资源简介

第10讲　指数与指数函数
1.A　[解析] 根据题意,对于函数y=3ax-2+3,令x-2=0,得x=2,将x=2代入函数解析式可得y=3a0+3=6,即函数y=3ax-2+3的图象恒过点(2,6).故选A.
2.A　[解析] 由A={x|-1≤x≤3},B=={x|-23.A　[解析] 对于A,由一次函数的图象知,a>0,00,b>1,此时函数y=bax为增函数,B错误;对于C,由一次函数的图象知,a<0,b>1,此时函数y=bax为减函数,C错误;对于D,由一次函数的图象知,a<0,04.C　[解析] 对于A,a2·a3=a5,故A错误;对于B,=-8a6,故B错误;对于C,(3a+1)(3a-1)=9a2-1,故C正确;对于D,(2a3-a2)÷2a==a2-,故D错误.故选C.
5.D　[解析] 令t=x(x+a),则y=在R上单调递减,因为f(x)=在区间(0,2)上单调递增,所以t=x(x+a)在区间(0,2)上单调递减,由t=x(x+a)=-的图象开口向上且对称轴为直线x=-,得-≥2,解得a≤-4.故选D.
6.A　[解析] 充分性:令f(x)=,易知f(x)在[0,+∞)上单调递增,由>,可得a>b≥0,令g(x)=,易知g(x)为R上的减函数,由a>b≥0,可得g(a)”是“<”的充分条件.
必要性:不妨令此时<成立,但与没有意义,故“>”不是“<”的必要条件.故选A.
7.A　[解析] 当x<1时, f(x)=(x-1)ex<0,当x≥1时, f(x)=ax+1.
若a>0, 则y=ax+1在[1,+∞)上单调递增,此时f(x)没有最大值;
若a<0, 则y=ax+1在[1,+∞)上单调递减,由f(x)有最大值,得a+1≥0,可得-1≤a<0;若a=0,则ax+1=1, f(x)有最大值1,符合题意.
综上,a的取值范围为[-1,0].故选A.
8.ABD　[解析] 对于A,因为2>0,所以f(2)=22-1=3,故A正确.
对于B,因为f(-1)=f(1),所以1+2a=2-1,解得a=0,故B正确.
对于C,当x≤0时, f(x)=-x+2a,易知函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,此时f(x)≥f(0)=2a;当x>0时, f(x)=2x-1,易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)>20-1=0.若a>0,则函数f(x)的值域为(0,+∞),故C错误.
对于D,由C可得若f(x)的最小值为-2,则f(0)=2a=-2,解得a=-1,故D正确.故选ABD.
9.(-∞,1)　[解析] 当x>0时, f(x)=1-ex,-x<0, f(-x)=e-(-x)-1=ex-1=-f(x);当x<0时, f(x)=e-x-1,-x>0, f(-x)=1-e-x=-f(x);当x=0时, f(x)=0.因此f(x)为奇函数, 又易知f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在R上单调递减.所以不等式f(2x)+f(x-3)>0可化为f(2x)>-f(x-3)=f(3-x),从而2x<3-x,解得x<1,所以原不等式的解集为(-∞,1).
10.解:(1)当a=-1时, f(x)=-2·4x+2x-1=-2+2x-1.
令t=2x,x∈[-3,0],则y=-2t2+t-1=-2-,t∈.
因为函数y=-2-在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以当t=时,y取得最大值-,当t=1时,y取得最小值-2,
故函数y=-2-,t∈的值域为.
所以当a=-1时, f(x)在[-3,0]上的取值范围为.
(2)当a=0时, f(x)=2x-1,此时f(x)在[1,+∞)上单调递增,满足题意;
当a≠0时,设m=2x,则y=2am2+m-1,当x≥1时,m≥2,
因为m=2x在R上单调递增,f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以y=2am2+m-1在[2,+∞)上单调递增,所以解得a>0.
综上,a≥0,即a的取值范围为[0,+∞).
11.B　[解析] 因为当x≥0时, f(x)=f(x-2),所以当0≤x<2时,-2≤x-2<0,则f(x)=f(x-2)=ex-2;当2≤x<4时,0≤x-2<2,则f(x)=f(x-2)=ex-4;….作出函数f(x)和g(x)=-x+的图象,如图所示,
f(2)=f(0)=f(-2)=e-2g(4)=0,
结合图象可知, 函数f(x)和g(x)的图象交点个数为3,即方程f(x)=-x+的根的个数为3.故选B.
