资源简介

微专题10　 概率统计与数列、函数的综合问题　　　　　 　　　　　 　　　　　
微点一　概率统计与数列
例1 [2026·陕西商洛质检] 如图,已知在正四棱锥P-ABCD的某个顶点处有一个质点Q,质点Q随机地沿一条棱或底面对角线向相邻的某个顶点移动,且向每个相邻顶点移动的概率相同,从一个顶点沿一条棱或底面对角线移动到相邻顶点称为一次移动.
假设质点Q的初始位置在点A处,设质点Q移动n次后还在底面ABCD上的概率为pn.
(1)求p1,p2的值.
(2)已知数列{bn}满足bn=pn-.
(i)证明:数列{bn}为等比数列.
(ii)求数列{nbn}的前n项和Sn.



例2 [2026·河北张家口模拟] 甲、乙两人参加射击比赛,规则如下:每轮由一人射击两次,若全中则此轮的射击者赢得比赛,比赛结束,否则进行下一轮射击,由另外一人射击两次,如此类推.经过抽签,第1轮由甲射击,已知甲、乙每次射击命中的概率分别为,p,各次射击互不影响.
(1)若p=,记X为比赛结束时的轮数,证明:P(X>n+1|X>n)=P(X>1)(n∈N*).
(2)若p=,记事件Ai=“比赛在第i轮时未结束”,B=“甲赢得比赛”.
(i)写出P(Ai+1)与P(Ai)的关系式并求P(Ai);
(ii)求P(B).
参考公式:若0



总结反思
数列与概率结合的问题具有数列的性质,故求解过程也可按照数列的解题策略进行:
①找到当下状态的“前一次”的所有可能情况;
②结合对应概率写出“前一次”所有可能中蕴含的数列递推关系;
③利用数列递推关系或性质求解答案.
【对点演练1】 [2026·河北廊坊期末] 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选,若第1次投篮的人是甲、 乙的概率均为,则第i(i∈N*)次投篮的人是甲的概率是　　　　.
微点二　概率统计与函数
例3 (1)[2026·广东广州模拟] 如图,一质点在随机外力的作用下,在x轴上从原点0出发向右运动,每次移动1个单位或2个单位,其中每次移动1个单位的概率均为p(0(2)在一场比赛中,甲、乙两人约定谁先赢k(k≥1,k∈N*)局,谁便赢得全部奖金a元.每局甲赢的概率为p(0总结反思
对于概率的最值问题,常将其概率表达式视作一个函数,通过研究函数的性质确定概率的最值.
【对点演练2】 有一个摸奖游戏,在一个口袋中装有6个红球和4个黑球,这些球除颜色外完全相同.游戏规定:每位参与者进行n(n∈N*)次摸球,每次从袋中摸出一个球,有两种摸球方式:一是(有放回摸球)每次摸球后将球放回袋中,再进行下一次摸球,摸到红球的次数记为X;二是(不放回摸球)每次摸球后将球不放回袋中,直接进行下一次摸球,摸到红球的次数记为Y.
(1)若n=4.
(i)求随机变量Y的分布列和数学期望;
(ii)游戏规定摸到的红球次数不少于摸到的黑球次数则中奖,在这个规则下,设有放回摸球中奖概率为P1,不放回摸球中奖概率为P2,求P1和P2,并比较它们的大小.
(2)若n=10,当P(X=k)取得最大时的k值满足f(x)=(a>1,k∈N*),函数y=f(6x)与y=x的图象有两个不同的公共点,求a的取值范围.



