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第23讲　三角函数的图象与性质
1.D　[解析] 由题意知ω-=+2kπ,k∈Z,则ω=2+6k,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.故选D.
2.A　[解析] 令x-=,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,即f(x)的图象关于点,k∈Z对称,∴“x0=2kπ+,k∈Z”是“f(x)的图象关于点(x0,0)对称”的充分不必要条件,故选A.
3.D　[解析] 由题意得=,解得ω=3,因为x∈,所以3x+∈,所以f(x)在上的最大值为3.故选D.
4.C　[解析] f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,令2x+=+k1π,k1∈Z,解得x=+,k1∈Z,故a=+,k1∈Z.令2x+=k2π,k2∈Z,解得x=-,k2∈Z,故b=-,k2∈Z,则|a-b|=+-=+,k1,k2∈Z,当k1-k2=1时,|a-b|=+=,故C正确.故选C.
5.A　[解析] f(x)=4cos xsin=4cos x=2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-1=2sin-1,因为x∈,所以2x-∈,所以f(x)=2sin-1∈[-2,1],故选A.
6.A　[解析] 因为f(x)=2cos(2x+φ)为奇函数,所以f(0)=0,即2cos φ=0,又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2cos=-2sin 2x. 令2x∈,k∈Z,解得x∈,k∈Z.当k=0时,f(x)的单调递减区间为,A正确,其他选项均不满足条件,故选A.
7.AD　[解析] 易知f(x)=tan的最小正周期为=1,故A正确;令πx-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+k,k∈Z,因此f(x)的定义域为,故B不正确;因为f=tan=tan=tan ,f=tan=tan,y=tan x在上单调递增,-<-<<,所以tan8.(答案不唯一)　[解析] 因为函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数,所以φ可取的奇数倍,故φ可以为(答案不唯一).
9.　[解析] 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,令k=0,得-≤x≤.因为f(x)在区间(0,m)上单调递增,所以实数m的取值范围为.
10.解:(1)f(x)=sin x(sin x+cos x)=+sin 2x=sin+,所以函数f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由x∈,得-≤2x-≤,所以y=f(x)在上的最大值为,则y=f(x+a)=sin+在上的最大值也是.由2x+2a-=2kπ+,k∈Z,得a=kπ+-x,k∈Z,
因为x∈,所以kπ-≤a≤kπ+,k∈Z,
又a∈[0,π],所以0≤a≤或≤a≤π,故a的取值范围为∪.
11.A　[解析] 由题得f(x)=-2cos,因为f(x)在区间上单调递增,所以y=2cos(ω>0)在区间上单调递减,当x∈时,ωx+∈,所以k∈Z,解得3k-≤ω≤k+,k∈Z.因为f(x)在区间上单调递增,所以·≥-=π,即ω≤1,又ω>0,所以只有当k=0时,不等式有解,所以ω∈,所以ω的最大值为.故选A.
12.AD　[解析] 对于选项A, f(x+2π)=f(x)显然成立,假设存在T0∈(0,2π),使得f(x)=f(x+T0)成立,则必有f(0)=f(T0), f(π)=f(π+T0),即2=sin 2T0+2cos T0,-2=sin 2T0-2cos T0,可得sin 2T0=0,cos T0=1,又013.　[解析] 因为x∈,所以2t-≤2x-≤2t+.由题意可得函数y=sin x在上的最大值为M,最小值为m.令2t-=a,则y=sin x在上的最大值为M,最小值为m.当a∈时,a+∈,则M-m=sin-sin a=cos,此时a+∈,故M-m∈.当a∈时,a+∈,则M-m=1-sin a∈.当a∈时,a+∈,则M-m=1-sin∈.当a∈时,a+∈,则M-m=sin a-sin=
-cos,此时a+∈,故M-m∈.当a∈时,a+∈,则M-m=sin a-(-1)∈.当a∈时,a+∈,则M-m=sin-(-1)∈.综上,M-m的取值范围为.
14.解:(1)由题意得f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π,
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)选择条件①:
由题意得g(x)=sin.
由(1)易知g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
由g(x)在区间上单调递增,得解得φ=-kπ(k∈Z).又因为0<φ<,所以φ=,
从而g(x)=sin 2x存在且唯一.
当0≤x≤时,0≤2x≤,所以当2x=,即x=时,g(x)取得最大值;当2x=,即x=时,g(x)取得最小值-.
选择条件②:
由题意得g(x)=sin,若函数g(x)的最大值为,则只需2x-2φ+=2kπ+,k∈Z,
由于x∈R,故φ的取值不唯一,故不符合题意,即不能选择条件②.
选择条件③:
由题意得g(x)=sin.由g(x)为偶函数可知-2φ+=+kπ(k∈Z),
解得φ=--(k∈Z).
又因为0<φ<,所以φ=.
从而g(x)=sin=-cos 2x存在且唯一.当0≤x≤时,0≤2x≤,
所以当2x=0,即x=0时,g(x)取得最小值-;当2x=π,即x=时,g(x)取得最大值.
《全品高考复习方案》第23讲　三角函数的图象与性质 (时间:45分钟)
1.已知函数f(x)=sin(0<ω<3)在x=处取得最大值,则ω= (　 )
A. B.1 C. D.2
2.[2025·江苏泰州调研] 已知函数f(x)=tan,则“x0=2kπ+,k∈Z”是“f(x)的图象关于点(x0,0)对称”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2026·湖北黄冈模拟] 已知函数f(x)=3cos(ω>0)的最小正周期为,则f(x)在上的最大值为 (　 )
A.1 B. C.2 D.3
4.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x图象的一条对称轴为直线x=a,且f(x)的图象关于点(b,0)对,称则|a-b|的值可能为 (　 )
A.0 B. C. D.π
5.函数f(x)=4cos xsin在上的取值范围为 (　 )
A.[-2,1] B.[-3,1]
C.[-2,0] D.[-1,1]
6.[2026·广东深圳模拟] 奇函数f(x)=2cos(2x+φ)(0<φ<π)的单调递减区间可以是 (　 )
A. B.
C. D.
7.(多选题)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是 (　 )
A.f(x)的最小正周期为1
B.f(x)的定义域为
C.fD.f(x)的图象关于点对称
8.若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数,则φ的值可以为　　　　.(写出一个即可)
9.[2025·湖南郴州三模] 已知函数f(x)=sin,若f(x)在区间(0,m)上单调递增,则实数m的取值范围为　　　　.
10.已知f(x)=sin x(sin x+cos x).
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)设a∈[0,π],若函数y=f(x)和y=f(x+a)在上有相同的最大值,求a的取值范围.
11.[2025·辽宁名校联盟模拟] 已知函数f(x)=2cos(ω>0)在区间上单调递增,则ω的最大值为 (　 )
A. B.2 C. D.
12.(多选题)[2026·湖北华中师大模拟] 设函数f(x)=sin 2x+2cos x,则下列说法正确的是　　　 (　 )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的最大值为3
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在区间上单调递增
13.已知函数f(x)=sin在(t∈R)上的最大值为M,最小值为m,则M-m的取值范围为　　　　.
14.[2025·北京朝阳区质检] 已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间.
(2)设函数g(x)=f(x-φ),从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数g(x)存在且唯一,求g(x)在区间上的最大值和最小值.
条件①:g(x)在区间上单调递增;
条件②:g(x)的最大值为;
条件③:g(x)为偶函数.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.

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