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第61讲　二项分布与超几何分布、正态分布
【课标要求】　
1.通过具体实例,理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.通过具体实例,了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征.
4.了解正态分布的均值、方差及其含义.
1.n重伯努利试验
(1)概念:将一个伯努利试验(只包含两个可能结果的试验)独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
(2)特性:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.
2.二项分布
(1)概念:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0(2)期望与方差:E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.
3.超几何分布
(1)概念:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=　　　　　　,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},称随机变量X服从超几何分布.
(2)特点:从含有M个特殊元素的N个元素中不放回地随机抽取n个元素,X表示其中的特殊元素的个数.
(3)期望:E(X)=　　　　=np.
注意:①二项分布与超几何分布的关系.令p=为次品率,设X表示抽出的n个产品中次品的个数,则二项分布和超几何分的均值、方差对比如下.
抽取方式 X的分布 E(X) D(X)
放回抽取 二项分布 B(n,p) np np(1-p)
不放回 抽取 超几何分布 np np(1-p)
②在n次试验中,某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.
区别 当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球),X服从二项分布; 当这n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球),X服从超几何分布
联系 在不放回试验中,当总体数量N很大,而试验次数n很小时,≈1,超几何分布可以用二项分布近似
4.正态分布
(1)正态曲线:f(x)=·,x∈R,其中 μ∈R,σ>0为参数,称f(x)为正态密度函数,函数f(x)的图象为　　　　　　　　,简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线　　　　对称.
②曲线在　　　　处达到峰值.
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
④曲线与x轴围成的面积总为　　　　.
⑤在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图甲所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”,如图乙所示.
(3)正态分布的定义及表示
①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,则称随机变量X服从正态分布,记为　　　　　　.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
②服从正态分布的随机变量的均值与方差:若X~N(μ,σ2),则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.
如果X~N(μ,σ2),那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
常用结论
(1)当X~B(n,p)时,P(X=k)的最大值:
若(n+1)p是正整数,则当k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,P(X=k)取得最大值;
若(n+1)p不是正整数,则当k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值.
(2)若X~N(μ,σ2),则P(Xμ+a).
(3)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从3本物理书和5本数学书中选出3本,记选出的数学书为X本,则X服从超几何分布. (　 )
(2)有放回地抽样试验是n重伯努利试验,且在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响. (　 )
(3)如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,…,n). (　 )
(4)服从正态分布的随机变量是离散型随机变量. (　 )
题组二　教材改编
1.设随机变量X服从正态分布N(4,3),若P(Xa+1),则实数a=　　　　.
2.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从该班中任选2名学生,则他们选修不同课程的概率是　　　　.
3.有8件产品,其中4件是次品,从中有放回地取3次(每次取1件),若X表示取得次品的次数,则P(X≤2)=　　　　.
4.已知每门大炮击中目标的概率都是,现在4门大炮同时对某一目标各射击一次.记目标被击中的次数为X,则X的数学期望为　　　　,方差为　　　　.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　二项分布
例1 (1)假设某厂包装食盐的生产线生产出来的每包食盐的质量(单位:g)服从正态分布N(500,52),该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐,则恰有两包食盐的质量不低于500 g的概率为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2026·四川崇州期中] 随机变量X~B(4,p),若P(X≥1)=,则D(X)= (　 )
A. B. C. D.
(3)[2026·江西南昌二模] 为弘扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两个阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,至少答对其中2个问题,可进入第二阶段,否则被淘汰.第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,选手甲答对每个问题的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组,则每个问题答对的概率都是,若选手甲进入低分组,则每个问题答对的概率都是.
①求选手甲第一阶段不被淘汰的概率;
②求选手甲在该次比赛中得分为40的概率;
③已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中的得分为X,求随机变量X的分布列和期望.



总结反思
二项分布满足的条件:
①在每次试验中,事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时,每次试验中事件发生的概率就是相同的);
②各次试验中的事件是相互独立的;
③每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生;
④随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数.
【对点演练1】 (1)一个袋子中有完全相同的x个红球,3个白球.若采取不放回的方式从中随机摸出2个球,则摸出的2个球都是红球的概率是.现采取有放回的方式从中依次摸取3次,每次摸出1个球,则恰有两次摸出红球的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(2)某学校为了提升学生学习数学的兴趣,举行了“趣味数学”闯关比赛,每轮比赛参赛者从10道题中任意抽取3道回答,每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且各轮是否闯关成功相互独立,问:小明同学在10轮闯关比赛中,几次闯关成功的概率最大



　超几何分布
例2 (1)[2026·浙江杭州模拟] 一批零件共有10个,其中有3个不合格.随机抽取3个零件进行检测,则恰好有1个不合格的概率是 (　 )
A.　B.　C.　D.
(2)某中学组织教职工篮球活动,高一年级有10名教师参加,其中有6名男教师、4名女教师,为了满足活动的需要,要从这10名教师中随机抽取3名教师去买比赛服装.
①已知10名教师中有2名班主任,求抽取的3名教师中至少有1名班主任的概率;
②设X表示抽取的3名教师中女教师的人数,求X的分布列及数学期望.




