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第26讲　余弦定理、正弦定理应用举例 (时间:45分钟)
　1.一艘海轮从A处出发,以每小时50海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,2小时后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C间的距离是 (　 )
A.50海里 B.50海里
C.100海里 D.100海里
2.[2025·陕西商洛期末] 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距20海里的B处一艘渔船遇险发出的求救信号后,即刻通知位于P处北偏东60°方向相距30海里的M处的甲船前往救援,则甲船至少需要航行 (　 )
A.15海里 B.10海里
C.10海里 D.10海里
3.某校学生参加课外实践活动,测量一土坡的倾斜程度,如图,坡顶有一建筑物CD,在坡脚A处测得∠CAD=30°,沿土坡前进50 m到达E处,测得∠CED=60°,已知CD=45 m,BC⊥AB,设土坡对于水平面AB的坡角为θ,则cos θ= (　 )
A.-1 B.-1
C. D.
4.如图所示,某同学为了测量某塔OP的高度,在塔对面笔直的临江大道上的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,45°,60°(点A,B,C为水平地面上共线的三点),且AB=BC=500米,则该塔的高度为(　 )
A.130米 B.150米
C.250米 D.280米
5.如图,A,B是海面上位于东西方向相距(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D处有一艘船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距4海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为20海里/时,则该救援船到达D点所需时间至少为(　 )
A.1小时
B.0.3小时
C.0.5小时
D.0.2小时
6.墙上挂着一幅高为1 m的画,画的上端到地面的距离为 2 m,某摄像机在地面上拍摄这幅画.将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角(点A,B与摄像机在同一竖直平面内),且把最大的视角称为最佳视角.若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计,则当摄像机在地面上任意移动时,最佳视角的正弦值为 (　 )
A. B. C. D.
7.(多选题)[2025·福建福州期中] 如图,在山脚A处测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β(β<α)的斜坡向上行走a到达B处,在B处测得山顶P的仰角为γ,则下列选项正确的是 (　 )
A.PB=
B.AQ=
C.PC=
D.PQ=
8.[2025·辽宁丹东期中] 甲、乙两人分别骑自行车同时从A地出发,甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动,去往B地,乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动,去往C地,甲、乙同时到达目的地,甲的速度是乙的速度的两倍,且B地与C地相距10 km,则A地与B地相距约　　　　km.(参考数据:取cos 75.5°≈0.25)
9.某日中午12:00甲船以24 km/h的速度沿北偏东60°的方向驶离码头A,下午1:00乙船沿南偏东41°的方向匀速驶离码头A,下午5:00甲船到达B地,乙船到达C地,且C在B的南偏西23°的方向上,则乙船的航行速度约为　　　　km/h.
10.某市公园绿道专为骑行而建,以绿道为线,串联上百个生态公园,一路上树木成荫、鸟语花香.在C处有一古塔,市政府为升级绿道沿途风景,计划在某段全长200的笔直绿道AB一侧规划一个三角形区域(古塔的底座忽略不计)ABC做绿化,如图,已知∠CAB=,为提升美观度,设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形.
(1)若在A,B处分别测得塔顶E的仰角为45°,30°,求塔高CE.
(2)求绿化区域△ABC面积的取值范围.
(3)绿化完成后,某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点,该游客从A到D,再从D到B.已知∠ADB=,求该游客所走路程的最大值.
11.[2025·江西景德镇质检] 如图, 圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,太阳光与圭面所成的角就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,投影点为冬至线,日影长度最短的那一天定为夏至,投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°,夏至正午太阳高度角为θ°,表高为42,圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50,则sin(θ-36.9°)的值为 (　 )
A. B. C. D.
12.(多选题)图①为温岭的标志性景观-石夫人,“峰以形名,头挽发髻,延颈削肩,神奇秀丽”.某兴趣小组测绘山峰数据:于山脚A处测得峰顶C的仰角为30°,从A出发沿着地平面方向AD使得∠CAD=60°,前进至点D恰使∠ADC=90°,测得AD=150 m.若峰顶C在AD所在地平面的射影为点H,山坳处有一个憩息点B,在B处观测峰顶C的仰角为60°,B在地平面的射影点T落在AH上,AH=5TH,下列说法正确的是 (　 )
A.CH=150 m
B.BT=60 m
C.若从D点观测峰顶C的仰角为θ,则tan θ=
D.若从D点观测点B的仰角为φ,则tan φ=
13.[2025·陕西西安期中] 某博物馆是一座以收藏、研究和陈列历代碑石、墓志及石刻造像为主的专题类艺术博物馆.如图,为了测量该博物馆某建筑物的高度,选取了与该建筑物最高点P在地面的射影O(即OP与地面垂直)在同一水平面内的两个测量基点A与B,在点A处测得点P的仰角为30°,在点B处测得点P的仰角为60°,且AB=28,∠AOB=60°,则该建筑物的高度OP=　　　　.
