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第5讲　一元二次方程、不等式 (时间:45分钟)
1.[2026·安徽江南十校联考] 已知集合A={x|-x2+x+2>0},B={x∈N||x-1|≤1},则A∩B= (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.{1} B.{0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
2.[2026·重庆沙坪坝模拟] 不等式 >0的解集是 (　 )
A.(-∞,-2)∪(0,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-2,0)
D.(-2,0)∪(2,+∞)
3.若关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为非空集合,则实数m的取值范围是 (　 )
A.m>0 B.0C.m> D.m<0
4.若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是 (　 )
A.-22
C.-25.若关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1,x2),且+=2,则实数m的值为 (　 )
A.-4 B.-1
C.1 D.4
6.已知方程x2-2mx+m+2=0的两根都在区间(1,4)内,则实数m的取值范围为 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.[2,3) B.
C. D.
7.(多选题)“存在x∈[2,4],使kx+15=0”的必要不充分条件可以是 (　 )
A.-8≤k≤-1
B.-7≤k≤-5
C.-9≤k≤-2
D.-6≤k≤-4
8.不等式>1的解集为　　　　　　　.(答案写成区间形式)
9.[2025·辽宁沈阳期末] 若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围是　　　　　.
10.[2026·江西赣州模拟] 已知二次函数f(x)=ax2-4x+3.
(1)若f(x)<0的解集为{x|1(2)解关于x的不等式f(x)>2ax-2x-1.
11.对任意的x∈R,不等式mx2-(2+mn)x+2n≥0恒成立,则9m+n的最小值为 (　 )
A.6 B.6 C.4 D.4
12.(多选题)已知关于x的方程mx2+(m-3)x+m=0,则下列说法正确的是 (　 )
A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m≠0
B.方程无实数根的一个必要条件是m>1或m<-3
C.方程有两个正根的充要条件是0D.当m=3时,方程的两个实数根之和为0
13.[2026·江苏南通期末] 已知命题“对任意的x∈[-1,2],x2+2x+a<0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
14.已知关于x的不等式ax2-(a+2)x+b≤0.
(1)若不等式的解集为{x|1≤x≤2},求a,b的值;
(2)若b=2,求不等式的解集;
(3)在(1)的条件下,若对任意的x>1,不等式≥2k2+k恒成立,求实数k的取值范围.第5讲　一元二次方程、不等式
1.B　[解析] 由题意得,A={x|x2-x-2<0}={x|-12.D　[解析] 原不等式等价于或解得x>2或-23.D　[解析] 因为(mx-1)(x-2)>0的解集为,所以m<0且<2,故m<0.故选D.
4.C　[解析] 不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化为(a-2)x2+(2a-4)x-4<0.当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,恒成立,故a=2满足题意;当a-2≠0,即a≠2时,要使不等式恒成立,则需
解得-25.B　[解析] 因为关于x的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0的解集为(x1,x2),所以Δ=4(m-1)2-4(m2-m)>0,x1+x2=-2(m-1),x1·x2=m2-m,得m<1.因为+==2,所以=2,解得m=-1.故选B.
6.D　[解析] 令f(x)=x2-2mx+m+2,设f(x)=0的两根为x1,x2,
由x1,x2都在区间(1,4)内,得
解得2≤m<,所以实数m的取值范围为.
故选D.
7.AC　[解析] 由存在x∈[2,4],使kx+15=0,可得(2k+15)(4k+15)≤0,解得-≤k≤-.
分析选项知A,C符合题意,故选AC.
8.(-2,1)∪(3,+∞)　[解析] 由>1,得-1>0,则>0,即>0,解得-23.
9.(1,+∞)　[解析] 由题意,x∈R,则x2+2x+a恒不为零,即关于x的方程x2+2x+a=0没有实根,则Δ=22-4a=4-4a<0,解得a>1.
10.解:(1)由f(x)<0的解集为{x|10,则f(1)=a-4+3=0,解得a=1.
由1+b==4,解得b=3,
所以a=1,b=3.
(2)由二次函数f(x)=ax2-4x+3,知a≠0.
不等式f(x)>2ax-2x-1整理得ax2-(2a+2)x+4>0,即(ax-2)·(x-2)>0①.
当a>0时,①式等价于·(x-2)>0②.
若>2,即0;
若=2,即a=1,则由②式可得x≠2;
若<2,即a>1,则由②式可得x<或x>2.
当a<0时,①式等价于·(x-2)<0,解得综上,当01时,原不等式的解集为∪(2,+∞);当a<0时,原不等式的解集为.
11.B　[解析] 对任意的x∈R,不等式mx2-(2+mn)x+2n≥0恒成立.当m=0时,-2x+2n≥0不恒成立,不符合题意;当m≠0时,需满足m>0且Δ=(2+mn)2-4m×2n≤0,即(2-mn)2≤0,所以2-mn=0,所以mn=2,所以m>0,n>0,则9m+n≥2=6,当且仅当9m=n=3时,等号成立,故9m+n的最小值为6.故选B.
12.BC　[解析] 对于A,当m=1时,方程为x2-2x+1=0,解得x=1,只有一根,故A错误;对于B,若关于x的方程mx2+(m-3)x+m=0无实数根,则解得m>1或m<-3,故B正确;对于C,方程有两个正根等价于
解得013.[-8,+∞)　[解析] 由题意可得命题“ x∈[-1,2],x2+2x+a≥0”为真命题,即当x∈[-1,2]时,a≥-x2-2x有解.令f(x)=-x2-2x,x∈[-1,2],则a≥f(x)min,f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1在[-1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=-8,所以a≥-8,即实数a的取值范围为[-8,+∞).
14.解:(1)因为关于x的不等式ax2-(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2},
所以关于x的方程ax2-(a+2)x+b=0的两根为1,2,且a>0,
所以解得
(2)因为b=2,所以ax2-(a+2)x+2≤0,即(x-1)(ax-2)≤0.
①当a=0时,不等式为-2(x-1)≤0,解得x≥1;
②当a<0时,不等式可化为(x-1)≥0,解得x≥1或x≤;
③当>1,即0④当=1,即a=2时,不等式可化为2(x-1)2≤0,解得x=1;
⑤当0<<1,即a>2时,不等式可化为(x-1)≤0,解得≤x≤1.
综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x≥1};当a<0时,原不等式的解集为;当02时,原不等式的解集为.
(3)由(1)知不等式
≥2k2+k对任意的x>1恒成立,
即≥2k2+k对任意的x>1恒成立,
只需≥2k2+k.
因为x>1,所以x-1>0,
所以==(x-1)+-1≥2-1=1,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,
所以2k2+k≤1,即(k+1)(2k-1)≤0,解得-1≤k≤,故实数k的取值范围为.

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