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第9讲　二次函数与幂函数 (时间:45分钟)
1.已知函数f(x)=x2-2mx-m+2的值域为[0,+∞),则实数m的值为 (　 )
A.-2或1 B.-2
C.1 D.1或2
2.[2026·湖南怀化期末] 函数f(x)=x2+(a+3)x+1在区间(-∞,3]上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(3,+∞) B.(-∞,3]
C.(-∞,-9] D.(-9,+∞)
3.已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm的图象与坐标轴无公共点,则m= (　 )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.-1或2
4.[2025·江苏苏州调研] “α>0”是“函数f(x)=xα(α∈R)在区间(0,+∞)上单调递增”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2026·陕西西安期末] 若函数f(x)=ax2-2x+4在区间[1,3]上不具有单调性,则实数a的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[-1,1]
7.已知函数f(x)=x2+ax+b,若关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2),则f(x)的值域为 (　 )
A. B.
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
8.(多选题)[2025·广东广州期末] 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,且与x轴的一个交点为A(-1,0),则 (　 )
A.a>0
B.对任意的m∈R,a+b≥am2+bm恒成立
C.关于x的不等式ax+c>0的解集为{x|x<3}
D.关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为
9.已知幂函数f(x)=(a2-a-1)xa是偶函数,则关于x的不等式f(x+1)>f(2x-1)的解集为　　　　.
10.[2025·江西南昌期末] 已知函数f(x)=x2-ax-2a2(a>0).
(1)当a=2,且x∈[0,3]时,求f(x)的取值范围;
(2)若关于x的不等式f(x)<0的解集中有且仅有2个整数,且这两个整数均为非负数,求实数a的取值范围.
11.[2026·浙江温州期中] 若直线y=t(0A.AB=- B.BC=-t2
C.AC=-t2 D.以上说法都不正确
12.(多选题)已知函数f(x)=x2+2x+1在区间[-2,a)上既有最大值又有最小值,则实数a的值可以是 (　 )
A.-1 B.- 　C.0 D.1
13.已知幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则满足(a+1>的实数a的取值范围为　　　　　　　　　.
14.已知定义在R上的函数f(x)=x2-ax+a,a∈R.当x∈[2,4]时, f(x)的最小值为φ(a).
(1)若f(2+x)=f(2-x),求a的值;
(2)求φ(a)的解析式;
(3)若对于任意的t∈(0,+∞),总有φ(2mt)≥φ(2t2+1)成立,求实数m的取值范围.第9讲　二次函数与幂函数
1.A　[解析] 因为函数f(x)=x2-2mx-m+2=(x-m)2-m2-m+2≥-m2-m+2,且f(x)的值域为[0,+∞),所以-m2-m+2=0,解得m=-2或m=1.故选A.
2.C　[解析] 由题意, f(x)=x2+(a+3)x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=-,因为f(x)在区间(-∞,3]上单调递减,所以-≥3,解得a≤-9,即a的取值范围为(-∞,-9].故选C.
3.A　[解析] 因为f(x)为幂函数,所以m2+m-1=1,即m2+m-2=0,解得m=-2或m=1.当m=-2时, f(x)=x-2=,其定义域为{x|x≠0},其图象与坐标轴无公共点,符合题意;当m=1时, f(x)=x,其图象与坐标轴有公共点,不合题意.综上,m=-2.故选A.
4.C　[解析] 当α>0时,幂函数f(x)=xα(α∈R)在(0,+∞)上单调递增,充分性成立;若幂函数f(x)=xα(α∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则α>0,必要性成立.综上,“α>0”是“函数f(x)=xα(α∈R)在区间(0,+∞)上单调递增”的充要条件.故选C.
5.A　[解析] 当a=0时, f(x)=-2x+4在[1,3]上单调递减,不符合题意;
当a≠0时, f(x)=ax2-2x+4图象的对称轴为直线x=,因为f(x)在区间[1,3]上不具有单调性,所以1<<3,解得6.D　[解析] 因为当x≥-1时,f(x)=x3+1单调递增,所以只需要满足解得-1≤a≤1.故选D.