14.[2026·福建漳州联考] 人类从未停下对自然界探索的脚步,位于美洲大草原点C处正上空300 m的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其北偏东75°方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45°,拍摄羚羊的俯角为60°,假设A,B,C三点在同一水平面上.
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离.
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以40 m/s的极限速度出击,与此同时机警的羚羊以30 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑800 m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能 请说明原因.第26讲　余弦定理、正弦定理应用举例
1.A　[解析] 如图,由题可得∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,AB=2×50=100(海里),
则∠BCA=45°,由正弦定理得=,则BC=×sin 30°=50(海里),故选A.
2.C　[解析] 如图,由题意可得∠MPB=90°-60°=30°.在△PBM中,由余弦定理可得MB=
==10(海里),
故甲船至少需要航行10海里.故选C.
3.D　[解析] 因为∠CED=60°,所以∠CEA=120°,所以∠ACE=180°-30°-120°=30°,则△ACE为等腰三角形,所以CE=AE=50 m.在△CDE中,根据正弦定理=,得sin∠CDE==.因为BC⊥AB,所以∠ABD=90°,故△ABD为直角三角形,所以cos θ==sin∠ADB=sin(π-∠CDE)=sin∠CDE=.故选D.
4.C　[解析] 设OP=x米,依题意得,OA=x米,OB=x米,OC=x米.
由∠OBA+∠OBC=π,得cos∠OBA+cos∠OBC=0.
在△ABO,△CBO中,由余弦定理得+=0,
解得x=250,所以该塔的高度为250米.故选C.
5.B　[解析] 在△ABD中,AB=(3+)海里,∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=105°,
由正弦定理可得,=,
则BD====2(海里).
在△BCD中,∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=4海里,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos 60°=+-2×4×2×=48+12-24=36,所以CD=6海里,因此救援船到达D点最少需要的时间为==0.3(小时).故选B.
6.A　[解析] 如图所示,延长AB与地面交于点D,摄像机在地面C点,则∠ACB为视角,∠ACB∈.当∠ACB最大时,
tan∠ACB最大,tan∠ACB=tan(∠ACD-∠BCD)=.
设DC=x m,则tan∠ACD=,tan∠BCD=,
所以===≤=,当且仅当x=,即x=时取等号,所以tan∠ACB的最大值为.又sin2∠ACB+cos2∠ACB=1,sin∠ACB>0,
所以当∠ACB最大值时,sin∠ACB=,故最佳视角的正弦值为.故选A.
7.BCD　[解析] 由题意可得∠PQA=90°,∠PAQ=α,∠BAQ=β,AB=a,∠PBC=γ,∠PCB=90°.
对于A,∠APQ=90°-α,∠BPC=90°-γ,所以∠APB=∠APQ-∠BPQ=(90°-α)-(90°-γ)=γ-α,
∠PAB=∠PAQ-∠BAQ=α-β,
在△APB中,由正弦定理得=,故PB==,故A错误;
对于B,sin∠ABP=sin(180°-∠APB-∠PAB)=sin(∠APB+∠PAB)=sin(γ-α+α-β)=sin(γ-β),
在△APB中,由正弦定理可得=,故PA==,
在Rt△PAQ中,AQ=PAcos α=,故B正确;
对于C,在Rt△PBC中,PC=PBsin γ=,故C正确;
对于D,在Rt△PAQ中,PQ=PAsin α==,故D正确.故选BCD.
8.10　[解析] 如图,由题意可知∠BAC=180°-54.5°-50°=75.5°,BC=10 km,设AC=m,则AB=2m,
由余弦定理可得BC2=4m2+m2-2×2m×m×cos 75.5°=4m2=100,
解得m≈5 km,所以A地与B地相距约10 km.
9.20　[解析] 如图,由题意得AB=24×5=120(km),∠ABC=60°-23°=37°,∠BAC=180°-60°-41°=79°,则∠ACB=180°-37°-79°=64°.由正弦定理得=,即=,得AC≈=80(km),所以乙船的航行速度约为=20(km/h).
