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第24讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用 (时间:45分钟)
　1.[2025·重庆期中] 已知曲线C1:y=sin,把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2,则曲线C2对应的函数解析式为 (　 )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
2.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于y轴对称,则φ= (　 )
A.- B.- C. D.
3.[2026·四川德阳质检] 已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后,得到g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ= (　 )
A. B.- C. D.-
4.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)的图象,以f(x),g(x)图象相邻的三个交点为顶点的三角形的面积为,则φ= (　 )
A. B. C. D.
5.[2025·山东滨州二模] 已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x,则下列说法正确的是 (　 )
A.要得到f(x)的图象,只需将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在区间上单调递减
D.若x1≠x2,且f(x1)=f(x2)=-2,则|x1-x2|的最小值为
6.[2025·河北石家庄二模]
已知函数f(x)=2cos的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,直线y=1与函数f(x),g(x)的图象分别交于A,B两点,直线y=-1与函数f(x),g(x)的图象分别交于D,C两点(如图所示),若曲边四边形ABCD的面积为,则g(x)的图象在上对称轴的条数为 (　 )
A.1 B.3 C.2 D.5
7.(多选题) [2026·湖北武汉新洲区期中] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用(图①),若一半径为2米的筒车的圆心O距离水面1米(示意图如图②),已知筒车按逆时针方向转动,每分钟转动5圈,当筒车上的点P从水中浮现时(图②中的点P0)开始计时,经过t分钟后点P距水面的高度可以用函数h=Asin(ωt+φ)+B表示,则下列结论正确的有(　 )
A.h关于t的函数解析式为h=2sin+1(t≥0)
B.点P第一次到达最高点需用时5秒
C.点P再次接触水面需用时8秒
D.当点P运动2秒时,距水面的高度为2米
8.将函数f(x)=cos的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则g=　　　　.
9.已知函数f(x)=3sin-1(ω>0)的最小正周期为π,将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则g(x)在区间上的取值范围为　　　　.
10.[2026·吉林长春联考] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若不等式g(x)-m≤4对任意的x∈恒成立,求m的取值范围.
11.[2025·辽宁沈阳实验中学期中] 将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度,再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在上没有零点,则ω的取值范围是 (　 )
A. B.∪
C.∪ D.(0,1)
12.(多选题) [2025·湖北武汉模拟] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)-2,若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示,则关于函数g(x)=Acos(ωx+φ)的结论正确的是　　 (　 )
A.g(φ)=-4
B.直线x=-是函数g(x)图象的对称轴
C.g(x)在上单调递增
D.函数g(x)的图象可由函数f(x)的图象先向左平移个单位长度,再向上平移2个单位长度得到
13.已知函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)在(0,2π)上的图象与直线y=-恰有三个交点,则ω的取值范围为　　　　.
14.[2026·湖北襄阳四中质检] 已知函数f(x)=sin+cos+.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到g(x)的图象,当函数y=g(x)-k在上只有一个零点时,求k的取值范围.第24讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用
1.D　[解析] 把曲线C1:y=sin上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到的曲线对应的函数解析式为y=sin,再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线C2,则曲线C2对应的函数解析式为y=sin.故选D.
2.B　[解析] 由题意得g(x)=f=sin是偶函数,所以解得k=0,φ=-.故选B.
3.C　[解析] 由题意知g(x)=sin=sin,因为g(x)是奇函数,所以φ-=kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=.故选C.
4.B　[解析] 如图,不妨取纵轴右侧的连续三个交点,依次设为A,B,C,易知g(x)=sin 2(x-φ)的最小正周期也为π,则AC=π,由△ABC的面积为及三角函数图象的对称性知,yA=,进而A,将点A的坐标代入g(x)=sin 2(x-φ)结合0<φ<,得φ=.故选B.
5.C　[解析] 易知f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin.对于A,将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象,故A错误;对于B,f=2sin=2sin=2≠0,故B错误;对于C,当x∈时,2x-∈ ,
由正弦函数图象性质可得f(x)在区间上单调递减,故C正确;对于D,若x1≠x2,且f(x1)=f(x2)=-2,则|x1-x2|的最小值为f(x)的一个最小正周期的长度,即=π,故D错误.故选C.