总结反思
超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.特征是:
①考查对象分两类;
②已知各类对象的个数;
③从中抽取若干个个体,考查抽到的某类个体数X的概率分布,其本质是古典概型.
【对点演练2】 (1)一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球,从中一次性随机摸出3个球,用X表示这3个球中白球的个数,则下列概率中等于的是 (　 )
A.P(X=1) B.P(X≤1)
C.P(X≥1) D.P(X=3)
(2)[2026·江苏镇江期末] 某种植园为测试某款化肥的效果,从果园中随机选取了90棵果树作为样本,对其中的30棵进行施肥试验,一年后按照果树的产量情况得到如表所示的列联表.
单位:棵
化肥 产量 合计
正常 超常
未施肥 40 20 60
施肥 10 20 30
合计 50 40 90
①根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析果树产量超常是否与施肥有关联;
②若从样本中进行施肥的30棵果树中选取3棵,记X为产量超常的果树棵数,求X的概率分布列和期望.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828



　正态分布
例3 (1)[2026·山东淄博质检] 已知随机变量X~N(10,σ2),P(X≤8)=P(X≥m+7),则m= (　 )
A.5 B.4 C.6 D.3
(2)(多选题)设随机变量X~N(μ1,),随机变量Y~N(μ2,),其正态密度曲线如图所示,则 (　 )
A.μ1<μ2
B.P(X≥μ1)>P(X≥μ2)
C.σ1>σ2
D.P(Y≥σ1)>P(Y≥σ2)
总结反思
解决正态分布问题有三个关键点:
(1)正态曲线的对称轴(直线x=μ);
(2)标准差σ;
(3)分布区间.
利用正态曲线的对称性可求随机变量在指定范围内的概率值,一般将指定区间转化为3σ特殊区间,从而得到所求概率.
【对点演练3】 (1)某工厂生产的零件尺寸X服从正态分布N(50,0.22),质检员随机抽取100个零件,则尺寸在[49.8,50.2]内的零件个数约为(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7)(　 )
A.68 B.75
C.82 D.95
(2)[2026·云南昆明模拟] 某商场在劳动节假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给共2500名参加者中得分由高到低排在前400名的参加者发放奖励.
①假设该闯关活动每名参加者累计得分的平均数为171,累计得分在351分以上的共有57人,已知甲的累计得分为270,问甲能否获得奖励,请说明理由;
②丙得知他的累计得分为430,而乙告诉丙:“这次闯关活动每名参加者累计得分的平均数为201,累计得分在351分以上的共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
若P(A)<0.005,则可以认为A为小概率事件,其一般不可能发生.





