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第25讲　余弦定理、正弦定理
1.C　[解析] 由b=3及c2+9=a2+3c,得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A===,因为02.D　[解析] 因为∠BAC=,∠CAD=,所以∠BAD=,因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以×4×8×=×AD×4+×AD×8×,解得AD=2.故选D.
3.D　[解析] 由题可知C=30°,由正弦定理得=,解得c=,
易知sin A=sin(45°+60°)=×+×=,所以△ABC的面积为bcsin A=×2××=.故选D.
4.B　[解析] 因为cos 2A+1=cos 2B+cos 2C,所以1-2sin2A+1=1-2sin2B+1-2sin2C,整理可得sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2,故A=.因为bcos C=csin B,所以由正弦定理可得sin Bcos C=sin Bsin C,因为B,C均为锐角,所以sin B>0,则sin C=cos C,所以tan C=1,故C=,因此,△ABC为等腰直角三角形.故选B.
5.C　[解析] 由余弦定理可知a2=b2+c2-bc,在锐角三角形中,有
即即即解得<<,则=∈,故选C.
6.C　[解析] 由ccos(A-B)+2asin Bcos C=-ccos C,得ccos(A-B)+ccos C=-2asin Bcos C,所以c[cos(A-B)-cos(A+B)]=-2asin Bcos C,即2csin Asin B=-2asin Bcos C,则由正弦定理得2sin Csin Asin B=-2sin A·sin Bcos C,因为A,B∈(0,π),所以sin A≠0,sin B≠0,所以sin C=-cos C,即tan C=-,又C∈(0,π),所以C=,因为c=2,所以由余弦定理得=a2+b2-2abcos C,即a2+b2=24-ab.由题可得=(+),所以=(+2·+)=(b2-ab+a2)=(24-2ab),因为a2+b2=24-ab≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab≤8,所以≥×(24-16)=2,则||≥,所以AB边上的中线CD长度的最小值为.故选C.
7.BD　[解析] 因为cos B=,B是三角形的内角,所以sin B>0,所以sin B=====,因为a=b,所以由正弦定理可得sin A====,又因为sin 2B=2sin Bcos B=2××==,所以sin A=sin 2B.因为b>c,所以B>C,且A+B+C=π,那么A=2B或A+2B=π.若A+2B=π,A+B+C=π,则B=C,这与B>C矛盾,所以A=2B,故B正确,A错误.由余弦定理可得b2=+c2-2×b×c×,即b2-bc+c2=0,即b2-3bc+2c2=0,则b=c或b=2c.因为b>c,所以b=2c,故D正确,C错误.故选BD.
8.6　4　[解析] 因为S△ABC=bcsin A=ah=×4×=3,所以bcsin A=6≤bc,当且仅当sin A=1,即A=时取等号,所以bc的最小值为6.若h=a,则S△ABC=bcsin A=a×a,解得a2=2bcsin A,由余弦定理得2bcsin A=b2+c2-2bccos A,整理得b2+c2=4bc=4bcsin,所以=4sin,当A=时,取得最大值4.
9.5+8　[解析] 设∠AOB=θ(0<θ<π),则△ABC的面积为·AB·AC·sin=·AB2=(OA2+OB2-2OA·OB·cos θ)=(20-16cos θ),△OAB的面积为·OA·OB·sin θ=4sin θ,所以四边形OACB的面积为(20-16cos θ)+4sin θ=5+4sin θ-4cos θ=5+8sin.因为0<θ<π,所以当θ-=,即θ=时,四边形OACB的面积取得最大值5+8.
10.解:(1)依题意得,cos A+sin=1,则cos A-cos 2A=1,故cos A-2cos2A=0,因为A∈(0,π),且A≠,所以cos A=,则sin A=,故△ABC外接圆的半径R==,故△ABC外接圆的面积S=πR2=.
(2)由∠DAB=及(1)知,∠CAD=,又=4,所以BC=3CD,
所以S△ABC=3S△ACD,得·AB·AC·sin=3×·AD·AC·sin,故AB=AD.由△ABD的面积为2,得AB·AD=2,代入AB=AD,可得AD=2,AB=2,又S△ABC=S△ABD,所以AB·AC·sin=×2,解得AC=,
由余弦定理得BC==3,故△ABC的周长为3+3.
11.A　[解析] 设∠DEB=θ,
则∠FEC=-θ,∠BDE=-θ,∠CFE=+θ,∵∠DEF=,DF=2,DE=,∴EF=1,在△BDE中,由=,得=,
∴BE=2sin=cos θ+sin θ.同理,在△ECF中,EC=sin=cos θ+sin θ,∴BC=BE+EC=cos θ+sin θ+cos θ+sin θ=sin(θ+φ),其中tan φ=,∵θ∈,∴当θ+φ=时,BC取得最大值,∴S△ABC=BC2≤×=,当且仅当θ+φ=时等号成立.故选A.