7.D　[解析] 由关于x的不等式f(x)<1的解集为(m,m+2),得m,m+2为方程f(x)-1=0的两根,即f(x)-1=(x-m)(x-m-2),所以f(x)=x2-2(m+1)x+(m+1)2=(x-m-1)2,所以f(x)的值域为[0,+∞).故选D.
8.BCD　[解析] 对于A,由题中图象开口向下,得a<0,故A不正确;对于B,函数图象的对称轴为直线x=1,故对任意的m∈R,ymax=a+b+c≥am2+bm+c恒成立,即a+b≥am2+bm恒成立,故B正确;对于C,函数图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3,故c=-3a,由a<0,ax-3a>0,得x<3,故关于x的不等式ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确;对于D,由C选项知b=-2a,c=-3a,由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0,又a<0,所以3x2+2x-1<0,解得-19.(0,2)　[解析] ∵幂函数f(x)=(a2-a-1)xa是偶函数,∴a2-a-1=1,解得a=-1或a=2.当a=-1时, f(x)=x-1为奇函数,不符合题意;当a=2时, f(x)=x2为偶函数,符合题意.∵f(x)=x2(x∈R)在(0,+∞)内单调递增,且为偶函数,∴f(x+1)>f(2x-1)可化为|x+1|>|2x-1|,两边取平方可得x2+2x+1>4x2-4x+1,整理得x2-2x<0,解得0f(2x-1)的解集为(0,2).
10.解:(1)当a=2时, f(x)=x2-2x-8,其图象的对称轴为直线x=1.
∵x∈[0,3],∴当x=1时, f(x)min=f(1)=-9,
又f(0)=-8,f(3)=-5,
∴f(x)的取值范围为[-9,-5].
(2)∵f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),f(x)<0,
∴(x-2a)(x+a)<0,∵a>0,
∴-a∵关于x的不等式f(x)<0的解集中有且仅有2个整数,且这两个整数均为非负数,
∴解得11.D　[解析] 如图,对于y=t,由y=x3得x==,由y=得x=t2,由y=得x==t-1,则A(,t),B(t2,t),C.因为0>t2,则AB=-t2,BC=-t2,AC=-.故选D.
12.BC　[解析] f(x)=(x+1)2的图象如图,对称轴为直线x=-1,所以f(-2)=f(0)=1.结合函数f(x)的图象可知,若 f(x)在区间[-2,a)上既有最大值又有最小值,则-113.∪　[解析] 因为幂函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1(3-2a.函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,当x<0时,y<0,当x>0时,y>0,所以不等式(a+1>(3-2a可化为或
或解得-1,即实数a的取值范围为∪.
14.解:(1)因为f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,
又因为f(x)=x2-ax+a的图象的对称轴为直线x=,所以=2,即a=4.
(2)函数f(x)=x2-ax+a,a∈R的图象是一个开口向上的抛物线,其对称轴为直线x=.
当≤2,即a≤4时,φ(a)=f(2)=22-2a+a=4-a;
当2<<4,即4当≥4,即a≥8时,φ(a)=f(4)=42-4a+a=16-3a.
综上所述,φ(a)=
(3)由(2)知,当a≤4时,φ(a)单调递减且φ(a)≥0;
当4当a≥8时,φ(a)单调递减且φ(a)≤-8.所以φ(a)为减函数,
因此对任意的t∈(0,+∞),总有φ(2mt)≥φ(2t2+1)成立可转化为对任意的t∈(0,+∞),总有2mt≤2t2+1,即m≤t+对任意的t∈(0,+∞)恒成立.
因为当t>0时,t+≥2=,当且仅当t=时取等号,所以m≤,
故实数m的取值范围为(-∞,].

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