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第21讲　两角和、差及倍角公式
1.B　[解析] 由(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=,得sin 2α=-.故选B.
2.B　[解析] 由sin α+cos α=,sin2α+cos2α=1,及α∈(0,π),可得sin α=,cos α=-,所以tan α=-,则tan 2α===,故选B.
3.B　[解析] 因为α为锐角,cos>0,所以<α+<,又cos=,所以sin==,则cos 2α=sin=sin 2=2sincos=2××=,故选B.
4.C　[解析] 由cos(α-β)=2cos(α+β),可得cos αcos β+sin αsin β=2(cos αcos β-sin αsin β),则cos αcos β=3sin αsin β,则tan αtan β==,故选C.
5.B　[解析] sin βcos(α-β)-cos βsin(β-α)=sin βcos(α-β)+cos βsin(α-β)=sin α=,因为α是锐角,所以cos α==,则tan ===,故选B.
6.C　[解析] 由2tan α=tan 2θ,得tan α=①,由tan(α-θ)=-8,得=-8,即tan α(8tan θ+1)=tan θ-8,所以tan α=②,由①②得=,化简得tan3θ=-8,所以tan θ=-2.故选C.
7.ACD　[解析] 由题可知tan==3,故选项A正确;
tan α==,故选项B不正确;sin 2α=2sin αcos α===,故选项C正确;==tan=,即1+cos α=2sin α,故选项D正确.故选ACD.
8.±　[解析] 由tan==-,解得tan α=-,
由tan α=-=,sin2α+cos2α=1,解得或故sin α=±.
9.　[解析] 由tan α=cos β可得sin α=cos αcos β,又cos(α+β)=sin α,即sin α=cos αcos β-sin αsin β,所以sin α=sin α-sin αsin β,由题易知sin α≠0,所以sin β=,因为β∈,所以cos β=,故sin 2β=2sin βcos β=2××=.
10.解:(1)由sin α+sin β=-,cos α+cos β=,可得(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=+=,故2+2(sin αsin β+cos αcos β)=,
即2+2cos(α-β)=,解得cos(α-β)=-.
(2)因为α,β∈,所以α+β∈,又sin(α+β)=-,
所以cos(α+β)===.因为sin=,β-∈,所以cos=
-=-=-,所以sin=sin=sin(α+β)cos-cos(α+β)sin=×-×=-.
11.A　[解析] 由题可知,α=,所以cos αcos 2αcos 4α=coscoscos,因为sincoscoscos=sincoscos=sincos=sin=sin·=-sin,
即sincoscoscos=-sin,且sin≠0,所以coscoscos=-.故选A.
12.ACD　[解析] 由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=,得sin αsin β=,故A正确;cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=,故B错误;tan αtan β===,故C正确;cos 2α+cos 2β=2coscos=2××=,故D正确.故选ACD.
13.　[解析] 因为tan(α+β)tan β==,所以cos(α+β)cos β=3sin(α+β)sin β,又cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β)cos β-sin(α+β)sin β=,所以3sin(α+β)sin β-sin(α+β)sin β=,解得sin(α+β)sin β=,故cos(α+β)cos β=3×=,所以cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=+=.
14.解:(1)由sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
解得sin αcos β=,cos αsin β=.
(2)=
·=·===.
(3)由β为锐角,且tan β=,cos(α-β)==,
所以cos 2α=cos(α+β+α-β)=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×-×=.第21讲　两角和、差及倍角公式 (时间:45分钟)
1.若cos α+sin α=,则sin 2α= (　 )
A. B.- C. D.
2.[2026·江苏苏州调研] 已知sin α+cos α=(0<α<π),则tan 2α= (　 )
A.- B.
C.- D.
3.[2025·广东揭阳模拟] 已知α为锐角,且cos=,则cos 2α= (　 )
A. B.
C.- D.-
4.若cos(α-β)=2cos(α+β),则tan αtan β= (　 )
A.- B.
C. D.-
5.[2026·浙江宁波模拟] 已知α为锐角,且sin βcos(α-β)-cos βsin(β-α)=,则tan = (　 )
A. B. C. D.
6.已知2tan α=tan 2θ,tan(α-θ)=-8,则tan θ= (　 )
A.3 B.2
C.-2 D.-3
7.(多选题)已知tan =,则 (　 )
A.tan=3 B.tan α=
C.sin 2α= D.1+cos α=2sin α
8.[2025·河北邯郸模拟] 已知tan=-,则sin α=　　　　.
9.[2026·重庆调研] 设β∈,已知tan α=cos β,cos(α+β)=sin α,则sin 2β=　　　　.
10.[2026·河北承德联考] (1)若sin α+sin β=-,cos α+cos β=,求cos(α-β)的值.
(2)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,求sin的值.
11.如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形,若九芒星的顶点将圆九等分,设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为α,则cos αcos 2αcos 4α= (　 )
A.- B. C. D.-
12.(多选题)[2026·湖北宜昌联考] 已知
cos αcos β=,cos(α+β)=,则 (　 )
A.sin αsin β= B.cos(α-β)=
C.tan αtan β= D.cos 2α+cos 2β=
13.已知tan(α+β)tan β=,cos(α+2β)=,则cos α=　　　　.
14.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=.
(1)求sin αcos β,cos αsin β的值;
(2)求的值;
(3)若α,β均为锐角,且tan β<,求cos 2α的值.

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