6.C　[解析] 连接BC,AD,易知曲边四边形ABCD的面积等于平行四边形ABCD的面积,由平移知识可知,AB=φ,两平行直线y=±1之间的距离为2,所以2×φ=,则φ=,所以g(x)=2cos=2cos,令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,又x∈,所以g(x)的图象在上的对称轴方程为x=,x=,共2条,故选C.
7.CD　[解析] 由题得A=2,B=1,最小正周期T=,所以ω===10π.当t=0时,2sin φ+1=0,解得sin φ=-,因为|φ|<,所以φ=-,所以h=2sin+1,t≥0,故A错误.令h=3,得sin=1,则10πt-=+2kπ,k∈Z,解得t=+,k∈Z,所以t的最小值为分钟,即用时4秒,所以点P第一次到达最高点需用时4秒,故B错误.由题意知,点P再次接触水面需用时T=(分钟),即8秒,故C正确.
当点P运动2秒,即t=时,h=2sin+1=2(米),故D正确.故选CD.
8.-　[解析] 将函数f(x)=cos的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为g(x)=cos=cos(2x+π)=-cos 2x,所以g=-cos=-.
9.　[解析] 因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,故f(x)=3sin-1,则g(x)=f=3sin-1,因为x∈,所以2x-∈,则sin∈,则g(x)∈,故g(x)在区间上的取值范围为.
10.解:(1)由题图可知,A=3,×=-,解得ω=2.当x=时,2×+φ=+2kπ,k∈Z,可得φ=-+2kπ,k∈Z,
因为-π<φ<π,所以φ=-,
所以f(x)=3sin.令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(2)由已知得g(x)=3sin=3sin,当x∈时,2x+∈,则3sin∈,
若不等式g(x)-m≤4对任意的x∈恒成立,则需满足3-m≤4,得m≥-1.故m的取值范围是[-1,+∞].
11.B　[解析] 将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度,得到y=sin的图象,再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数g(x)=sin的图象.∵函数g(x)在上没有零点,∴-≤=,∴0<ω≤.∵12.BCD　[解析] 由题得函数f(x)的最大值为2,最小值为-6,则故A=4,易知=-=(其中T为f(x)的最小正周期),即T=π,则ω===2,故f(x)=4sin(2x+φ)-2.当x=0时,|f(0)|=|4sin φ-2|=0,故sin φ=,又因为|φ|<,所以φ=,所以g(x)=Acos(ωx+φ)=4cos.对于A,g(φ)=g=4cos=4cos=0,故A错误;对于B,函数g(x)图象的对称轴方程为2x+=kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z,当k=0时,x=-,故B正确;
对于C,因为x∈,所以2x+∈,因为函数y=cos x在区间上单调递增,所以g(x)在上单调递增,故C正确;对于D,设函数f(x)=4sin-2图象上的点先向左平移个单位长度,再向上平移2个单位长度得到函数h(x)的图象,
则h(x)=4sin-2+2=4sin=4cos,因为g(x)=h(x),故D正确.故选BCD.
13.　[解析] 令t=ωx+,x∈(0,2π),ω>0,则t∈,原问题等价于直线y=-与函数y=cos t的图象在上有三个交点,令cos t=-,得t=,,,,…,于是有可得<ω≤,故ω的取值范围为.
14.解:(1)f(x)=sin+cos+=sin+,令+2kπ≤+≤+2kπ(k∈Z),解得+4kπ≤x≤+4kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到g(x)=sin+的图象.因为0≤x≤,所以-≤-≤π,要使函数y=g(x)-k在上只有一个零点,则需满足g(x)的图象与直线y=k在上只有一个交点,作出函数y=sin x+在上的图象,如图所示,
由图可得,当0≤k<或k=时,g(x)的图象与直线y=k在上只有一个交点,所以实数k的取值范围为.

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