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第8讲　函数的奇偶性、周期性、对称性
1.D　[解析] 由题可知f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)==-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A;当x>0时,2-x+2x>0,-x<0,则f(x)<0,当x<0时,2-x+2x>0,-x>0,则f(x)>0,排除B,C.故选D.
2.C　[解析] 由题可知函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,则f(-x)+f(x)=·cos(-x)+cos x=0恒成立,而cos x不恒为0,因此2m--=0恒成立,所以m=.故选C.
3.B　[解析] 因为函数f(x+1)是定义在R上的偶函数,所以对任意的x∈R, f(-x+1)=f(x+1)恒成立,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-1)=f(3).又因为f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(1)4.C　[解析] 函数f(x+1)的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,因为函数f(x+1)的一个周期为4,所以4也是f(x)的一个周期.对于A选项,由题中图象知f(0)=f(-1+1)=-1≠0,错误;对于B选项,由题中图象知f(2)=f(1+1)=1≠-1,错误;对于C选项,99=4×24+3,则f(99)=f(3),又由题中图象知f(3)=f(2+1)=0,所以f(99)=0,正确;对于D选项,100=4×25,则f(100)=f(0)=-1≠1,错误.故选C.
5.A　[解析] 因为当x>0时, f(2x)=2f(x)-1,所以f(x)=[1+f(2x)],且f(4)=2f(2)-1,又f(2)+f(4)=5,所以f(2)+2f(2)-1=5,解得f(2)=2,因此f(1)=[1+f(2)]=.又f(x)是R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-.故选A.
6.A　[解析] 由f(2x-1)为偶函数,得f(-2x-1)=f(2x-1),即f(-x-1)=f(x-1), 即f(-x-2)=f(x).
由f(x+1)为奇函数,得f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x+2)=-f(x),因此f(-x-2)=-f(-x+2),即f(x+4)=-f(x),则f(x+8)=-f(x+4)=f(x),又当x∈[-1,1)时,f(x)=|x|,所以f=f=-f=-.故选A.
7.C　[解析] f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=-f(-x),f(0)=0,
又由f(x+π)=f(x),可得f(x)的一个周期为π,所以f(x+π)=-f(-x),令x=-,可得f=0.又当x∈时, f(x)=3cos x,所以f+f+f(2π)=f+f+f(0)=f+f+f(0)=-f+f+f(0)=-3cos+3cos+0=.故选C.
8.ABD　[解析] 对于A,因为f[(-x)2]=f(x2),所以f(x2)是偶函数,故A正确;对于B,因为f(x)为奇函数,所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,则|f(x)|是偶函数,故B正确;对于C,因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)],所以g[f(x)]是偶函数,故C错误;对于D,因为h(|-x|)=h(|x|),所以h(|x|)为偶函数,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)h(|x|)是奇函数,故D正确.故选ABD.
9.1　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),
又当x>0时, f(x)=lg x,所以f(5)-f(-2)=lg 5+f(2)=lg 5+lg 2=lg 10=1.
10.解:(1)设函数f(x)=图象的对称中心为(a,b),则y=f(x+a)-b为奇函数,
所以f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,即f(-x+a)+f(x+a)=2b,即+=2b,
整理可得==2b,
所以16=22a恒成立,则a=2,
所以=2b,所以b=,
所以函数f(x)=图象的对称中心为.
(2)由(1)可知=f(x)+f(4-x),从而f(x)+f(x-2)<可化为f(x-2)<-f(x),即f(x-2)因为f(x)=为R上的减函数,所以x-2>4-x,即x>3.
故f(x)+f(x-2)<的解集为{x|x>3}.
11.C　[解析] 由①,可知f(x+6)=f(-x+6),∴f(x)的图象关于直线x=6对称.由②,令t=2+x,则x=t-2,可知f(6-t)=-f(t),∴f(x)的图象关于点(3,0)对称,则f(6-x)=-f(x),又f(x+6)=f(-x+6),∴f(x+6)=-f(x),则f(x+12)=-f(x+6)=f(x),则f(x)的一个周期为12,故f(121)=f(1).由③,可知f(x)在(0,3)上单调递增,∵f(x)的图象关于点(3,0)对称,
∴f(x)在(3,6)上单调递增,又∵f(x)的图象在R上连续不断,
∴f(x)在(0,6)上单调递增,故f(1)12.BC　[解析] 对于A,因为f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则4是函数f(x)的一个周期,所以A错误;对于B,因为f(2-x)是偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),即函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以B正确;对于C,因为f(2-x)=f(2+x)=-f(x),所以f(2-x)+f(x)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以C正确;对于D,因为f(2-x)=f(2+x),所以f(-x)=f(4+x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以D错误.故选BC.
