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第五单元　平面向量、复数
第27讲　平面向量的概念及其线性运算 (时间:45分钟)
1.[2025·江西赣州模拟] 已知|a|=2,|b|=3,则“向量a,b共线”是“|a+b|=5”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
2.在△ABC中,D是边AB的中点,则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.2- B.-2
C.2+ D.+2
3.在△OAB所在平面内,点C满足=3,记=a,=b,则= (　 )
A.a+b B.a+b
C.-a+b D.a-b
4.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点P,则+2+2+= (　 )
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,点D是AB的中点,点P在CD上,若=λ+,则λ= (　 )
A. B.
C. D.
6.[2026·吉林长春质检] 在△ABC中,=,点E在BD上,若=x+,则x= (　 )
A.- B.-
C.- D.-
7.[2025·浙江杭州模拟] 在△ABC中,D是BC上一点,满足=2,M是AD的中点,若=λ+μ,则λ+μ= (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2025·湖北随州期末] 下列说法中正确的是 (　 )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
C.若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线
D.若a=b,b=c则a=c
9.[2025·河南信阳期中] 如图,在△ABC中,D是BC上靠近B的一个三等分点,=a,=b,则可以用a,b表示为　　　　　.
10.[2026·湖北十堰期中] 在△ABC中,=,=,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　.
11.[2025·重庆模拟] 在平行四边形ABCD中,=,=,CE与BF相交于G,若=a,=b,则= (　 )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
12.(多选题)如图,在四边形ABCD中,=2,E为CD的中点,BE与AC交于点F,BD与AC交于点G,设=a,=b,则下列结论正确的是 (　 )
A.=
B.=
C.=-a+b
D.若=λa+μb,则2λ-μ=-1
13.已知在梯形ABCD中,=2,若M为CD边上靠近C的三等分点,且=x+y,则x+y=　　　　.
14.[2026·江苏连云港期中] 在△ABC中,N为AB的中点,=3,设AM与NC交于点P,则=　　　　. 第五单元　平面向量、复数
第27讲　平面向量的概念及其线性运算
1.B　[解析] 因为向量a,b共线且|a|=2,|b|=3,所以当a,b同向共线时,|a+b|=5,当a,b反向共线时,|a+b|=1,充分性不成立;若|a+b|=5,且|a|=2,|b|=3,则向量a,b同向共线,必要性成立.所以“向量a,b共线”是“|a+b|=5”的必要不充分条件.故选B.
2.A　[解析] 如图,因为D是边AB的中点,所以+=2,即=2-.故选A.
3.C　[解析] 由向量的线性运算可知=+=++=+=+(-)=-a+b.故选C.
4.C　[解析] 在平行四边形ABCD中,+2+2+=+2-2-=-=.故选C.
5.B　[解析] 因为点D是AB的中点,所以=+.又=λ+,所以+=λ(+)+,则=+λ.又因为点P在CD上,所以∥,所以=,解得λ=.故选B.
6.C　[解析] 如图,因为=,所以=,则=x+=x(-)+(-)=-=×-=-.因为B,E,D三点共线,所以-=1,解得x=-.故选C.
7.C　[解析] 由题可知,=,则2-2=-,所以=+.由=2=2(-),可得=,所以=+=+,所以λ=,μ=,得λ+μ=.故选C.
8.BCD　[解析] 对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;对于B,由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;对于C,因为与都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时,+=0才成立,故C正确;对于D,由向量相等的定义知D正确.故选BCD.
9.=a+b　[解析] 因为D是BC上靠近B的一个三等分点,所以=.又=a,=b,所以=+=+=+(-)=a+b-a=a+b.
10.　[解析] 因为=,=,所以=-=-.
又=λ+μ,且与不共线,所以则λ+μ=.
11.A　[解析] 如图,因为B,G,F三点共线,所以可设=x+(1-x),
所以=xa+b.因为C,G,E三点共线,所以可设=y+(1-y).因为=a,=b,所以=+=a+b,所以=a+(1-y)(a+b)=a+(1-y)b,所以xa+b=a+(1-y)b,即解得所以=a+b,故选A.
12.AC　[解析] 对于选项A,因为=2,所以AD∥BC,且AD=BC,
所以GD=BG=BD,所以=,故选项A正确.
对于选项B,假设=,则F为CG的中点.因为E为CD的中点,
所以EF∥DG,与EF,DG相交于点B矛盾,故假设不成立,故选项B错误.
对于选项C,因为E为CD的中点,所以=(+)=(2b+b-a)=-a+b,故选项C正确.
对于选项D,方法一:由题意可设=m,m∈(0,1),
所以=-=m-=m(+)-=(m-1)+m=(m-1)a+2mb.
又=λa+μb,所以λ=m-1,μ=2m,所以2λ-μ=2(m-1)-2m=-2,故选项D错误,
方法二:设=x+y,因为A,F,C三点共线,所以x+y=1.
又x+y=-xa+2yb,=λa+μb,所以λ=-x,μ=2y,则2λ-μ=-2x-2y=-2,故选项D错误,故选AC.
13.　[解析] 如图所示,
因为在梯形ABCD中,=2,M为CD边上靠近C的三等分点,
所以=++=-2-+=--,==--,
所以=+=2--=-+.
又因为=x+y,所以x+y=-+=.
14.　[解析] 如图,因为=3,
所以=+=+=+(-)=+.由A,P,M三点共线,可设=λ,所以=λ=+.由N,P,C三点共线,可设=t+(1-t)=t+(1-t).又,不共线,所以解得
所以=+.又=+=-+,
=+=-++=-+,所以=,即=.

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