微专题10　 概率统计与数列、函数的综合问题
微点一
例1　解:(1)由题可知,质点Q移动一次后还在底面上的概率为,所以p1=,
当n≥2时,pn-1表示质点移动(n-1)次后在平面ABCD上的概率,
1-pn-1表示质点移动(n-1)次后不在平面ABCD上的概率.
若质点移动(n-1)次后在底面ABCD上,则第n次移动后仍在底面ABCD上的概率为,若质点移动(n-1)次后不在底面ABCD上,则第n次移动后在底面ABCD上的概率为1,
所以p2=p1+1×(1-p1)=+=.
(2)(i)证明:由(1)知,pn=pn-1+1×(1-pn-1)=-pn-1+1,n≥2,
所以pn-=-,n≥2,所以bn=-bn-1,n≥2,
因为b1=-,所以数列{bn}是以-为首项,-为公比的等比数列.
(ii)因为bn=-×=×,所以nbn=×,
所以Sn=×+×+×+…+×,
-Sn=×+×+×+…+×.
两式相减可得Sn=×+×+×+…+×-×=
×-×=-+,
故Sn=-.
例2　解:(1)证明:X>1表示第1轮甲射击没有全中,则P(X>1)=1-=.
若p=,则每一轮比赛中,甲、乙射击没有全中的概率均为1-=,
故X>n表示前n轮射击没有出现全中,则P(X>n)=,
同理知P(X>n+1)=,
所以P(X>n+1|X>n)====P(X>1).
(2)(i)甲在奇数轮时射击,乙在偶数轮时射击,
记事件C=“甲两次射击没全中”,事件D=“乙两次射击没全中”,
则P(A1)=P(C)=1-=,P(D)=1-=,
当i为偶数时,第i+1轮由甲射击,Ai+1发生等价于Ai发生且甲两次射击没全中,
即Ai+1=AiC,又各次射击互不影响,Ai与C独立,
所以P(Ai+1)=P(AiC)=P(Ai)·P(C)=P(Ai)①,
当i为奇数时,第i+1轮由乙射击,同理得P(Ai+1)=P(D)P(Ai)=P(Ai)②.
由①②知,当i为奇数时,P(Ai+2)=P(Ai+1)=×P(Ai)=P(Ai),
所以当i为奇数时,{P(Ai)}是首项为,公比为的等比数列,则P(Ai)=×;
当i为偶数时,P(Ai)=P(Ai-1)=××=.
综上可知,P(Ai)=
(ii)方法一:甲只可能在奇数轮时获胜,
则B=∪(A2)∪(A4)∪…∪(A2k)∪…,k∈N*,
A2k表示比赛在第2k轮未结束,在2k+1轮结束,
所以P(|A2k)=P()=,
所以P(A2k)=P(A2k)P(|A2k)=×,
又因为事件A2k两两互斥,所以P(B)=P()+P(A2)+P(A4)+…+P(A2k)+…=×+…=×=.
方法二:注意到若前2轮比赛仍未分出胜负,则后续与刚开始比赛时完全一样,即“遗忘”了前2轮的结果,
从第3轮开始甲获胜的概率仍然为P(B),即P(B|A2)=P(B),体现无记忆性,
所以P(B)=P[∪(A2B)]=P()+P(A2B)=P()+P(A2)·P(B|A2)=P()+P(A2)P(B),即P(B)=+×P(B),解得P(B)=.
对点演练1　-·　[解析] 记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,i∈N*,设P(Ai)=pi,则P(Bi)=1-pi,
则P(Ai+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),
即pi+1=pi+(1-pi)=pi+,所以pi+1-=,
由p1=,得p1-=-,因此数列是首项为-,公比为的等比数列,
则pi-=-·,即pi=-·,
所以第i次投篮的人是甲的概率为-·.
微点二
例3　(1)5　　(2)16　[解析] (1)由于4=1+1+1+1=1+1+2=2+2,
故从原点0移动到数字4的位置的方法种数为1++1=5,即a4=5.
设第i次移动bi个单位,其中bi∈{1,2},i∈{1,2,3,4,5},
所以b1+b2+b3+b4+b5=8=2+2+2+1+1,
所以bi中有三个2,两个1,
所以f(p)=(1-p)3p2=10(1-p)3p2(0求导得f'(p)=-30(1-p)2p2+20p(1-p)3=10p(1-p)2(2-5p)(0由f'(p)>0,得0从而f(p)在上单调递增,在上单调递减,
所以f(p)的最大值是f=10×=.
(2)由题意知甲赢了2局,乙赢了1局时,比赛意外终止.
设再进行X局乙赢得全部奖金,则X可能的取值为3或4,
当X=3时,甲赢2局,乙赢4局,P(X=3)=(1-p)3,
当X=4时,甲赢3局,乙赢4局,P(X=4)=p(1-p)3=3p(1-p)3.
记事件A为“两人继续进行下去乙赢得全部奖金”,
则P(A)=(1-p)3+3p(1-p)3=(1+3p)(1-p)3.
令f(p)=(1+3p)(1-p)3,≤p<1,则f'(p)=-12p(1-p)2,
因为p∈,所以f'(p)<0,f(p)在上单调递减,
所以P(A)max=f(p)max=f=.
又a=27,所以乙最多可获得27×=16(元).
对点演练2　解:(1)(i)对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,摸到红球的次数Y的可能取值为0,1,2,3,4,
P(Y=k)=,k=0,1,2,3,4,
则P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,
P(Y=3)==,P(Y=4)==,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P
所以E(Y)=0×+1×+2×+3×+4×=.
(ii)对于有放回摸球,各次试验的结果互相独立,X~B,
则P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==,
故P1=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=.
由(i)可知P2=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=.
因为<,所以P1(2)当n=10时,X~B,
若P(X=k)最大,
则P(X=k)≥P(X=k+1),且P(X=k)≥P(X=k-1),
即≥·,且≥,得≤k≤,
又k∈N*,所以k=6,
故f(x)=(a>1),所以f(6x)=ax.由题得方程ax=x有两个不相等的正实根,
方程两边取自然对数,整理得ln a=有两个不相等的正实根.
构造函数g(x)=,则g'(x)=,
令g'(x)=0,得x=e,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,又当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,
所以可作出g(x)=的大致图象,如图所示.
由图可得0

展开更多......

收起↑