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微专题3　构造函数问题模型
(时间:35分钟)
1.若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“ea-eb>a-b”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知f'(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数,满足f'(x)-f(x)>0,且f(1)=2e,则不等式f(x)-2ex>0的解集为 (　 )
A. B.
C.(1,+∞) D.
3.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x)+9ex, f(3)=27e3,则不等式>xex的解集是 (　 )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)
4.[2025·广东深圳实验学校检测] 已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(2)=0,当x>0时,xf'(x)+f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集是 (　 )
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,2)
D.(2,+∞)
5.[2026·山东泰安模拟] 已知函数f(x)是奇函数,f'(x)是函数f(x)的导函数,对于任意的x∈,f'(x)sin x-f(x)cos x>0恒成立,则下列不等式成立的是 (　 )
A.fB.fC.f>-f
D.f<-f
6.[2026·河南郑州模拟] 已知aln a=beb,b>0,则的最大值为 (　 )
A.e2 B. C. D.-
7.若0A.->ln x2-ln x1
B.-C.x2D.x2>x1
8.(多选题)f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时, f'(x)-f(x)>x-1恒成立,则下列说法中正确的是 (　 )
A.令函数F(x)=,则F(x)在(0,+∞)上单调递增
B.ef(1)-f(2)<2-e
C.ef(1)-f(2)D.ef(-1)+f(2)9.[2026·福建厦门期中] 已知对任意x∈(0,+∞),不等式2ln x≤k·(ekx+1)恒成立,则k的最小值是　　　　.
10.已知f(x)是定义域为(0,+∞)的函数,且满足f(x)+xf'(x)=ex, f'(1)=1,则不等式f(x)≤log2e的解集是　　　　. 微专题3　构造函数问题模型
1.C　[解析] 由题意设f(x)=ex-x(x>0),对其求导得f'(x)=ex-1,则当x>0时, f'(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.充分性:因为a>b>0,所以f(a)>f(b),即ea-a>eb-b,移项得ea-eb>a-b,所以“a>b”可推出“ea-eb>a-b”,充分性成立.必要性:因为ea-eb>a-b,所以ea-a>eb-b,即f(a)>f(b),又a>0,b>0且f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a>b,所以“ea-eb>a-b”可推出“a>b”,必要性成立.因此,“a>b”是“ea-eb>a-b”的充分必要条件.故选C.
2.C　[解析] 令g(x)=,则g'(x)=.因为f'(x)-f(x)>0,所以g'(x)>0,则g(x)在R上单调递增.由题意知g(1)==2,又f(x)-2ex>0,即>2,所以g(x)>g(1),又g(x)在R上单调递增,所以x>1,故选C.
3.A　[解析] 因为f'(x)>f(x)+9ex,所以-9>0,所以'>0.令g(x)=-9x,则g'(x)>0,所以函数g(x)在R上单调递增.因为f(3)=27e3,所以g(3)=-27=0.原不等式等价于-9x>0,即g(x)>g(3),所以x>3,所以不等式>xex的解集是(3,+∞).故选A.
4.A　[解析] 构造函数F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x),因为当x>0时,xf'(x)+f(x)>0恒成立,所以当x>0时,F'(x)>0恒成立,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),所以F(x)是偶函数,则当x<0时,F(x)单调递减.又因为f(2)=0,所以f(-2)=-f(2)=0,则F(2)=F(-2)=0.不等式f(x)>0等价于>0,所以当x>0时,可得F(x)>0,则x>2;当x<0时,可得F(x)<0,则-20的解集是(-2,0)∪(2,+∞).故选A.
5.C　[解析] 令函数g(x)=,x∈∪,由函数f(x)是奇函数,得g(-x)===g(x),所以函数g(x)是偶函数,求导得g'(x)=,因为对于任意的x∈, f'(x)sin x-f(x)cos x>0恒成立,所以对于任意的x∈,g'(x)>0恒成立,所以函数g(x)=在上单调递增,在上单调递减.对于A,由-<-<0,得>,化简得f>f,A错误;对于B,由>>0,得>,化简得f>f,B错误;对于C,由0<<,得=<,化简得f>-f,C正确;对于D,由0<<,得=<,化简得f>-f,D错误.故选C.
6.C　[解析] 由aln a=beb,b>0,可得ln a·eln a=beb,a>1,令f(x)=xex,x>0,可得f'(x)=(x+1)ex>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(ln a)=f(b),所以b=ln a,即a=eb,则=.令g(x)=(x>0),可得g'(x)==,则当00,g(x)单调递增;当x>2时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)max=g(2)=,所以的最大值为.故选C.
7.D　[解析] 设f(x)=ex-ln x,可得f'(x)=ex-,令h(x)=ex-,则h'(x)=ex+>0,所以f'(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,又f'=-2<0, f'(1)=e-1>0,所以存在x0∈,使f'(x0)=0,所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上不是单调函数,无法判断f(x1)与f(x2)的大小,故选项A,B错误.设g(x)=,可得g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)=<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,又因为0g(x2),即>,所以x2>x1,所以C不正确,D正确.故选D.
8.BC　[解析] 因为F(x)=,所以F'(x)==>,
得不到F'(x)在(0,+∞)上恒大于0,故A选项错误.构造函数H(x)=,则H'(x)==,因为当x>0时,f'(x)-f(x)>x-1恒成立,所以H'(x)在(0,+∞)上恒大于0,则H(x)在(0,+∞)上单调递增,所以H(1)e-2,故D选项错误.故选BC.
9.　[解析] 不等式2ln x≤k·(ekx+1)即k(ekx+1)≥2ln x,两边同乘x得kx(ekx+1)≥(x2+1)ln x2(x>0),即(ekx+1)ln ekx≥(x2+1)ln x2.构造函数f(x)=(x+1)ln x(x>0),则有f(ekx)≥f(x2)(*)对任意x∈(0,+∞)恒成立,f'(x)=ln x++1.设g(x)=ln x++1,则g'(x)=-=,所以当01时,g'(x)>0.则g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则g(x)≥g(1)=2>0,即f'(x)>0,故得f(x)在(0,+∞)上单调递增,则由(*)可得ekx≥x2对任意x∈(0,+∞)恒成立,得kx≥2ln x,即≥对任意x∈(0,+∞)恒成立.令h(x)=(x>0),则h'(x)=,所以当00;当x>e时,h'(x)<0.故h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,则h(x)max=h(e)=.故≥,即k的最小值是.
10.(0,ln 2]　[解析] 设g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),对g(x)求导可得g'(x)=f(x)+xf'(x).因为f(x)+xf'(x)=ex,所以g'(x)=ex,可得g(x)=ex+C(C为常数).因为g(x)=xf(x),所以f(x)=,对f(x)=求导,可得f'(x)=,因为f'(1)==e-(e+C)=-C=1,所以C=-1,所以f(x)=,f'(x)==.令m(x)=ex(x-1)+1,x∈(0,+∞),对m(x)求导得m'(x)=ex(x-1)+ex=xex,因为x>0,所以m'(x)=xex>0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递增,则m(x)>m(0)=e0(0-1)+1=0.所以f'(x)=>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.不等式f(x)≤log2e,即≤log2e=,f(ln 2)===,所以由≤可得0故不等式f(x)≤log2e的解集是(0,ln 2].

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