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微专题1　抽象函数的性质及其应用
(时间:35分钟)
1.已知函数f(x)的定义域为R,函数g(x)=f(x)+x2为奇函数,且g(x-4)=g(x),则f(-6)的值为 (　 )
A.-4 B.-36 C.0 D.36
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,则 (　 )
A.y=f(x)g(x)是偶函数
B.y=f[g(x)]是奇函数
C.y=f(x)-g(x)是奇函数
D.y=g[f(x)]是偶函数
3.已知函数f(x)的定义域为R, f(x)为奇函数, f(x+1)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=x2+ax-2,则f= (　 )
A.- B.- C.- D.-
4.[2026·辽宁名校联盟联考] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x+1)为奇函数,且f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(i)= (　 )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x)的图象是连续不断的且f(x+2)为偶函数.若对任意的x1,x2∈[2,4],(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(65.5)B.f(-24.5)C.f(65.5)D.f(-24.5)6.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,则下列说法正确的是 (　 )
A. f(x)的解析式可以表示为一个偶函数与一个奇函数的解析式之和
B.若f(x)是奇函数,则[f(x)]2是偶函数
C.若f(x)是偶函数,则x3f(x)是偶函数
D.若f(x)是奇函数,则f(x3)是奇函数
7.[2026·山西临汾质检] 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(2026)=　　　　.
8.[2025·重庆西南大学附中模拟] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)+2x,则f(2026)=　　　　.
9.[2026·福建漳州模拟] 定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>1.若f(2)=2,则不等式f(x)>x的解集为 (　 )
A.(0,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,2)
D.(-2,0)∪(2,+∞)
10.[2025·湖北武昌实验中学模拟] 已知f(x)是定义域为R的偶函数, f(5.5)=4,g(x)=(x-1)f(x),若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=　　　　. 微专题1　抽象函数的性质及其应用
1.B　[解析] 因为函数g(x)=f(x)+x2为奇函数,所以g(-2)=-g(2).因为g(x-4)=g(x),所以g(-2)=g(2),所以g(-2)=g(2)=0,则g(-6)=g(-2)=0,即g(-6)=f(-6)+(-6)2=0,所以f(-6)=-36.故选B.
2.D　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),因为g(x)是定义在R上的偶函数,所以g(-x)=g(x).对于A,因为f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),所以y=f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B,因为f[g(-x)]=f[g(x)],所以y=f[g(x)]为偶函数,故B错误;对于C,因为f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x),与f(x)-g(x)和-[f(x)-g(x)]均不相等,所以y=f(x)-g(x)为非奇非偶函数,故C错误;对于D,因为g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)],所以y=g[f(x)]为偶函数,故D正确.故选D.
3.C　[解析] 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),因为f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),
则f(-x)=f(x+2),故f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故4是函数f(x)的一个周期.又f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=f(2)=4+2a-2=0,解得a=-1,则f=f=f=--2=-.故选C.
4.B　[解析] 由f(2x+1)为奇函数,得f(-2x+1)+f(2x+1)=0,所以f(x)图象的对称中心为(1,0),则f(1)=0,f(x)+f(2-x)=0.由f(x)的图象关于直线x=2对称,得f(2+x)=f(2-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则4是f(x)的一个周期.又易得f(1)+f(3)=0, f(2)+f(4)=0,所以f(i)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2025)=506×(0+0)+f(1)=0.故选B.
5.D　[解析] ∵f(x+2)为偶函数,
∴f(-x+2)=f(x+2),∴f(-x)=f(x+4),f(x)的图象关于直线x=2对称.∵f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于(0,0)对称,f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x),∴f(x)为一个周期为8的周期函数.∵对任意的x1,x2∈[2,4],(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,∴f(x)在[2,4]上单调递减.由f(x)的图象是连续不断的及f(x)的单调性、对称性可得f(x)的草图如图所示.
∵f(-24.5)=f(-0.5)=f(4.5), f(83.5)=f(3.5), f(65.5)=f(1.5)=f(2.5),由图可知f(4.5)6.ABD　[解析] 对于A,令g(x)=,h(x)=,则g(-x)==g(x),h(-x)=
=-h(x),又g(x)+h(x)=f(x),∴f(x)的解析式可以表示为一个偶函数与一个奇函数的解析式之和,A正确;对于B,若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x), ∴[f(-x)]2=[-f(x)]2=[f(x)]2,则[f(x)]2是偶函数,B正确;对于C,若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),∴(-x)3·f(-x)=-x3f(x),则x3f(x)是奇函数,C错误;对于D,若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x), ∴f[(-x)3]=f(-x3)=-f(x3),则f(x3)是奇函数,D正确.故选ABD.
7.-1　[解析] 由题可知f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,令y=1,则f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x-1)=f(x)-f(x+1),所以f(x)=f(x+1)-f(x+2),所以f(x-1)=f(x+1)-f(x+2)-f(x+1)=-f(x+2),所以f(x+2)=-f(x+5),所以f(x-1)=f(x+5),即f(x)=f(x+6),故6是f(x)的一个周期,所以f(2026)=f(337×6+4)=f(4)=-f(1)=-1.
8.2026　[解析] 方法一:由于函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0.对于f(1+x)=f(1-x)+2x,令x=1,得f(2)=f(0)+2=2.可知f(x+4)=f(1-x-3)+2x+6=-f(x+2)+2x+6=-[f(1-x-1)+2x+2]+2x+6=f(x)+4,即f(x+4)-f(x)=4,则f(2026)=f(2026)-f(2022)+f(2022)-f(2018)+…+f(6)-f(2)+f(2)=4×506+f(2)=2024+2=2026.
方法二:由于函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0.对于f(1+x)=f(1-x)+2x,令x=1,得f(2)=f(0)+2=2;令x=3,得f(4)=f(-2)+6=-f(2)+6=4.设f(x)=x,则f(1+x)=1+x, f(1-x)=1-x,即f(1+x)-f(1-x)=2x,符合题意,所以f(2026)=2026.
9.D　[解析] 因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,>1,所以-1=
=>0.设g(x)=f(x)-x,则>0对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(x)在R上为奇函数,所以g(-x)=f(-x)-(-x)=-f(x)+x=-[f(x)-x]=-g(x),所以g(x)在R上为奇函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.因为f(2)=2,所以g(2)=f(2)-2=0,则g(-2)=-g(2)=0,所以g(x)=f(x)-x>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞),所以f(x)>x的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选D.
10.6　[解析] 因为g(x+1)是偶函数,且g(x+1)=xf(x+1),其中y=x为奇函数,所以y=f(x+1)必为奇函数,所以f(1-x)=-f(x+1),即f(x+2)=-f(-x),又因为f(-x)=f(x),所以f(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以4是函数f(x)的一个周期.由函数g(x+1)是偶函数,可得g(-x+1)=g(x+1)=xf(x+1),即g(-x)=(x+1)f(x+2),所以g(-0.5)=1.5f(2.5)=1.5f(-2.5)=1.5f(-2.5+4×2)=1.5f(5.5)=6.

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