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第17讲　导数与函数的极值、最值 (时间:45分钟)
1.[2026·江西上饶联考] 函数f(x)=e2x-3x的极小值为 (　 )
A.1+3ln 2 B.3ln 2-
C.ln D.
2.[2025·江苏南京期中] 已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图,则f(x)的极大值点为 (　 )
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
3.函数f(x)=x+cos x在区间上的最大值为 (　 )
A.π B.+1
C. D.π-1
4.[2026·河北承德联考] 已知函数f(x)=x3+ax2+3x-1在R上存在极值,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(-3,3)
B.[-3,3]
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3]∪[3,+∞)
5.已知函数f(x)=ex+ax恰有一个极值点,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,0]∪{e}
B.[0,+∞)∪{-e}
C.(-∞,0)
D.[0,+∞)
6.已知函数f(x)=x3-x2+1在区间[0,a]上的最小值小于-,则正数a的取值范围是 (　 )
A.(3,+∞) B.(0,3)
C.(2,+∞) D.(0,2)
7.(多选题)[2025·福建福清一中模拟] 已知函数f(x)=+k(ln x-x)仅在x=1处取得极值,则实数k的值可以是 (　 )
A.1 B.2
C.e D.3
8.[2026·广东揭阳联考] 已知函数f(x)=x2(x-m)-2025,若2是f(x)的极小值点,则m=　　　　.
9.[2026·湖北黄冈模拟] 若函数f(x)=x3-3x+3a在区间[-2,m)上的取值范围为[4,8],则am的取值范围为　　　　.
10.已知函数f(x)=ex(x2-3).
(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[-2,2]上的取值范围.
11.[2025·河南南阳六校联考] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 (　 )
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值
C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
12.[2026·安徽安庆期末] 已知函数f(x)=x3+x2+bx-的图象在x=1处的切线与直线y=1平行,且在区间(a-8,a)内存在最小值,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(1,9) B.[1,9)
C.[3,9) D.(3,9]
13.已知函数f(x)=a2e2x-3aex+x在x=0处取得极大值,则实数a的值为　　　　.
14.[2025·八省联考] 已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.第17讲　导数与函数的极值、最值
1.D　[解析] 由题得f'(x)=2e2x-3,令f'(x)=0,得x=ln,当x∈时, f'(x)<0,故f(x)在上单调递减;当x∈时, f'(x)>0, 故f(x)在上单调递增,所以f(x)的极小值为f=.故选D.
2.D　[解析] 由题图知当xx4时,f'(x)<0,当x13.D　[解析] ∵f(x)=x+cos x,∴f'(x)=1-sin x,∵x∈,∴1-sin x∈[0,2],即f'(x)≥0,∴f(x)在上单调递增,∴f(x)max=f(π)=π+cos π=π-1.故选D.
4.C　[解析] 由题得f'(x)=3x2+2ax+3,因为f(x)在R上存在极值,所以f'(x)在R上有变号零点,所以方程3x2+2ax+3=0有两个不同的实数根,故Δ=4a2-36>0,解得a>3或a<-3.故选C.
5.C　[解析] 由题意可得f'(x)=ex+a,当a≥0时, f'(x)>0在R上恒成立,不存在极值点,不符合题意,舍去;所以a<0,令f'(x)=0,得x=ln(-a),当xln(-a)时, f'(x)>0,恰好有一个极小值点x=ln(-a),符合题意,故a的取值范围是(-∞,0).故选C.
6.A　[解析] 由f(x)=x3-x2+1,得f'(x)=x[x-(a-1)],当01时, f(x)在[0,a-1]上单调递减,在[a-1,a]上单调递增,f(x)的最小值为 f(a-1)=1-(a-1)3,由题得1-(a-1)3<-,解得a>3.故选A.
7.ABC　[解析] 函数f(x)=+k(ln x-x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+k=,因为f(x)仅在x=1处取得极值,所以f'(x)=0有唯一根x=1,因为y=存在变号零点x=1,故y=-k存在唯一零点x=1或不存在零点,即g(x)=的图象与直线y=k仅在x=1处存在唯一交点或不存在交点,g'(x)=,由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得08.3　[解析] 由2是f(x)的极小值点可知f'(2)=0,由f(x)=x2(x-m)-2025,得f'(x)=3x2-2mx=x(3x-2m),则f'(2)=2(6-2m)=0,解得m=3.当m=3时, f(x)=x2(x-3)-2025, f'(x)=x(3x-6),易知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以2是f(x)的极小值点.
9.　[解析] 因为f(x)=x3-3x+3a,所以f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-110.解:(1)依题意, f'(x)=ex(x2+2x-3),则f'(0)=-3,又f(0)=-3,所以所求切线方程为y+3=-3x,即3x+y+3=0.
(2)f'(x)=ex(x2+2x-3)=ex(x+3)(x-1),当x∈[-2,2]时,令f'(x)<0, 得-2≤x<1,故f(x)在[-2,1)上单调递减,令f'(x)>0,得111.C　[解析] 由题图可知,当xe时, f'(x)>0;当cf(b)>f(a),故A错误;因为f(x)在(c,e)上单调递减,cf(d)>f(e),故D错误.故选C.
12.C　[解析] f'(x)=x2+2x+b,由题意得f'(1)=12+2+b=0,解得b=-3,所以f(x)=x3+x2-3x-, f'(x)=x2+2x-3,令f'(x)>0得x>1或x<-3,令f'(x)<0得-313.　[解析] 由题意得f'(x)=2a2e2x-3aex+1,则f'(0)=2a2-3a+1=0,解得a=1或a=.当a=1时,令f'(x)=2e2x-3ex+1=(ex-1)(2ex-1)=0,解得x=0或x=ln,当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,不符合题意;当a=时,令f'(x)=e2x-ex+1=0,解得x=0或x=ln 2,当x∈(-∞,0)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,当x∈(0,ln 2)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,所以f(x)在x=0处取得极大值,符合题意.故a的值为.
14.解:(1)当a=1,b=-2时, f(x)=ln x--x,其中x>0,则f'(x)=+-1=,令f'(x)=2,即=2,化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1(负值舍去),又f(1)=-3,所以所求切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
(2)由题可得f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=--1=,因为x=1是f(x)的极小值点,所以f'(1)=-1+a-b=0,则a=b+1,则f'(x)=
=-.若b≤0,令f'(x)>0,得x∈(0,1),令f'(x)<0,得x∈(1,+∞),所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则x=1是f(x)的极大值点,不满足题意.若00,得x∈(b,1),令f'(x)<0,得x∈(0,b)∪(1,+∞),所以f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,则x=1是f(x)的极大值点,不满足题意.若b=1,则f'(x)=-≤0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值,不满足题意.
若b>1,令f'(x)>0,得x∈(1,b),令f'(x)<0,得x∈(0,1)∪(b,+∞),所以f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减,
则x=1是f(x)的极小值点,满足题意.综上,b的取值范围为(1,+∞).

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