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第14讲　函数模型及其应用 (时间:45分钟)
1.[2026·江西赣州模拟] 一列快车从甲地驶往乙地,一列特快车从乙地驶往甲地,快车的速度为100千米/时,特快车的速度为150千米/时,甲、乙两地之间的距离为1000千米,两车同时出发,则两车之间的距离y(千米)与快车行驶时间t(小时)之间的函数图象大致是 (　 )
A　　B
C　　D
2.如图,公园里有一处扇形花坛,小明同学从A点出发,沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA),则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是 (　 )
A　　B
C　　D
3.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的,描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历,用画图软件拟合了自己的遗忘曲线,得到其记忆率y(记住的单词个数占总单词数的百分比)与
初次记忆经过的时间x(单位:小时)的函数关系式为y=1-0.5x0.06,当记住的单词仅剩25个时,离初次记忆经过了(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (　 )
A.100小时 B.300小时
C.1000小时 D.3000小时
4.[2026·河北秦皇岛模拟] 科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出来的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震,释放出来的能量为E1,2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震,释放出来的能量为E2,则= (　 )
A.10 B.4.05 C.100.05 D.104.05
5.[2025·安徽安庆期末] 经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位: km/h)(0≤v≤120)的下列数据:
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是　　　(　 )
A.Q=+b B.Q=av3+bv2+cv
C.Q=0.5v+a D.Q=klogav+b
6.某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型,公式为P(t)=P0·ert,其中r为年收益率,t为投资时间(单位:年),e为自然对数的底数,P0为初始资金,P(t)为t年后的资金,已知某产品年收益率r=5%,则使初始资金翻倍至少需要(参考数据:ln 2≈0.693 1) (　 )
A.12年 B.13年 C.14年 D.15年
7.(多选题)[2025·福建漳州期末] 如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:平方米)与时间t(单位:月)的关系为y=at,则 (　 )
A.a=3
B.第4个月时,浮萍面积超过80平方米
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.浮萍每月的增长率为2
8.[2025·海南海口期末] 某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律,发现剩余质量M(t)(单位:克)随时间t(单位:天)的变化规律满足M(t)=M0·,其中M0为初始质量.若初始质量M0满足log2M0=6,则当t=12时,log 的值为　　　　.
9.[2026·黑龙江佳木斯模拟] 塑料袋给我们生活带来了方便,但塑料在自然界可停留长达200~400年之久,给环境带来了很大的危害,国家发改委、生态环境部等9部门联合印度《关于礼实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出,2021年1月1日起,禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等,某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t(单位:年)之间的关系为y=y0·ekt,其中y0为初始量,k为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.该品牌塑料袋大约需要经过　　　　年,其残留量为初始量的10%.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
10.[2026·湖南娄底期中] 某校内有块空地,为美化校园环境,学校决定将空地建成一个小花园,市园林公司中标该项目后需购买一批机器投入施工,据分析,这批机器可获得的利润y(单位:万元)与运转的时间x(单位:年)的函数关系为y=-x2+14x-4(x≤13,x∈N).
(1)当这批机器运转第几年时,可获得最大利润 最大利润是多少
(2)当运转多少年时,这批机器的年平均利润最大
11.现有两个函数模型如下,模型一:如果C0是碳14的初始质量,那么经过t年后,碳14的质量为C(t)=C0;模型二:马尔萨斯自然状态下人口增长模型y=y0ert,其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r是常数(e是自然对数的底数),则下列说法错误的是 (　 )
A.经过5730年,碳14的质量变为初始质量的一半
B.碳14的年衰减率与初始质量有关
C.设n∈N*,碳14的第n年,第n+1年,第n+2年的衰减量分别为Δ1,Δ2,Δ3,则=
D.以上两个模型都可以归结为模型“y=ekx+b”(其中x为自变量,k,b为常数,e是自然对数的底数)
12.(多选题)[2026·重庆八中模拟] 如图,一座小岛到海岸线上最近的P点的距离是2 km,在P点沿海岸正东12 km处有一个城镇.设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为5 km/h,时间t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸线上距P点的距离.设u=+x,v=-x,则 (　 )
A.函数v=f(u)为增函数
B.15t-u-4v=36
C.当x=1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少
D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间超过3 h
13.[2025·湖北武汉调研] 为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x年年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y=,其中N为饱和度,y0为初始值,p为年增长率.若该地区2024年年底的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为10%,饱和度为1020万块,那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约　　　　万块.(结果四舍五入保留到整数,参考数据:e-0.5≈0.61,e-0.6≈0.55,e-0.7≈0.50)
14.[2026·山东聊城期末] 已知某车厘子收购市场在过去的30天内对车厘子的日收购量P(x)(单位:百斤)与第x天之间的函数解析式为①P(x)=a(x-8)2+b;②P(x)=m|x-20|+n;③P(x)=p+qln x这三种函数模型中的一个,且部分数据如下表:
第x天 6 10 22 28
日收购量/百斤 46 50 58 52
(1)请确定P(x)的解析式,并说明理由;
(2)若第x天平均每斤车厘子的收购价格为Q(x)(单位:元),且Q(x)=20+(1≤x≤30,且x∈N*),记过去30天内第x天该市场收购车厘子的资金总额为f(x)(单位:百元),求f(x)的最小值.第14讲　函数模型及其应用
1.C　[解析] 当两车同时相向出发时,相遇时间t1=1000÷(100+150)=4(小时),此时两车距离为0,快车行驶时间为4小时,故排除B选项;相遇时,快车已经行驶的路程为100×4=400(千米),还需要行驶(1000-400)÷100=6(小时)才能到达乙地,故排除A选项;相遇时特快车已经行驶的路程为150×4=600(千米),还需要行驶(1000-600)÷150=(小时)才能到达甲地,所以当特快车停止行驶时,快车还在行驶,此时直线的倾斜程度要变小一些,故排除D选项.故选C.