12.AD　[解析] 依题意,当x<0 时,y=4x的图象在 y=2x 图象的下方,所以A,D在 y=2x的图象上,B,C在 y=4x的图象上,所以A(a,2a),B(a,4a),C(b,4b),D(b,2b).又因为四边形ABCD为平行四边形,所以 AB=CD,即 2a-4a=2b-4b,即2a-2b=4a-4b=-=(2a+2b)(2a-2b).又因为2a-2b≠0,所以2a+2b=1,则2a+1+2b+1=2,故A正确,B错误.由2a+2b=1≥2,化简可得a+b≤-2,当且仅当a=b=-1时等号成立,又a13.　[解析] 令y=,t=ax2-2x+2a,因为y=在R上单调递减,且函数f(x)=的最大值为2025,所以t=ax2-2x+2a的最小值为-1,所以a>0,且当x=-=时,tmin==-1,即2a2+a-1=0,解得a=或a=-1(舍去),所以a=.
14.解:(1)f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),x1则f(x1)-f(x2)=-=
=,∵0∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)(2)当x∈[1,2]时,≥k·2x,即2x+1-3≥k-k·2x,则-(k+2)2x+3≤0,
令t=2x,当x∈[1,2]时,t∈[2,4],则kt2-(k+2)t+3≤0对任意t∈[2,4]恒成立,
又k>0,∴4k-2(k+2)+3≤0,且16k-4(k+2)+3≤0,
可得0(3)若存在实数b>a>0,使得函数f(x)在(a,b)上的取值范围是(m·2a,m·2b),
则由函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
可得f(a)==m·2a, f(b)==m·2b,
则关于x的方程m-(m+2)2x+3=0在(0,+∞)上有两个不同的根.
当x>0时,t=2x>1,则g(t)=mt2-(m+2)t+3在(1,+∞)上有两个零点,
则Δ=(m+2)2-12m=m2-8m+4>0,g(1)=1>0,且>1,
可得01.函数y=3ax-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过点 (　 )
A.(2,6) B.(2,4)
C.(1,6) D.(1,4)
2.[2026·重庆巴南区模拟] 已知集合A={x|-1≤x≤3},B=,则A∩B=(　 )
A.[-1,0) B.(-2,-1)
C.(-2,0) D.(-2,3]
3.[2025·广东广州二中期中] 当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象可能是 (　 )
A　　　B
C　　　D
4.下列运算正确的是 (　 )
A.a2·a3=a6
B.=-6a6
C.(3a+1)(3a-1)=9a2-1
D.(2a3-a2)÷2a=2a-1
5.[2026·广东广州模拟] 若函数f(x)=在区间(0,2)上单调递增,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,4] B.[4,+∞)
C.[-4,+∞) D.(-∞,-4]
6.[2025·北京丰台区模拟] “>”是“<”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若函数f(x)=有最大值,则实数a的取值范围为 (　 )
A.[-1,0] B.(-1,0)
C.[-1,0) D.(-1,0]
8.(多选题)[2025·湖南益阳期末] 设函数f(x)=则下列说法正确的是 (　 )
A.f(2)=3
B.若f(-1)=f(1),则a=0
C.若a>0,则f(x)的值域为R
D.若f(x)的最小值为-2,则a=-1
9.[2026·安徽六安一中模拟] 已知函数f(x)=则f(2x)+f(x-3)>0的解集是　　　　.
10.已知函数f(x)=2a·4x+2x-1.
(1)当a=-1时,求f(x)在[-3,0]上的取值范围;
(2)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
11.[2026·湖南长沙模拟] 已知函数f(x)=则方程 f(x)=-x+的根的个数为 (　 )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(多选题)[2025·河南开封期末] 如图,已知直线x=a,x=b(aA.2a+2b=1
B.2a+1+2b+1=1
C.a+b<-4
D.a+b<-2
13.已知函数f(x)=的最大值为2025,则a的值为　　　　.
14.已知f(x)=,x∈(0,+∞).
(1)判断并用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若f(x)≥k·2x,k>0在区间[1,2]上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若存在实数b>a>0,使得函数f(x)在(a,b)上的取值范围是(m·2a,m·2b),求实数m的取值范围.

展开更多......

收起↑