第61讲　二项分布与超几何分布、正态分布
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
2.(1)pk(1-p)n-k　(2)np　np(1-p)
3.(1)　(3)
4.(1)正态密度曲线　(2)①x=μ　②x=μ　④1
(3)①X~N(μ,σ2)　②μ　σ2
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
[解析] (1)从3本物理书和5本数学书中选出3本,记选出的数学书为X本,则X服从超几何分布.
(2)在有放回地抽样试验中,每次抽取之间是相互独立的,每次的试验结果之间是相互独立的,所以各次试验的结果相互没有影响.
(3)如果在1次试验中某事件发生的概率是p,根据独立重复试验的概率公式,可得在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,…,n).
(4)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.
题组二
1.6　[解析] 由随机变量X服从正态分布N(4,3),得μ=4,σ2=3,因为P(Xa+1),所以a-5+a+1=8,解得a=6.
2.　[解析] 从该班中任选2名学生,他们选修不同课程的概率P==.
3.　[解析] 因为是有放回地取产品,所以每次取产品取到次品的概率均为=,所以X~B,则P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=××+××+×=.
4.　　[解析] 由题意可得X~B,所以E(X)=4×=,D(X)=4××=.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)每包食盐的质量不低于500 g的概率为,随机抽取了四包食盐,则四包食盐中质量不低于500 g的包数服从二项分布B,所以恰有两包食盐的质量不低于500 g的概率为××=.故选A.
(2)由题意得,P(X≥1)=1-P(X=0),又X~B(4,p),∴P(X=0)=p0(1-p)4-0=(1-p)4,∵P(X≥1)=,∴1-(1-p)4=,即(1-p)4=,又p∈(0,1),∴1-p>0,∴1-p=,解得p=,∴X~B,∴D(X)=4××=.故选C.
(3)解:①选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答3个问题,其中有2个或3个答对,其概率P1=+=.
②选手甲在该次比赛中得分为40有两种情况:进入高分组且答对2个问题,进入低分组且答对4个问题.故选手甲在该次比赛中得分为40的概率
P2=+=.
③X的可能取值为0,20,40,60,80,
P(X=0)==,
P(X=20)==,
P(X=40)==,P(X=60)==,
P(X=80)==,
所以X的分布列为
X 0 20 40 60 80
P
所以E(X)=0×+20×+40×+60×+80×=20.
对点演练1　(1)A　[解析] 根据题意,采取不放回的方式从中随机摸出2个球,摸出的2个球都是红球的概率P1===,即3x2-5x-2=0,解得x=2(舍去负根),所以袋中有2个红球,3个白球.采取有放回的方式摸球时,每次摸到红球的概率为,所以3次摸球中,恰有两次摸出红球的概率P2=×=.故选A.
(2)解:参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,则小明一轮比赛闯关成功的概率P==,
记小明在10轮闯关比赛中闯关成功的次数为Y,则Y~B,
故P(Y=k)=,k=0,1,…,10.
当0令≥·,且≥,
可得≤k≤,即k=7,所以小明同学在10轮闯关比赛中,7次闯关成功的概率最大.
探究点二
例2　(1)B　[解析] 从10个零件中抽取3个的样本点总数为,其中恰好有1个不合格包含的样本点个数为×,根据古典概型的概率公式得所求概率P=.故选B.
(2)解:①因为10名教师中有2名班主任,所以10名教师中有8名不是班主任,
若抽取的3名教师中没有班主任,则有种取法,从10名教师中随机抽取3名教师的方法共有种,
故抽取的3名教师中至少有1名班主任的概率为1-=.
②X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)===,P(X=1)===,
P(X=2)===,P(X=3)===,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
对点演练2　(1)C　[解析] 一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球,从中一次性随机摸出3个球,则表示从这10个球中随机摸3个球包含的样本点个数,表示从6个红球中摸出3个球包含的样本点个数,则-表示从这10个球中随机摸3个球,至少有1个白球包含的样本点个数,所以=P(X≥1).故选C.
(2)解:①零假设为H0:果树产量超常与施肥无关联.
根据列联表中的数据,经计算得到χ2==9<10.828=x0.001,
根据小概率值α=0.001的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为果树产量超常与施肥无关联.
②施肥的30棵果树中,产量超常的有20棵,产量正常的有10棵,从中选取3棵,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=k)=(k=0,1,2,3),
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.
探究点三
例3　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)由题意可知,对应正态曲线关于直线x=10对称,因为P(X≤8)=P(X≥m+7),所以=10,解得m=5.故选A.
(2)因为X~N(μ1,),Y~N(μ2,),所以两条正态曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,由题中图可知μ1<μ2,故A正确;因为μ1<μ2,所以P(X≥μ1)>P(X≥μ2),故B正确;因为X的正态曲线比Y的正态曲线更“瘦高”,所以σ1<σ2,故C错误;因为σ1<σ2,所以P(Y≥σ1)>P(Y≥σ2),故D正确.故选ABD.
对点演练3　(1)A　[解析] ∵X~N(50,0.22),即μ=50,σ=0.2,
∴P(49.8≤X≤50.2)=P(50-0.2≤X≤50+0.2)≈0.682 7,∵质检员随机抽取了100个零件,∴尺寸在[49.8,50.2]内的零件个数为100×0.682 7≈68.故选A.
(2)解:①甲能够获得奖励,理由如下.
设此次闯关活动每名参加者的累计得分为X,则X~N(μ,σ2).
由题意可知μ=171,因为=
0.022 8,且P(X>μ+2σ)=≈≈0.022 8,
所以μ+2σ≈351,则σ≈=90.而=0.16,
且P(X>μ+σ)=≈≈0.158 7<0.16,
可知累计得分高于μ+σ=261的人数不多于400,而甲的累计得分为270,
所以甲能够获得奖励.
②假设乙所说信息为真,则μ=201,
P(X≥μ+2σ)=≈≈0.022 8,
又=0.022 8,所以σ≈=75,从而μ+3σ≈201+3×75=426<430,
因为P(X≥μ+3σ)=≈≈0.001 4<0.005,
所以X≥μ+3σ为小概率事件,即丙的累计得分为430是小概率事件,可认为其一般不可能发生,但实际上却发生了,所以假设不成立,可认为乙所说信息为假.

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