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微专题5　“爪形”三角形问题
(时间:35分钟)
1.[2025·湖南长沙模拟] 已知△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,B的角平分线交边AC于点D,则的值为 (　 )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,a=4,BC边上的高AD=,则b+c= (　 )
A.2 B.4
C.8 D.4
3.如图, 在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m等于 (　 )
A. B. C. D.
4.(多选题)在△ABC中,M是BC的中点,B=,AM=,则下列结论一定正确的是 (　 )
A.BM的最大值是2
B.A≥
C.△ABC面积的最大值是3+
D.AC的最大值是3+
5.[2025·福建龙岩质检] 在△ABC中,BC=2,D为AB边上的点,且满足AD=AC,BD=CD=3,则cos A=　　　　.
6.[2026·安徽合肥联考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,AD是∠BAC的平分线,点D在BC上,CD=3BD,AD=,则△ABC的面积为　　　　.
7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为AB的中点,E为AC边上一点,CE=2AE.设∠ADE=α,且acos(B-α)=ccos α,则∠AED=　　　　.
8.[2026·河北石家庄质检] 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+ccos B=a.
(1)求角C的大小;
(2)若AB=2,且sin Asin B=,T为AB的中点,求AB边上的中线CT的长.
9.在△ABC中,∠A=,角A的平分线交边BC于点D.
(1)若=,求角B.
(2)若AD=1,问:△ABC的面积能否取到 若能,请求出AB和AC的长度;若不能,请说明理由.微专题5　“爪形”三角形问题
1.A　[解析] 因为△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,所以AB·ACsin A=×3ACsin 60°=6,解得AC=8.在△ABC中,由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=9+64-2×3×8cos 60°=49,所以BC=7.因为BD平分∠ABC,所以===.故选A.
2.A　[解析] 因为BC边上的高AD=,a=4,所以S△ABC=a·AD=bcsin A,将A=,a=4,AD=代入上式可得×4×=bcsin,即2=bc×,解得bc=8.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得42=b2+c2-2bccos,即16=b2+c2-bc,即16=(b+c)2-3bc,把bc=8代入上式可得16=(b+c)2-3×8,即(b+c)2=16+24=40,所以b+c==2. 故选A.
3.D　[解析] 由=,得=3,则=m+=m+,因为P,B,N三点共线,所以m+=1,即m=,故选D.
4.ACD　[解析] 因为B=,AM=,所以=2,即△AMB外接圆的半径为,所以BM的最大值为2,故A正确;由题知π>A>0,故B错误;如图,以△AMB的外接圆圆心O为原点,AM的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A,M,易知当B的坐标为(0,)时,S△ABM取得最大值+,
又M是BC的中点,S△ABC=2S△ABM,所以△ABC面积的最大值是3+,故C正确;设B(cos θ,sin θ),θ∈,因为A,M,C(-cos θ,-3-sin θ),所以=+=12-9cos θ+3sin θ=12+6sin,因为θ∈,所以θ-∈,所以当θ-=,即θ=时,AC取得最大值=3+,故D正确.故选ACD.
5.　[解析] 在△BDC中,BC=2,BD=DC=3,由余弦定理得cos∠CDB==-=-cos∠CDA,在△ADC中,AD=AC,所以∠ADC=∠ACD,则cos A=-cos 2∠ADC=-(2cos2∠ADC-1)=-(2cos2∠CDB-1)=-=.
6.　[解析] 在△ABC中,由角平分线定理得==3,所以b=3c,
由S△ABC=S△ABD+S△ADC,得bcsin =c×AD×sin+b×AD×sin,解得c=,b=4,所以S△ABC=bcsin∠BAC=××4×=.
7.　[解析] 因为acos(B-α)=ccos α,所以由正弦定理可得sin Acos(B-α)=sin Ccos α,又因为sin Acos(B-α)=sin Acos Bcos α+sin Asin Bsin α,
sin Ccos α=sin(A+B)cos α=sin Acos Bcos α+cos Asin Bcos α,所以sin Acos Bcos α+sin Asin Bsin α=sin Acos Bcos α+cos Asin Bcos α,
可得sin Asin Bsin α=cos Asin Bcos α,又B∈(0,π),所以sin B≠0,可得sin Asin α=cos Acos α,
则cos∠AED=-cos(A+α)=-cos Acos α+sin Asin α=0,
因为∠AED∈(0,π),所以∠AED=.
8.解:(1)在△ABC中,由bsin C+ccos B=a及正弦定理得sin Bsin C+sin Ccos B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bsin C=sin Bcos C,
因为B,C∈(0,π),所以sin B>0,则sin C=cos C>0,可得tan C=,故C=.
(2)由正弦定理可得====,所以ab=sin Asin B·=4.
在△ABC中,由余弦定理可得c2=8=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=a2+b2-4,所以a2+b2=12,因为CT为AB边上的中线,所以=(+),所以==(++2·)=(a2+b2+2abcos C)=(a2+b2+ab)=×(12+4)=4,故||=2,
因此,AB边上的中线CT的长为2.
9.解:(1)设BD=t,由题意可知DC=2t,在△ABD中,由正弦定理得=,在△ACD中,由正弦定理得=,因为∠A=,AD为角A的平分线,所以∠BAD=∠CAD=,又sin∠ADB=sin∠ADC,所以AC=2AB,设AB=m,则AC=2m,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=m2+4m2-2·m·2m·cos=3m2,所以BC=m,所以BC2+AB2=AC2,所以B=.
(2)△ABC的面积不能取到.
方法一:因为角A的平分线交边BC于点D,所以由S△ABD+S△ACD=S△ABC,得AB·AD·sin+AC·AD·sin=AB·ACsin,即AB+AC=AB·AC,
又AB+AC≥2,当且仅当AB=AC时等号成立,所以AB·AC≥,所以△ABC的面积的最小值为××=.因为<,所以△ABC的面积不能取到.
方法二:因为角A的平分线交边BC于点D,所以由S△ABD+S△ACD=S△ABC,得AB·AD·sin+AC·AD·sin=AB·AC·sin,即AB+AC=AB·AC.假设△ABC的面积能取到,则AB·ACsin=,进而AB·AC=1①,
所以AB+AC=②,联立①②,可得AB+=,此方程无解,假设不成立.所以△ABC的面积不能取到.

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