12.ACD　[解析] 对于A,由等面积法得S△ABC=S△ABD+S△ACD,即
bcsin∠BAC=AD·csin∠BAD+AD·bsin∠CAD,得bc=b+c,即+=,
所以4b+c=·(4b+c)=·≥·=6,当且仅当b=,c=2时取等号,故4b+c的最小值为6,故A正确;对于B,在△ABD中,=,在△ACD中,=,由∠BAC的平分线AD交BC于点D,得∠BAD=∠CAD,故=,故B错误;对于C,在△ABD中,BD==,在△ACD中,CD==,所以+=sin B+sin C=sin B+sin(120°-B)=sin B+cos B=sin(B+30°),又0°=+=4,即△ABC周长的取值范围是[4,+∞),故D正确.故选ACD.
13.8+5　[解析] 由正弦定理及sin2A+sin2B+sin2C=2sin A·sin Bsin C,可得a2+b2+c2=2ab·sin C,由c2=a2+b2-2abcos C,得a2+b2+c2=2c2+2abcos C,所以2c2+2abcos C=2absin C,即c2+abcos C=absin C,又c2=-abcos C+absin C=a2+b2-2abcos C≥2ab-2abcos C(当且仅当a=b时等号成立),所以整理得cos C+sin C≥2,即2sin≥2,即sin≥1,又sin≤1,所以sin=1,又14.解:(1)当C=时,A+B=,满足sin2A+sin2B=2+cos 2C.令A→0,则==→+∞,故无最大值.
因为sin2A+sin2B=+=1-(cos 2A+cos 2B)=1-cos(A+B)cos(A-B),且2+cos 2C=1+2cos2C,所以cos Ccos(A-B)-2cos2C=0,所以cos C[cos(A-B)+2cos(A+B)]=0,所以
cos C(3cos Acos B-sin Asin B)=0,则cos C=0或sin Asin B=3cos Acos B,由sin Asin B>0,得cos Acos B>0,则tan Atan B=3.
①当C=时,==≥2,当且仅当A=B=时取等号;
②当tan Atan B=3时,===+≥=,
当且仅当A=B=C=时取等号,
因为2>,所以的最小值是.综上所述,有最小值,无最大值.
(2)①当C=时,2A∈,
则S=×6sin A·6sin B=18sin Acos A=9sin 2A∈;
②当tan Atan B=3时,在△ABC中,由正弦定理得==,所以a=,b=,
则S=··sin C=18=
=,由函数f(x)=x+在上单调递减,得tan A+tan B=tan A+∈,
所以S∈.
综上,△ABC的面积S的取值范围是∪.第25讲　余弦定理、正弦定理 (时间:45分钟)
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c2+9=a2+3c,则A= (　 )
A. B.
C. D.
2.[2025·重庆三模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若A=,D为BC边上的点,且 ∠CAD=,AB=8,AC=4,则AD= (　 )
A.4 B.4 C. D.2
3.[2026·河北邯郸模拟] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=105°,B=45°,b=2,则△ABC的面积为 (　 )
A.+ B.
C.+1 D.
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos 2A+1=cos 2B+cos 2C,且bcos C=csin B,则△ABC的形状一定是 (　 )
A.非等腰直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰钝角三角形 D.不确定
5.在锐角三角形ABC中,cos A=,则的取值范围为 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2026·河北定州一模] 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2,ccos(A-B)+2asin Bcos C=-ccos C,D为AB的中点,则AB边上的中线CD长度的最小值为(　 )
A. B.
C. D.2
7.(多选题)[2025·江苏苏州三模] 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b>c,cos B=,a=b,则 (　 )
A.A=B B.A=2B
C.b=c D.b=2c
8.[2026·湘豫名校联考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BC边上的高为h.若a=4,h=,则bc的最小值为　　　　 ;若h=a,则的最大值为　　　　.
9.如图,半圆O的直径为4,A为直径延长线上的一点,OA=4,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC,则四边形OACB面积的最大值为　　　　　　.
10.[2025·江西萍乡三模] 已知△ABC中,cos A+2sincos=1,且A≠.
(1)若BC=2,求△ABC外接圆的面积;
(2)若D在BC延长线上,=4,∠DAB=,△ABD的面积为2,求△ABC的周长.
11.在等边三角形ABC中,D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且DE=,DF=2,∠DEF=,则△ABC面积的最大值是 (　 )
A. B.2 C.7 D.6
12.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,AD=2,则下列说法正确的是 (　 )
A.4b+c的最小值为6
B.=
C.+的最大值是
D.△ABC的周长的取值范围是[4,+∞)
13.[2026·浙江杭州三模] 如图, 在三角形ABC中,若sin2A+sin2B+sin2C=2sin Asin B·sin C,DB=2,DC=4,则四边形ABDC的面积的最大值为　　　　　　.
14.[2026·广东揭阳联考] 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin2A+sin2B=2+cos 2C.
(1)求的最值;
(2)若c=6,A∈,求△ABC的面积S的取值范围.

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