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第13讲　函数的零点与方程的解 (时间:45分钟)
1.[2026·湖北十堰模拟] 函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是 (　 )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
2.[2026·山东济宁期末] 已知函数f(x)=ln x+4x-9,现用二分法求函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值,则使用两次二分法后,零点所在的区间为 (　 )
A. B.
C. D.
3.函数f(x)=的零点个数为 (　 )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.[2025·浙江诸暨模拟] 已知函数f(x)=x2+a|x|+a2-4有唯一零点,则a= (　 )
A.0 B.-2 C.2 D.±2
5.[2026·福建南平质检] 设[x]表示不超过实数x的最大整数,如[2]=2,[2.3]=2,[-2.3]=-3,则方程x-|log6x|=[x]的解的个数为(　 )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.已知函数f(x)=|x2-a|+1,g(x)=a|x|+2,若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有三个交点,则a= (　 )
A.-1 B.-1或1
C.1 D.2
7.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)+ax-a=0有2个不同的实根x1,x2,且x1x2<0,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2) D.(2,+∞)
8.[2026·辽宁抚顺联考] 已知函数f(x)=则方程f[f(x)]=的解的个数为 (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
9.[2025·湖南常德期中] 若函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
10.已知函数f(x)=2x+a·2-x(a为常数,a∈R).
(1)当a取何值时,函数f(x)为奇函数;
(2)当a=1时,若方程f(2x)-k·f(x)=3在[0,1]上有实根,求实数k的取值范围.
11.[2025·四川德阳期末] 已知函数f(x)=|2x-3|,若关于x的方程[f(x)]2-2mf(x)+3=0有4个不同的实数根,则m的取值范围是(　 )
A.(-∞,-)∪(,+∞)
B.(-∞,-)∪(,2)
C.(,+∞)
D.(,2)
12.已知函数f(x)=x2+(2-a)x+2+|x2-2x|有且仅有两个零点,则a的取值范围为 (　 )
A.(-∞,-4)∪(5,+∞)
B.(-4,5)
C.(-∞,-5)∪(4,+∞)
D.(-5,4)
13.[2026·江苏盐城模拟] 设函数f(x)=则关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数是　　　　.
14.[2026·湖南娄底调研] 已知函数f(x)=log4(4x+1)-x.
(1)解方程f(x)=;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若函数g(x)=f(x)-log2在R上只有一个零点,求a的取值范围.第13讲　函数的零点与方程的解
1.C　[解析] 函数f(x)=x+ln x-4的定义域为(0,+∞),因为f(x)在(0,+∞)上连续且为增函数,f(2)=-2+ln 2<0, f(3)=-1+ln 3>0,所以f(2)·f(3)<0.由零点存在定理可知,函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(2,3).故选C.
2.A　[解析] 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=ln 2+4×2-9=ln 2-1<0,f(3)=ln 3+4×3-9=ln 3+3>0,取区间(2,3)的中点,f=ln+4×-9=ln+1>0,因为f(2)f<0,所以函数f(x)的零点在内,取区间的中点,f=ln+4×-9=ln>0,因为f(2)·f<0,所以函数f(x)的零点在内.故选A.
3.C　[解析] 当x≤0时,令x3+8=0,解得x=-2.当x>0时, f=log4+=-1+=-<0, f(4)=log44+4=5>0,f(4)f<0,所以f(x)在上存在零点,又因为f(x)=log4x+x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.综上, f(x)的零点个数为2.故选C.
4.C　[解析] 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-4=x2+a|x|+a2-4=f(x),所以函数f(x)为偶函数,因为f(x)有唯一零点,所以f(0)=a2-4=0,解得a=±2.当a=2时, f(x)有唯一零点,符合题意;当a=-2时, 令f(x)=0,得x=0,2,-2,不符合题意.故选C.
5.B　[解析] 方程x-|log6x|=[x]的解的个数即为函数y=x-[x]和y=|log6x|的图象的交点个数.作出函数y=x-[x]和y=|log6x|的图象,如图所示.
由图可知y=x-[x]和y=|log6x|的图象的交点个数为5,则方程x-|log6x|=[x]的解的个数为5.故选B.
6.C　[解析] 易知f(x),g(x)均为偶函数,若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有三个交点,则f(0)=g(0),即|a|+1=2,解得a=±1.当a=-1时, f(x)=|x2+1|+1=x2+2≥2,g(x)=-|x|+2≤2,此时曲线y=f(x)与y=g(x)只有一个交点(0,2),不符合题意;当a=1时, f(x)=|x2-1|+1,g(x)=|x|+2,此时曲线y=f(x)与y=g(x)有(0,2),(2,4),(-2,4)三个交点,故a=1.故选C.
