资源简介

第三单元　导数及其应用
第15讲　导数的概念及其意义、导数的运算
1.C　[解析] 因为S(r)=4πr2,所以S'(r)=8πr,故当r=时,S(r)的瞬时变化率为S'=8π×=8.故选C.
2.A　[解析] ∵=-2=-2f'(2)=4,∴-2m=4,解得m=-2,故选A.
3.D　[解析] 由f(x)=x3+3x,得f'(x)=3x2+3,则f'(-1)=3×(-1)2+3=6,又f(-1)=(-1)3+3×(-1)=-4,所以切线方程为y-(-4)=6[x-(-1)],即6x-y+2=0,故选D.
4.C　[解析] 设切点坐标为(x0,),切线l的斜率为k,y=f(x)=,则f'(x)=,由导数的几何意义得k=f'(x0)=,故切线l的方程为y-=(x-x0),将P(-1,0)代入方程,得0-=(-1-x0),解得x0=1,则k==.故选C.
5.C　[解析] 因为曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线与直线3x-2y-3=0垂直,所以曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线的斜率为-,所以f'(2)=-.故选C.
6.D　[解析] 设切点坐标为(x0,(x0-a)), 由y=f(x)=(x-a)ex,得f'(x)=(x-a+1)ex,所以切线的斜率k=(x0-a+1),则切线方程为y-(x0-a)=(x0-a+1)(x-x0),将原点的坐标代入可得-ax0+a=0,因为切线有且只有一条,所以Δ=a2-4a=0,解得a=0或a=4,又a≠0,所以a=4,故选D.
7.ACD　[解析] '=0,故A中求导运算不正确.(x-)'=1-,故B中求导运算正确.'==,故C中求导运算不正确.[ln(3x+1)]'=(3x+1)'=,故D中求导运算不正确.故选ACD.
8.1　[解析] 设切点坐标为(x0,2+-1),由y'=2ex+2x,得2+2x0=2,即+x0-1=0.令f(x)=ex+x-1,则f'(x)=ex+1>0,故f(x)在R上单调递增,又f(0)=0,所以方程+x0-1=0的解为x0=0,故切点的坐标为(0,1),代入直线方程y=2x+a,得1=2×0+a,解得a=1.
9.1　[解析] 设切点坐标为(x0,f(x0)),f'(x)=,则f'(x0)=,切线方程为y=(x-x0)+ln x0+1,即y=x+ln x0,又因为函数f(x)=ln x+1的图象与直线y=kx相切,所以ln x0=0,解得x0=1,故k=f'(x0)==1.
10.解:(1)由题可知f'(x)=+3f'(1)x2,令x=1,则f'(1)=2+3f'(1),解得f'(1)=-1.
因为f(1)=2ln 1-1+2f(1),所以f(1)=1.
(2)由(1)可知f(1)=1, f'(1)=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-1(x-1),即x+y-2=0,该切线与x轴的交点坐标为(0,2),与y轴的交点坐标为(2,0),则所求三角形的面积为×2×2=2.
11.B　[解析] 因为f(x)为奇函数,且当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,所以当x>0时, f(x)=-f(-x)=-ln x+3x, f'(x)=-+3,从而f'(1)=2,又f(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(3))处的切线方程是y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.故选B.
12.B　[解析] 由y=ex+x+a,求导得y'=ex+1,直线y=2x的斜率为2,令y'=ex+1=2,解得x=0,当x=0时,y=a+1,故P(0,a+1)到直线y=2x的距离最小,则=,解得a=4或a=-6,当a=-6时,曲线与直线有交点,距离的最小值为0,舍去.故选B.
13.ex-y-1=0(或x-y=0)　[解析] 方法一:令f(x)=ex-1,g(x)=ln x+1,设公切线与f(x)的图象相切于点(m,em-1),与g(x)的图象相切于点(n,ln n+1),因为f'(x)=ex,g'(x)=,所以公切线的斜率k=em=,所以公切线的方程为y-em+1=em(x-m)或y-ln n-1=(x-n),整理得y=emx-(m-1)em-1或y=x+ln n,所以即
所以(m-1)em+1-m=(m-1)(em-1)=0,解得m=1或m=0,所以公切线的方程为ex-y-1=0或x-y=0.
方法二:由曲线y=ex与直线y=x+1相切知,曲线y=ex-1与直线y=x相切.由曲线y=ln x与直线y=x-1相切知,曲线y=ln x+1与直线y=x相切,所以直线y=x为曲线y=ex-1与y=ln x+1的公切线.
14.解:(1)因为f'(x)=ln x+1+,所以f'(e)=2+=2+,解得a=2.
(2)由(1)可得f(x)=xln x-,则f'(x)=ln x+1+,则f'(1)=3,又f(1)=-2,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y+2=3(x-1),即y=3x-5.由得x2+(b-3)x+5=0,由题意可得Δ=(b-3)2-4××5=0,解得b=1或b=5,所以b的值为1或5.第三单元　导数及其应用
第15讲　导数的概念及其意义、导数的运算 (时间:45分钟)
1.已知半径为r的球的表面积为S(r),当r=时,S(r)的瞬时变化率为 (　 )
A.4 B.4π
C.8 D.8π
2.若函数f(x)满足f'(2)=m,=4,则m= (　 )
A.-2 B.-8
C.2 D.8
3.[2025·福建福州质检] 曲线f(x)=x3+3x在点(-1, f(-1))处的切线方程为 (　 )
A.y+4=0 B.2x-y-2=0
C.6x-y=0 D.6x-y+2=0
4.[2026·安徽淮化期末] 过点P(-1,0)作曲线y=的切线l,则l的斜率为 (　 )
A.1 B.
C. D.
5.[2025·山西运城期中] 设f(x)的导函数为f'(x),曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线与直线3x-2y-3=0垂直,则f'(2)= (　 )
A. B.
C.- D.-
6.过坐标原点作曲线y=(x-a)ex(a≠0)的切线,若切线有且只有一条,那么a= (　 )
A.-2 B.-4
C.2 D.4
7.(多选题)[2026·河北保定六校联盟联考] 下列求导运算不正确的是 (　 )
A.'=
B.(x-)'=1-
C.'=
D.[ln(3x+1)]'=
8.若直线y=2x+a是曲线y=2ex+x2-1的一条切线,则实数a的值为　　　　.
9.[2026·江苏南京模拟] 已知函数f(x)=ln x+1的图象与直线y=kx相切,则实数k=　　　　.
10.[2026·辽宁抚顺联考] 已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且f(x)=2ln x+f'(1)x3+2f(1).
(1)求f(1);
(2)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
11.[2025·吉林通化期末] 已知f(x)为奇函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 (　 )
A.2x-y-5=0 B.2x-y+1=0
C.2x+y+1=0 D.2x+y+5=0
12.[2026·广东深圳期末] 若点P是曲线y=ex+x+a上任意一点,且点P到直线y=2x的距离的最小值为,则a的值为 (　 )
A.0 B.4
C.-6 D.4或-6
13.[2025·福建福州福九联盟联考] 曲线y=ex-1与y=ln x+1的一条公切线的方程为　　　　.(只需写出其中一条公切线的方程)
14.已知函数f(x)=xln x-,且f'(e)=2+.
(1)求a的值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与函数y=x2+bx的图象也相切,求b的值.

展开更多......

收起↑