2.D　[解析] 小明沿走时,与O点的直线距离保持不变,沿BO走时,随时间的增加与O点的直线距离越来越小,沿OA走时,随时间的增加与O点的直线距离越来越大,故D选项的函数图象符合题意.故选D.
3.C　[解析] 由题意得100(1-0.5x0.06)=25,所以1-0.5x0.06=,即x0.06=,两边同时取以10为底的对数,得0.06lg x=lg 3-lg 2≈0.48-0.30=0.18,所以lg x=3,解得x=1000.故选C.
4.D　[解析] 依题意,lg E1=4.8+1.5×6.8,lg E2=4.8+1.5×4.1,两式相减,得lg E1-lg E2=1.5×(6.8-4.1),因此lg=4.05,则=104.05.故选D.
5.B　[解析] 由题表中数据可知函数模型满足:①定义域为[0,120],②在定义域内单调递增且单位增长率变快,③函数图象过原点.函数Q=+b和Q=0.5v+a在定义域内单调递减,不符合条件,故A,C错误;0不在函数Q=klogav+b的定义域中,故D错误;Q=av3+bv2+cv满足上述三点,故B正确.故选B.
6.C　[解析] 由题意可知P(t)=2P0,r=5%,代入公式可得2P0=P0·e0.05t,所以e0.05t=2,则0.05t=ln 2,所以t=≈=13.862,所以至少需要14年,故选C.
7.ABD　[解析] 由题图可知,函数图象经过点(1,3),所以3=a1,解得a=3,故A正确;由A选项知y=3t,则第4个月的浮萍面积为34=81(平方米),超过了80平方米,故B正确;前3个月的浮萍面积分别为3平方米,9平方米,27平方米,9-3≠27-9,所以浮萍每月增加的面积不相等,故C不正确;浮萍每月的增长率为=2,故D正确.故选ABD.
8.6　[解析] 由题意可得当t=12时,M(12)=M0·2-3,所以lo=lo23=lo=6.
9.16　[解析] 由题意知,当t=2时,75%y0=y0·e2k,∴ek=,由10%y0=y0·ekt=y0·,得=0.1,∴lg=lg=lg=-1,∴t=-=-=-≈
-=16,故该品牌塑料袋大约需要经过16年,其残留量为初始量的10%.
10.解:(1)y=-x2+14x-4=-(x-7)2+45,x≤13,故当x=7时,y取得最大值,最大值为45,所以这批机器运转第7年时,可获得最大利润45万元.
(2)记这批机器的年平均利润为Z,则Z==-x-+14=14-≤14-2=10,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.故当运转2年时,这批机器的年平均利润最大.
11.B　[解析] 对于A,模型一中,当t=5730时,C(5730)=C0=C0,即经过5730年,碳14的质量变为初始质量的一半,故A中说法正确;对于B,年衰减率与初始质量无关,模型一可改写为C(t)=C0,则C(1)=C0,年衰减率为=1-,是常数,故B中说法错误;对于C,第n年的衰减量Δ1=C(n)-C(n+1)=C0·,同理Δ2=C(n+1)-C(n+2)=C0,Δ3=C(n+2)-C(n+3)=C0,所以==,故C中说法正确;对于D,模型一可转化为C(t)=,模型二为y=,均符合y=ekx+b形式,故D中说法正确.故选B.
12.BCD　[解析] 对于A,由0≤x≤12,u=+x在定义域上单调递增,可得u∈[2,2+12],则v=-x==在[2,2+12]上单调递减,故A错误;对于B,t=+,所以15t-u-4v=5+3(12-x)-(+x)-4(-x)=(5-1-4)+36+(-3-1+4)x=36,故B正确;对于C,由B可得15t=u+4v+36=u++36≥2+36=44,当且仅当u=4时,取得等号, 此时x+=4,即x=1.5,故C正确;对于D,当x=4时,t=+=+,t-3=-=>0,即t>3,故D正确.故选BCD.
13.36　[解析] 由题知y0=20,N=1020,p=10%=0.1,x=6,则2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量为y==,因为e-0.6≈0.55,所以y=≈≈36,所以2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块.
14.解:(1)将表格中数据(6,46),(10,50)代入P(x)=a(x-8)2+b中,
得无解,舍去;将表格中数据(6,46),(10,50)代入P(x)=m|x-20|+n中,得解得故P(x)=-|x-20|+60,经验证,(22,58),(28,52)也符合上式,故P(x)=-|x-20|+60;
由表格数据知,函数应该先增后减,③不满足,舍去.综上所述,P(x)=-|x-20|+60.
(2)因为P(x)=-|x-20|+60,Q(x)=20+,所以f(x)=Q(x)×P(x).当1≤x≤20时, f(x)=Q(x)×P(x)=×(x+40)=20x++808,因为20x+≥2×=160,当且仅当x=4时取等号,所以f(4)=968;当20968,所以f(x)min=f(4)=968.

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