7.C　[解析] 若关于x的方程f(x)+ax-a=0有2个不同的实根,则直线y=-a(x-1)与y=f(x)的图象有2个不同的交点.画出y=f(x)的图象,如图,直线y=-a(x-1)过定点(1,0),当该直线经过点(0,2)时,该直线斜率为-2,并与f(x)的图象有2个交点,但其中一点的横坐标为0,与x1x2<0矛盾.故-2<-a<0,解得08.B　[解析] 函数f(x)的图象如图所示,
设f(x)=t,则方程f[f(x)]=即为f(t)=,由图可知,直线y=与y=f(x)的图象有3个交点,设交点的横坐标分别为t1,t2,t3(t11.方程f[f(x)]=的解的个数转化为方程f(x)=t1, f(x)=t2, f(x)=t3解的个数之和,由图可知,直线y=t1与y=f(x)的图象有1个交点,直线y=t2与y=f(x)的图象有3个交点,直线y=t3与y=f(x)的图象没有交点,所以方程f[f(x)]=的解的个数为1+3=4.故选B.
9.∪　[解析] 当a=0时, f(x)=4x-1,由f(x)=0得x=∈(-1,1),符合题意.当a≠0时,二次函数f(x)=24ax2+4x-1的判别式为Δ=16+96a,当Δ=0,即a=-时,f(x)的零点为x=∈(-1,1),符合题意.当Δ>0,即a>-时,只需f(1)·f(-1)=(24a+3)(24a-5)<0,所以-10.解:(1)若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0,即2x+a·2-x+2-x+a·2x=(a+1)(2x+2-x)=0,
∵2x>0,2-x>0,∴a+1=0,解得a=-1.
(2)当a=1时, f(x)=2x+2-x, f(2x)=22x+2-2x=-2,
∴f(2x)-k·f(x)=[f(x)]2-k·f(x)-2,当x∈[0,1]时,2x∈[1,2],又y=x+在[1,2]上单调递增,∴当x∈[0,1]时, f(x)=2x+2-x=2x+∈,令t=f(x),则方程t2-kt-2=3在上有实根,∴k==t-在上有实根,又y=t-在上单调递增,∴t-∈,∴k∈.
11.D　[解析] 令t=f(x),则关于x的方程[f(x)]2-2mf(x)+3=0可转化为t2-2mt+3=0,画出函数f(x)的图象,如图,
由题知,关于t的方程t2-2mt+3=0有2个不同的根t1,t2,且00,得m<-或m>,则t==m±.令t1=m-,0,则m>;令t2=m+,0,则m<2,故12.A　[解析] 令f(x)=0,可得x2+(2-a)x+2+|x2-2x|=0,即ax-2=x2+2x+|x2-2x|,因为函数f(x)有且仅有两个零点,所以g(x)=x2+2x+|x2-2x|的图象与直线y=ax-2有且仅有两个交点.直线y=ax-2过定点A(0,-2),g(x)=x2+2x+|x2-2x|=取B(2,8),作出y=g(x)的图象,如图所示.当a<0时,由得2x2-ax+2=0,由Δ=(-a)2-16=0,可得a=-4;当a>0时,kAB==5.若函数f(x)有且仅有两个零点,则a<-4或a>5,所以实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(5,+∞).故选A.
13.5　[解析] 由[f(x)]2-3f(x)+2=0,得f(x)=1或f(x)=2.若f(x)=1,则当x≤0时,8x+1=1,无解;当x>0时,|log6x|=1,则log6x=1或log6x=-1,解得x=6或x=.若f(x)=2,则当x≤0时,8x+1=2,解得x=0;当x>0时,|log6x|=2,则log6x=2或log6x=-2,解得x=36或x=.综上,关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数为5.
14.解:(1)由f(x)=得log4(4x+1)=x+,所以4x+1=,所以+1=2·2x,令t=2x,解得t=1,所以x=0.
(2)因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=log4(4-x+1)+=log4+=log4(1+4x)-x+=log4(1+4x)-=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
(3)函数g(x)在R上只有一个零点等价于方程log4=log4在R上只有一个解,
即方程=a·2x-1++a在R上只有一个解,整理得·(2x)2+a·2x-=0,令t=2x>0,即方程(a-2)t2+2at-1=0有唯一正数根,
①若a=2,此时t=,符合题意.
②若a≠2,则Δ=4(a+2)(a-1),当a=1时,t1=t2=1>0,符合题意;
当a=-2时,t1=t2=-<0,不符合题意,舍去;当a>2时,t1t2<0,方程有两相异实根,符合题意;当a<2且a≠1,a≠-2时,则>0,只需所以a=1(舍去).综上,实数a的取值范围是a≥2或a=1.

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