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第16讲　导数与函数的单调性
1.B　[解析] 由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1-=,令f'(x)>0,得>0,解得x>5,所以函数f(x)=x-5ln x的单调递增区间为(5,+∞).故选B.
2.D　[解析] 由f(x)=ln x-ax2,得f'(x)=-2ax,因为函数f(x)=ln x-ax2在(1,+∞)上单调递减,所以f'(x)=-2ax≤0在(1,+∞)上恒成立,即≤2a在(1,+∞)上恒成立,而<1,则2a≥1,即a≥,则实数a的取值范围为.故选D.
3.A　[解析] 由题图得当x<-1或25时,f'(x)>0.不等式x·f'(x)<0等价于或解得-14.A　[解析] 函数f(x)=ln x-的定义域为(0,+∞),f'(x)=-=,当00;当x>4时, f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减,则f(2)0,所以f(2)>f(8),故f(8)5.C　[解析] 由f(x)=(x-a-1)ex-bx,得f'(x)=(x-a)ex-bx+ab=(x-a)(ex-b),因为f(x)是R上的增函数,所以f'(x)≥0在R上恒成立,即(x-a)(ex-b)≥0在R上恒成立.当b≤0时,ex-b>0,此时x-a≥0不恒成立,不满足题意;当b>0时,等价于(x-a)(x-ln b)≥0在R上恒成立,则a=ln b.故选C.
6.B　[解析] 若f(x)在(1,+∞)上单调递增,则a>1.若f(x)在(-∞,1]上单调递增,则f'(x)=3x2-6x+a≥0在(-∞,1]上恒成立,即a≥-3x2+6x=-3(x-1)2+3在(-∞,1]上恒成立,又当x=1时,y=-3(x-1)2+3取得最大值3,所以a≥3,因为f(x)=是定义在R上的增函数,所以1-3+a+2a-5≤2a,解得a≤7,故实数a的取值范围为[3,7].故选B.
7.ACD　[解析] f'(x)=-x2+x+2,
令f'(x)=0,即-x2+x+2=0,解得x=2或x=-1,当-10,函数f(x)单调递增;当x<-1或x>2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.因为函数f(x)在区间(m-1,m+4)上单调,所以有以下两种情况:当(m-1,m+4) (-∞,-1)时,则解得m≤-5;当(m-1,m+4) (2,+∞)时,
则解得m≥3.结合选项,A,C,D正确,B错误.故选ACD.
8.　[解析] 由f(x)=x--aln x,得f'(x)=1+-,
因为函数f(x)=x--aln x在(2,3)上单调递减,所以f'(x)=1+-≤0在(2,3)上恒成立,即a≥x+在(2,3)上恒成立.设h(x)=x+,x∈(2,3),易得h(x)在(2,3)上单调递增,所以h(x)9.(-∞,-1)∪(2,+∞)　[解析] 函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex+e-x-2,因为ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,所以f'(x)≥0,所以f(x)在R上是增函数,因为f(x2-x)>f(2),所以x2-x>2,解得x>2或x<-1,即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
10.解:(1)函数f(x)=ln x+tx2+x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=+2tx+1,由题知函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线的斜率为6,即f'(1)=2t+2=6,解得t=2.
(2)若t=-1,则f(x)=ln x-x2+x,其定义域为(0,+∞), f'(x)=-2x+1==,当x∈(0,1)时,f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
11.A　[解析] 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)2-2cos(-x)=x2-2cos x=f(x),所以f(x)是偶函数.由题得f'(x)=2x+2sin x,当x>0时,令g(x)=2x+2sin x,则g'(x)=2(1+cos x)≥0,所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.f(lo2)=f(-log32)=f(log32),又01,log2312.BC　[解析] 由题得f'(x)=-ex=,因为f(x)在(1,3)上不单调,所以函数y=a-xex在(1,3)上存在变号零点.设g(x)=a-xex,x∈(1,3),则g'(x)=-(x+1)ex<0,则g(x)在(1,3)上单调递减,所以即解得e13.∪(1,+∞)　[解析] 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=-1=,当x<0时,<0,得f'(x)<0, f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,>0,得f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(-x)=log3(9-x+1)+x+2=log3+x+2=log3(9x+1)-2x+x+2=f(x),所以f(x)为R上的偶函数,故f(2x)>f(x+1)等价于f(|2x|)>f(|x+1|),即|2x|>|x+1|,两边平方并整理得3x2-2x-1>0,解得x>1或x<-,所以原不等式的解集为∪(1,+∞).
14.解:(1)若a=1,则f(x)=e2x-3ex+x,故f'(x)=2e2x-3ex+1,则f'(0)=0,又f(0)=-2,所以曲线f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y+2=0.
(2)f'(x)=2ae2x-(a+2)ex+1=(aex-1)(2ex-1).
①当a≤0时,令f'(x)>0,解得x<-ln 2,令f'(x)<0,解得x>-ln 2,
所以f(x)在(-∞,-ln 2)上单调递增,在(-ln 2,+∞)上单调递减.
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x1=-ln 2,x2=-ln a,当00,解得x<-ln 2或x>-ln a,令f'(x)<0,解得-ln 22时,令f'(x)>0,解得x<-ln a或x>-ln 2,令f'(x)<0,解得-ln a2时, f(x)在(-∞,-ln a),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-ln a,-ln 2)上单调递减.第16讲　导数与函数的单调性 (时间:45分钟)
1.函数f(x)=x-5ln x的单调递增区间为 (　 )
A.(-∞,5) B.(5,+∞)
C.(0,5) D.(0,+∞)
2.[2026·河南南阳联考] 已知函数f(x)=ln x-ax2在(1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 (　 )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C. D.
3.[2025·江西景德镇期末] 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则不等式x·f'(x)<0的解集为 (　 )
A.(-1,0)∪(2,5)
B.(-1,2)∪(5,+∞)
C.(-∞,0)∪(2,5)
D.(-∞,-1)∪(0,5)
4.[2026·河北石家庄期末] 已知函数f(x)=ln x-,则f(2), f(4), f(8)的大小关系为(参考数据:≈1.41,ln 2≈0.69) (　 )
A.f(8)B.f(8)C.f(2)D.f(4)5.[2025·陕西咸阳模拟] 已知函数f(x)=(x-a-1)ex-bx是R上的增函数,则 (　 )
A.a=b B.a=
C.a=ln b D.a=eb
6.若函数f(x)=是定义在R上的增函数,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(1,8] B.[3,7]
C.[4,7] D.(4,18]
7.(多选题)若函数f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,则实数m的值可以是(　 )
A.-5 B.-3
C.3 D.4
8.[2026·广东深圳期中] 已知函数f(x)=x--aln x在(2,3)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
9.[2026·安徽芜湖师大附中期中] 已知函数f(x)=ex-e-x-2x,则不等式f(x2-x)>f(2)的解集为　　　　.
10.已知函数f(x)=ln x+tx2+x.
(1)若函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线与直线x+6y-3=0垂直,求实数t的值;
(2)若t=-1,求函数f(x)的单调区间.
11.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(2), f(lo2), f(log23)的大小关系是 (　 )
A.f(lo2)B.f(lo2)C.f(log23)D.f(2)12.(多选题)若函数f(x)=aln x-ex+2在区间(1,3)上不单调,则实数a的取值可以是 (　 )
A.e B.e2 C.2e3 D.4e3
13.已知函数f(x)=log3(9x+1)-x+2,则f(2x)>f(x+1)的解集为　　　　.
14.已知函数f(x)=ae2x-(a+2)ex+x.
(1)若a=1,求曲线f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性.

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