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第二单元　函数
第6讲　函数的概念及其表示
1.B　[解析] ∵函数f(x)=log2(x2-1)+,∴
∴∴f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(1,+∞).故选B.
2.B　[解析] 由题得f(100)=lg 100=2,f(2)=102=100,故f[f(100)]=100.故选B.
3.C　[解析] 由不等式x2-x-6=(x-3)(x+2)≥0,解得x≤-2或x≥3,所以集合B={x|x≤-2或x≥3}.因为集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以A∩B={-3,-2,3},所以A∩B的子集个数为23=8.故选C.
4.D　[解析] 由f(x+1)=x2+x=(x+1)2-(x+1),可得f(x)=x2-x.又函数f(x+1)的定义域为[-1,1],所以0≤x+1≤2,所以函数f(x)=x2-x的定义域为[0,2].故选D.
5.D　[解析] 当x≥0时,≥0;当x<0时,-x>0,则x+=-≤-4,当且仅当-x=,即x=-2时,等号成立,故函数的值域为(-∞,-4]∪[0,+∞),故选D.
6.A　[解析] 不妨设x1由图可知x1,x2∈(0,2),x3∈(2,+∞),又y=-2x2+4x的图象的对称轴是直线x=1,且f(x)max=2,所以x1+x2=2,则x1+x2+x3∈(4,+∞).
当x∈(2,+∞)时, f(x)==1-单调递增,且f(x)==1-∈(0,1),因为f(4)==,所以f(x1+x2+x3)∈.故选A.
7.A　[解析] 对于f(x)-f(x-y)=-f(y),令x=1,y=0,则f(1)-f(1)=-f(0),得f(0)=0;令x=y=1,则f(1)-f(0)=-f(1),得f(1)=0;令x=2,y=1,则f(2)-f(1)=-f(1),得f(2)=0.故选A.
8.AD　[解析] f(x)=若f(m)=3,则或即或所以m=-2或m=8.故选AD.
9.ABD　[解析] 对于A,由解得-1≤x≤1,所以y=·的定义域为[-1,1];由1-x2≥0,解得-1≤x≤1,所以y=的定义域为[-1,1].又y=·=,所以两个函数有相同的定义域及对应关系,表示同一个函数,选项A正确.
对于B,因为函数f(x)的定义域为[-3,1],所以-3≤2x-1≤1,解得-1≤x≤1,所以函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],选项B正确.
对于C,由x-1≥0,可得函数y=x+的定义域为[1,+∞).
又函数y=x+在[1,+∞)上单调递增,所以y=x+≥1+=1,所以函数y=x+的值域为[1,+∞),选项C错误.
对于D,因为f(x)+2f=x①,所以f+2f(x)=②,由②×2-①得3f(x)=-x,解得f(x)=-+(x≠0),选项D正确.故选ABD.
10.解:(1)f(2x+5)=3(2x+5)+2=6x+17.
(2)方法一(换元法):令t=+1,t≥1,则x=(t-1)2,
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1).
方法二(配凑法):f(+1)=x+2=x+2+1-1=-1,+1≥1,
所以f(x)=x2-1(x≥1).
(3)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
所以解得所以f(x)=x2-2x-1.
(4)由题意可得解方程组,可得f(x)=x.
11.D　[解析] 当a>1时,由f(a)=5-a,得2a+2=5-a,即2a+a=3,解得a=1,又因为函数y=2x+x在R上单调递增,所以方程2a+a=3只有这一个根,又因为a>1,所以a=1舍去.当a≤1时,由f(a)=5-a,得4a+3=5-a,即5a=2,解得a=.
综上,实数a的值为.故选D.
12.D　[解析] 因为G在函数g(x)的图象上,且F(x,y)在函数f(x)=sin x的图象上,所以y=g=sin x.令t=x-,则x=t+,则g(t)=sin,因此g(x)=sin,则g=sin=sin=.故选D.
13.25　[解析] 对于2f(x)+f=6x+,以代替x,得2f+f(x)=+9x,则2-=3f(x)=2--9x,
得f(x)=x+,则f(x)f==4x2++17≥2+17=25,当且仅当4x2=,即x=±1时,等号成立,故f(x)·f的最小值是25.
14.解:(1)证明:令y=x,则f(x·x)=f(x)+f(x),故f(x2)=2f(x).
令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),故f(1)=0.令y=,则f=f(x)+f=f(1)=0,
所以f=-f(x).
(2)对于f(x)-3f(2-x)=1-4ln(2-x),令x=1,则f(1)-3·f(1)=1,得f(1)=-.
当x∈(-∞,1)时,2-x∈(1,+∞),故f(2-x)=ln(2-x)+22-x,
因为f(x)-3f(2-x)=1-4ln(2-x),所以f(x)=1-4ln(2-x)+3·f(2-x)=1-4ln(2-x)+3[ln(2-x)+22-x]=1-ln(2-x)+3·22-x.
综上,f(x)=第二单元　函数
第6讲　函数的概念及其表示 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.[2026·湖南永州联考] 函数f(x)=log2(x2-1)+的定义域是 (　 )
A.(-∞,-2)∪(-2,1)∪(1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(1,+∞)
C.[-2,-1)∪(1,+∞)
D.(-2,-1)∪(1,+∞)
2.已知函数f(x)=则f[f(100)]=(　 )
A.1010 B.100 C.2 D.1
3.[2025·山东泰安模拟] 已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|y=},则A∩B的子集个数为 (　 )
A.3 B.4 C.8 D.9
4.[2025·江苏连云港期中] 已知函数f(x+1)=x2+x,且函数f(x+1)的定义域为[-1,1],则 (　 )
A.f(x)=x2+3x+1,x∈[-2,0]
B.f(x)=x2+3x+1,x∈[0,2]
C.f(x)=x2-x,x∈[-2,0]
D.f(x)=x2-x,x∈[0,2]
5.函数y=的值域为 (　 )
A.[0,4]
B.[-4,0]
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
6.已知函数f(x)=若存在三个不相等的实数x1,x2,x3使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则f(x1+x2+x3)的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.(2,+∞)
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(x-y)=-f(y),则f(2)= (　 )
A.0 B.1
C.2 D.-2
8.(多选题)已知f(x)=若f(m)=3,则m的值可以是 (　 )
A.-2 B.-1
C.4 D.8
9.(多选题)[2026·广东东莞联考] 下列说法正确的是 (　 )
A.y=·与y=表示同一个函数
B.已知函数f(x)的定义域为[-3,1],则函数f(2x-1)的定义域为[-1,1]
C.函数y=x+的值域为[0,+∞)
D.已知函数f(x)满足f(x)+2f=x,则f(x)=-+(x≠0)
10.(1)已知f(x)=3x+2,求f(2x+5)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(3)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x);
(4)已知2f(x)+f(-x)=x(x∈R),求f(x).
11.已知函数f(x)=若f(a)=5-a,则实数a的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.或2 B.或1
C.1 D.
12.如果F(x,y)是函数f(x)=sin x图象上的一点,那么G就是函数g(x)图象上的点,则g= (　 )
A.-　　　B.0　　　C.　　　D.
13.设定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足2f(x)+f=6x+,则f(x)f的最小值是　　　　.
14.(1)已知对任意正实数x,y,总有f(xy)=f(x)+f(y).求证: f(x2)=2f(x), f=-f(x).
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足当x≤1时, f(x)-3f(2-x)=1-4ln(2-x),当x>1时, f(x)=ln x+2x,求f(x)的解析式.

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