能够正确解答第一问的概率为0.6.在第一问不正确解答的情况下,第二问能够正确解答的概率为0.1,在第一问能够正确解答的情况下,第二问不能正确解答的概率为0.7,则该同学能够正确解答第二问的概率为(　 )
A.0.46 B.0.22
C.0.18 D.0.04
(2)[2026·江苏南通质检] 一批产品共16件,有2件不合格品,将这批产品随机分装到两个箱子中,每个箱子8件.收货方不放回地随机抽取产品进行检验,并按以下规则判断是否接收这批产品:如果抽检的第1件产品不合格,则拒收整批产品;如果抽检的第1件产品合格,则从另一个箱子中再抽检1件,若合格,则接收整批产品,否则拒收整批产品.
①求2件不合格品被装在同一个箱子中的概率;
②求这批产品被拒收的概率.



　*贝叶斯公式
例4 [2026·陕西西安模拟] 一家银行有VIP客户和普通客户,VIP客户占客户总数的30%,普通客户占客户总数的70%.已知VIP客户的信用卡未按时还款的概率为2%,而普通客户的信用卡未按时还款的概率为5%.现从该银行客户中随机抽取一个发生信用卡未按时还款的客户,则这个客户是VIP客户的概率是(　 )
A. B. C. D.
总结反思
把事件B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An看作该过程的若干个原因,如果已知事件B已经发生,要求此时是由第i(i=1,2,…,n)个原因引起的概率,则用贝叶斯公式求解(即求P(Ai|B)).
【对点演练4】 (1)某组织对某市上班族上班的出行方式进行了调查,结果显示有60%的上班族乘坐公共交通工具,有30%的上班族开私家车,有10%的上班族选择步行.在乘坐公共交通工具出行的上班族中有20%的人迟到,在开私家车出行的上班族中有30%的人迟到,在步行出行的上班族中有10%的人迟到.以频率估计概率,从该市随机选择一名上班族,若他某天上班迟到了,则这名上班族当天是乘坐公共交通工具出行的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(2)已知某商品有甲、乙、丙三个预定通道,消费者选择其中一个通道进行预订.由AI对预订情况进行统计,实时更新预订数据.据统计,在有意向预订的消费者中,选择甲、乙、丙通道预订的概率分别为,,,且对应预订成功的概率分别为,,,则在消费者预订成功的条件下,选择甲通道预订的概率为 (　 )
A. B. C. D.

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