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第四单元　三角函数与解三角形
第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念 (时间:45分钟)
1.已知扇形的半径为4 cm,弧长为2 cm,则此扇形的圆心角(正角)的弧度数是 (　 )
A. B. C. D.2
2.从午夜零时算起,钟表的时针和分针一天内重合的次数为 (　 )
A.18 B.20 C.22 D.24
3.已知点P在角θ的终边上,且θ∈,则θ的值为 (　 )
A. B. C. D.
4.[2026·广东广州期末] 已知命题p:sin θ<0,命题q:θ的终边位于第三象限或第四象限,则p是q的 (　 )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知曲线C是以原点O为圆心的单位圆,P(0,1),将点P沿曲线C按逆时针方向运动后到达点Q,则点Q的坐标为 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2026·安徽芜湖二模] 已知角α和角β的顶点在坐标原点,始边均与x轴的非负半轴重合,终边关于直线y=x对称,则cos(α+β)= (　 )
A. B.- C.0 D.1
7.(多选题)已知α=,则 (　 )
A.α是第一象限角
B.tan α>0
C.与α终边相同的最大负角是-
D.在(2π,4π)内与α终边相同的角只有1个
8.[2026·河北保定模拟] 设α是第二象限角,P(x,1)为其终边上一点,且cos α=x,则tan α=　　　　.
9.[2025·广东东莞模拟] 如图, 单位圆被点A1,A2,…,A12分为12等份,其中A1(1,0),角α的始边与x轴的非负半轴重合,若sin α=sin,则角α的终边与单位圆交于点　　　　.(从A1,A2,…,A12中选择,写出所有满足要求的点)
10.如图, 单位圆O与x轴正半轴的交点为A,点B,C在圆O上,且点B在第一象限,点C在第二象限.
(1)若∠BOC所对的弧长为,求图中阴影部分的面积;
(2)设∠AOC=θ,θ∈,当BO⊥CO,点B的纵坐标为时,求sin θ-cos θ的值.
11.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名,画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘,将画中女子的下嘴唇近似看作一段圆弧,在嘴角A,B处作圆弧所在圆的切线,两条切线交于点C,测得AB=12 cm,∠ACB=,则《蒙娜丽莎》中女子下嘴唇的长度约为(单位:cm) (　 )
A.12 B.4π C.8 D.8π
12.(多选题)[2025·陕西咸阳模拟] 下列结论中正确的有 (　 )
A.sin 2cos 3<0
B.若圆心角为的扇形的面积为,则扇形的弧长为π
C.终边落在直线x+y=0上的角的集合是
D.已知点P(sin α,tan α)在第四象限,则角α的终边在第二象限
13.受鲁洛克斯三角形的启发, 我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图,已知△ABC的所有边长均为a,把△ABC的各边分别向两个方向延伸长度为b的一段,然后以三个顶点为圆心分别画圆弧,使得三个内角所对的圆弧的半径均为a+b,内角的对顶角所对的圆弧的半径均为b,由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为13π-8,周长为6π,则a-b=　　　　.
14.[2026·河南南阳六校联盟体期中] 已知某扇形的周长是8.
(1)当该扇形的面积最大时,求其圆心角θ的大小;
(2)在(1)的条件下,求该扇形中所含弓形的面积.第四单元　三角函数与解三角形
第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念
1.B　[解析] 设此扇形的圆心角为α,由扇形的弧长公式l=αR可得α===,故选B.
2.C　[解析] 一天的24小时中,时针转2圈,分针转24圈,所以分针比时针多转的圈数是24-2=22,又因为每多转一圈,分针就与时针相遇一次,所以钟表的时针和分针一天内会重合22次,故选C.
3.B　[解析] 由题意可得tan θ==,结合θ∈,得θ=,故选B.
4.A　[解析] 当sin θ<0时,角θ的终边位于第三象限、第四象限或y轴的负半轴上,而当θ的终边位于第三象限或第四象限时,sin θ<0,所以p / q且p q,所以p是q的必要不充分条件.故选A.
5.A　[解析] 由题知圆的半径为1,点Q位于第二象限,且∠xOQ=+=,则点Q的纵坐标为1×sin=,横坐标为1×cos=-.故选A.
6.C　[解析] 由题意可得α+β=2×=+2kπ(k∈Z),则cos(α+β)=cos=0(k∈Z).故选C.
7.BD　[解析] 对于A,B,α==4π+,因为是第三象限角,所以α是第三象限角,且tan α>0,故A错误,B正确;对于C,D,与α终边相同的角β=2kπ+,k∈Z,取k=-1,得最大负角为-,故C错误;取k=1可得β=π∈(2π,4π),故D正确.故选BD.
8.-　[解析] 由题得cos α==x,∵x≠0,∴=2,解得x=±,又α是第二象限角,∴x=-,∴tan α===-.
9.A3或A9　[解析] 由题意知∠AiOAi+1=(i=1,2,…,11),∠A12OA1=.因为α与α+相差,所以α与α+的终边与单位圆的交点之间间隔一个点.又sin α=sin,所以α的终边与α+的终边关于y轴对称,所以角α的终边与单位圆的交点为A3或A9.
10.解:(1)设∠BOC为α,所对弧长为l,阴影部分的面积为S.
因为圆O的半径r=1,l==αr,所以α=,
所以S扇形=αr2=××12=,S△BOC=×1×1×=,
所以S=S扇形-S△BOC=-.
(2)设∠AOB=β,由题意知B,于是sin β=,cos β=,
又θ=β+,所以sin θ-cos θ=sin-cos=cos β+sin β=+=.
11.B　[解析] 如图,设圆弧所在圆的圆心为O,则易知∠OAC=∠OBC=,又∠ACB=,所以∠AOB=,即△AOB为正三角形,所以半径r=OA=AB=12,则弧AB的长度l=r=4π.故选B.
12.ABD　[解析] 对于A,由<2<3<π,得sin 2>0,cos 3<0,所以sin 2cos 3<0,A正确;对于B,设该扇形的半径为r,因为该扇形的圆心角为,面积为,所以××r2=,可得r=3,所以该扇形的弧长为×3=π,B正确;对于C,终边落在射线y=-x(x≥0)上的角的集合S1=,终边落在射线y=-x(x≤0)上的角的集合S2==,所以终边落在直线x+y=0上的角的集合是S1∪S2=,C错误;对于D,由点P(sin α,tan α)在第四象限得sin α>0,tan α<0,故角α的终边在第二象限,D正确.故选ABD.
13.3　[解析] 由题意可得圆弧六边形的面积S=3×××(a+b)2+3×××b2-2×a2=(a2+2ab+2b2)-a2=13π-8①,圆弧六边形的周长l=3××(a+b)+3××b=π(a+2b)=6π,即a+2b=6②,联立①②,可得a=4,b=1,所以a-b=3.
14.解:(1)设该扇形的半径为r,弧长为l,则8=2r+l≥2=2,当且仅当2r=l=4时,等号成立,
则该扇形的面积S=rl≤=4,所以Smax=4,则该扇形的面积最大时,其圆心角θ==2.
(2)由(1)知θ=2,r=2.则两半径与圆心角所对弦构成的三角形的面积为r×r×sin θ=×2×2×sin 2=2sin 2,所以所求弓形的面积为4-2sin 2.

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