10.解:(1)设CE=x,
依题意可知CE⊥AC,CE⊥BC,
∵在A,B处分别测得塔顶E的仰角为45°,30°,即∠EAC=45°,∠EBC=30°,
∴AC=x,BC=x.在△ABC中,∠CAB=,
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB,
即3x2=x2+2002-200x,解得x=100或x=-200(舍去),
∴塔高CE为100米.
(2)设∠ACB=α,则∠CBA=-α.
在△ABC中,由正弦定理得=,故AC=+100.
∵△ABC为锐角三角形,
∴解得<α<,
∴tan α∈,则AC=+100∈(100,400).
又S△ABC=·AC·AB·sin∠CAB=50AC,∴S△ABC∈(5000,20 000).
(3)在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+DB2-2AD·DB·cos∠ADB,∴2002=AD2+DB2-AD·DB=(AD+DB)2-3AD·DB≥
(AD+DB)2-3=
(AD+DB)2,∴(AD+DB)2≤4×2002,∴AD+DB≤400,当且仅当AD=BD=200时取等号,故该游客所走路程的最大值为400.
11.C　[解析] 如图,∵tan∠ABC=tan 36.9°≈,AC=42,∴sin∠ABC=,BC=56.
又BD=50,∴CD=6,根据勾股定理得AD=30.
在△ABD中,根据正弦定理可知=,即=,解得sin(θ-36.9°)=.故选C.
12.ABD　[解析] 对于A,依题意∠CAH=30°,AD=150 m,∠CAD=60°,∠ADC=90°,
所以AC===300(m),则CD==150(m).
因为峰顶C在AD所在地平面的垂直投影点为H,即CH⊥平面ADH,AH 平面ADH,所以CH⊥AH,所以CH=ACsin∠CAH=300×=150(m),故A正确.
对于B,因为B在地平面的垂直投影点T落在AH上,即BT⊥平面ADH,CH 平面ACH,
所以BT∥CH.如图,过点B作BF⊥CH于点F,则BF=TH,BT=FH.
又AH==150(m),AH=5TH,所以TH=BF=30m.
因为在点B处观测峰顶C的仰角为60°,即∠CBF=60°,所以CF=BFtan∠CBF=30×=90(m),则BT=FH=CH-CF=60(m),故B正确.
对于C,因为从D点观测峰顶C的仰角为θ,所以sin θ===,所以cos θ==,则tan θ===,故C错误.
对于D,因为CH⊥平面ADH,AD 平面ADH,所以CH⊥AD.
又AD⊥CD,CD∩CH=C,CD,CH 平面CDH,所以AD⊥平面CDH.
因为DH 平面CDH,所以AD⊥DH,所以DH==150(m),cos∠AHD===,
所以DT2=+-2×150×30×=29 700,所以DT=30 m.
因为从D点观测点B的仰角为φ,所以tan φ===,故D正确.故选ABD.
13.4　[解析] 由题意可知∠PAO=30°,∠PBO=60°,设OP=h,
则tan 30°===,tan 60°===,所以OA=h,OB=h.
在△AOB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB,
即282=+-2××h×,得h2=336,故h=4(负值舍去),故该建筑物的高度OP=4.
14.解:(1)根据题意作图如图所示,
由题可知∠PAC=∠APC=45°,∠CBP=60°,∠BAC=75°-45°=30°,
则AC==300(m),BC==100(m).
由正弦定理得=
,可得sin∠ABC=.
因此∠ABC=60°或120°.
当∠ABC=60°时,∠ACB=90°,猎豹与羚羊之间的距离为AB=
=200(m);
当∠ABC=120°,∠ACB=30°=∠BAC,猎豹与羚羊之间的距离为AB=BC=100 m.
综上,猎豹与羚羊之间的距离为200 m或100 m.
(2)由题意作图如图所示,
假设猎豹可以捕猎成功,且捕猎成功所需的最短时间为t,将猎豹追上羚羊的位置设为Q,
因为猎豹到点C处比到点B处的距离更近,所以由(1)得AB=200,∠ABQ=120°.
在△ABQ中,BQ=30t,AQ=40t,由余弦定理得1600t2=900t2+-2×30t×200×,
整理得7t2-60t-1200=0.
设f(t)=7t2-60t-1200,显然f(0)<0, f<0,
因为猎豹能坚持奔跑的最长时间为=20(s),且f(20)=2800-1200-1200=400(4-3)<0,
所以假设不成立,故猎豹这次捕猎没有成功的可能.

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