13.e2-1　[解析] 由f(x+1)是定义在R上的奇函数,得f(-x+1)=-f(x+1),即f(2-x)=-f(x),又f(x+4)=f(2-x),所以f(x+4)=-f(x), 则f(x+8)=-f(x+4)=f(x),因此8是f(x)的一个周期,且f(1)=0.因为当x∈(1,3]时, f(x)=ex-log2x,所以f(2)=e2-1,所以f(2025)+f(2026)=f(1)+f(2)=e2-1.
14.解:(1)函数f(x)=aex+be-x的定义域为R.
若函数f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即ae-x+bex+aex+be-x=0,即(a+b)(ex+e-x)=0,
因为ex+e-x>0,所以a+b=0,即b=-a,
所以a2-2b=a2+2a=(a+1)2-1≥-1,当且仅当a=-1时取等号,
所以a2-2b的最小值为-1.
(2)若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)(*)对任意x∈R恒成立,
由(*)式得ae-x+bex=aex+be-x,整理得(a-b)(ex-e-x)=0,
因为ex-e-x不恒等于0,所以a-b=0,即a=b.
因为e2x+e-2x+f(x)≥0对任意x∈R恒成立,所以e2x+e-2x+a(ex+e-x)≥0对任意x∈R恒成立,
令t=ex+e-x,则t≥2=2,当且仅当x=0时取等号,
则e2x+e-2x+a(ex+e-x)≥0对任意x∈R恒成立,等价于t2-2+at≥0对任意t≥2恒成立,所以-a≤t-对任意t≥2恒成立,
又y=t-在[2,+∞)上单调递增,故t-≥2-=1,
所以-a≤1,即a≥-1.第8讲　函数的奇偶性、周期性、对称性 (时间:45分钟)
1.[2025·山西运城期末] 函数f(x)=的图象大致为 (　 )
A　　　B
C　　　D
2.已知函数f(x)=cos x为奇函数,则m= (　 )
A.5 B.4 C. D.1
3.[2026·黑龙江绥化模拟] 已知函数f(x+1)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则f(-1), f(1), f(2)的大小关系是 (　 )
A.f(-1)B.f(1)C.f(1)D.f(2)4.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)是一个周期为4的周期函数且其图象如图所示,则 (　 )
A.f(0)=0 B.f(2)=-1
C.f(99)=0 D.f(100)=1
5.[2026·安徽合肥模拟] 已知定义在R上的奇函数f(x),满足当x>0时, f(2x)=2f(x)-1,且f(2)+f(4)=5,则f(-1)= (　 )
A.- B.
C.-3 D.3
6.[2026·江苏南通模拟] 若定义在R上的函数f(x)满足f(2x-1)为偶函数, f(x+1)为奇函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=|x|,则f= (　 )
A.- B.0 C. D.
7.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+π)=f(x),当x∈时, f(x)=3cos x,则f+f+f(2π)=(　 )
A. B.1
C. D.0
8.(多选题)[2026·湖南名校联合体模拟] 若函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 (　 )
A.f(x2)是偶函数
B.|f(x)|是偶函数
C.g[f(x)]是奇函数
D.f(x)h(|x|)是奇函数
9.[2025·浙江宁波期末] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=lg x,则f(5)-f(-2)=　　　　.
10.已知y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.若f(x)=(x∈R).
(1)求f(x)图象的对称中心;
(2)求不等式f(x)+f(x-2)<的解集.
11.[2025·重庆南开中学质检] 已知定义域为R的函数f(x)的图象连续不断,且函数f(x)满足:①f(x+6)为偶函数;②对任意的x∈R, f(2+x)+f(4-x)=0;③对任意的x1,x2∈(0,3),>0恒成立.则f(2), f(5), f(121)的大小关系为 (　 )
A.f(2)B.f(2)C.f(121)D.f(5)12.(多选题)[2026·广东深圳模拟] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且f(2-x)为偶函数,则下列结论正确的是 (　 )
A.4不是函数f(x)的一个周期
B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称
C.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.函数f(x)为奇函数
13.已知f(x+1)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(2-x),当x∈(1,3]时, f(x)=ex-log2x,则f(2025)+f(2026)=　　　　.
14.已知函数f(x)=aex+be-x.
(1)若函数f(x)为奇函数,求a2-2b的最小值;
(2)若函数f(x)为偶函数,且e2x+e-2x+f(x)≥0对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.

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