资源简介

第11讲　对数与对数函数 (时间:45分钟)
1.函数f(x)=log3x的图象大致是 (　 )
A　　B
C　　D
2.[2025·湖南长沙一中期末] 已知a=log52,2b=3,则log215= (　 )
A.+b B.+a
C. D.
3.已知a=log721,b=log618,c=log515,则 (　 )
A.aC.b4.[2026·广东汕头期末] 已知函数f(x)=则f-f(ln 2)=(　 )
A.- B.
C.- D.
5.[2026·河南郑州三模] 函数f(x)=loga(x-1)+1的图象过定点A,若A∈{(x,y)|mx+ny=1,m>0,n>0},则+的最小值为 (　 )
A.4 B.6
C.8 D.10
6.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)<0的解集是 (　 )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(0,1)
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(1,+∞)
7.已知函数f(x)=loga在R上是减函数,则实数a的取值范围是 (　 )
A. B.(2,+∞)
C. D.∪(2,+∞)
8.(多选题)[2025·浙江湖州期末] 已知a=log25,b=log3,则 (　 )
A.ab>0 B.4a·9b=1
C.->1 D.log612=
9.[2026·广东四校联考] 实数a满足loga8+log2a<4,且a>1,则a的取值范围是　　　　.
10.已知函数f(x)=ln .
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)若f(x)在区间(a,a+2)上单调递减,求a的取值范围.
11.[2025·安徽滁州期末] 已知函数f(x)=log2(x2+2x),则 (　 )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域是[0,+∞)
C.f(x)是偶函数
D.f(x)的单调递减区间是(-∞,-2)
12.(多选题)已知函数f(x)=log3x+8x,则 (　 )
A.f(x)在R上单调递增
B.f(x)的值域为R
C.f=1
D.f(x)的零点小于
13.[2025·山西吕梁期末] 已知a=ln 3,b=lg 3,则a-b与ab的大小关系为　　　　　.
14.[2026·广东深圳期末] 已知函数f(x)=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图象过点.
(1)求a.
(2)当x∈(-2,2)时,存在偶函数g(x)和奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).
(i)求g(x)和h(x)的解析式;
(ii)求不等式g(x)≥h(x)的解集.第11讲　对数与对数函数
1.D　[解析] 由题意可知,函数f(x)=log3x在定义域(0,+∞)内单调递增,故选D.
2.A　[解析] 由a=log52==,得=log25,由2b=3,得b=log23,所以log215=log23+log25=b+.故选A.
3.A　[解析] a=log721=1+log73,b=log618=1+log63,c=log515=1+log53,因为y=log3x为增函数,所以log37>log36>log35>0,所以log734.C　[解析] 函数f(x)=
则f-f(ln 2)=ln-eln 2=-2=-2=-.故选C.
5.C　[解析] 令x-1=1,得x=2,f(2)=1,即f(x)=loga(x-1)+1的图象过定点A(2,1).因为A∈{(x,y)|mx+ny=1,m>0,n>0},所以点A在直线mx+ny=1上,则2m+n=1,且m>0,n>0,于是+=(2m+n)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即n=2m=时取“=”,即+的最小值为8.故选C.
6.A　[解析] 由题可知f(x)的定义域为(-1+∞).当x≥0时, f(x)=log2(x+1)-x,令log2(x+1)-x<0,得log2(x+1)由图可知x+1<2x在x≥0时的解集为(1,+∞).当-17.D　[解析] 因为f(x)=loga在R上是减函数,所以或解得02.所以实数a的取值范围为∪(2,+∞).故选D.
8.BCD　[解析] 对于A,a=log25>log21=0,b=log3对于B,由a=log25,b=log3得2a=5,3b=,则4a·9b=(2a)2·(3b)2=52·=1,故B正确;
对于C,-=log52-lo3=log52+log53=log56>1,故C正确;
对于D,======log612,故D正确.故选BCD.
9.(2,8)　[解析] 由题可得loga8+log2a=3loga2+log2a=+log2a<4.令t=log2a,由a>1,得t=log2a>0,令g(t)=+t,t>0,则g'(t)=-+1=.令g'(t)>0得t>,令g'(t)<0得010.解:(1)证明:由题得f(x)=ln=ln,
由>0,得f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
又因为f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)=ln=ln,
当x∈(1,+∞)时,y=1+单调递减,又y=ln x在定义域上为增函数,
所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,
同理可得f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减.
因为f(x)在区间(a,a+2)上单调递减,
所以a+2≤-1或a≥1,解得a≤-3或a≥1,
所以a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
11.D　[解析] 对于A,要使函数f(x)有意义,则x2+2x>0,解得x<-2或x>0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(0,+∞),故A错误;对于B,由对数函数的性质可知,函数f(x)的值域是R,故B错误;对于C,因为函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)不具有奇偶性,故C错误;对于D,令μ=x2+2x,由二次函数的性质可知,μ=x2+2x在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,由对数函数的性质可知,y=log2μ在定义域内单调递增,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,-2),故D正确.故选D.
12.BC　[解析] 对于A, f(x)的定义域为(0,+∞),故A错误;对于B,函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增且值域为R,y=8x在(0,+∞)上单调递增且取值范围为(1,+∞),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增且值域为R,故B正确;对于C, f=log33-1+=-1+2=1,故C正确;对于D, f=log33-2+=-2+=-2+<0,又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,且当x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)的零点大于,故D错误.故选BC.
13.a-b>ab　[解析] 因为ln 3>lg 3>0,所以a-b>0,ab>0,作商可得=-=-=log310-log3e=log3,
因为3e<10,所以>3,所以log3>1,即>1,所以a-b>ab.
14.解:(1)由题意可得f(2-2)=loga2=,解得a=2.
(2)(i)因为g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,
且f(x)=g(x)+h(x),所以f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),
所以g(x)===log2(4-x2),
h(x)===log2.
(ii)由g(x)≥h(x),可得
log2(4-x2)≥log2,即4-x2≥.
因为x∈(-2,2),所以(2-x)2≥1,可得2-x≥1,则-2所以原不等式的解集为(-2,1].

展开更多......

收起↑