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第28讲　平面向量基本定理及坐标表示
1.C　[解析] 对于选项A,e1-e2=-(e2-e1),两向量共线,不符合基底的定义,故A错误;对于选项B,2e1-e2=-2,两向量共线,不符合基底的定义,故B错误;对于选项C,不存在实数λ,使得e1+e2=λ(e1+4e2),即e1+e2与e1+4e2不共线,可以作为平面向量的基底,故C正确;对于选项D,-6e1+4e2=-2(3e1-2e2),两向量共线,不符合基底的定义,故D错误.故选C.
2.B　[解析] 向量a=(1,2),b=(2,x),由a∥b,得x-4=0,解得x=4,则b=(2,4),所以|b|==2.故选B.
3.B　[解析] 由A(1,-),B(-5,),可得=(-6,2),且||=4,所以与向量同向的单位向量e==(-6,2)=.故选B.
4.B　[解析] 由题意可得=-=(4,-3),=-=(x-7,x+7).因为点A,B,C不能构成三角形,所以点A,B,C共线,所以-3(x-7)-4(x+7)=0,解得x=-1.故选B.
5.B　[解析] 设c=λa+μb(λ,μ∈R),代入a=m+n,b=m-n并整理得c=(λ+μ)m+(λ-μ)n.又c=2m-4n,所以解得所以c=-a+3b.故选B.
6.A　[解析] 设P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y).由=-2,可得解得即P(2,4).故选A.
7.C　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,
设与x轴正方向相同的单位向量为i,与y轴正方向相同的单位向量为j,则a=i+j,b=-2i+3j,c=7i-3j.设c=xa+yb,则7i-3j=(x-2y)i+(x+3y)j.因为i,j不共线,所以解得故c=3a-2b.故选C.
8.AD　[解析] 因为A(2,-1),B(3,1),所以=(1,2),-=(-1,-2).对于A,a=(-1,-2)=-,所以a=(-1,-2)符合题意,A正确;对于B,9×(-2)-3×(-1)=-15≠0,所以a=(9,3)不符合题意,B错误;对于C,(-1)×2-(-2)×(-1)=-4≠0,所以a=(-1,2)不符合题意,C错误;对于D,a=(-4,-8)=-4,所以a=(-4,-8)符合题意,D正确.故选AD.
9.-　[解析] 因为a=(2,-1),b=(1,m),所以a+2b=(4,2m-1),a-b=(1,-1-m).
因为(a+2b)∥(a-b),所以2m-1=4(-1-m),解得m=-.
10.-4(答案不唯一)　3(答案不唯一.第一空填-4,则第二空填3;第一空填3,则第二空填-4)　[解析] 因为|c|=5,c=(x,y),所以=5,即x2+y2=25.因为b=(-2,1),c=(x,y),所以b-c=(-2-x,1-y).又向量b-c与a共线,a=(-1,1),所以-2-x+1-y=0,即x=-y-1,所以(-y-1)2+y2=25,解得y=3或y=-4,所以或
11.C　[解析] 依题意设=m=(x3,y3),=n=(x4,y4),则=p=λm+μn=(λx3+μx4,λy3+μy4),S(m,n)=|x3y4-x4y3|,S(m,p)=|x3(λy3+μy4)-(λx3+μx4)y3|=|μ||x3y4-x4y3|,S(n,p)=|x4(λy3+μy4)-(λx3+μx4)y4|=|λ||x3y4-x4y3|,则=|λ|+|μ|.故选C.
12.ABC　[解析] 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,4),设P(s,t),因为=λ,所以(s,t-4)=λ(6,0),即s=6λ,t=4,故P(6λ,4),λ∈,则+=(-6λ,-4)+(6-6λ,-4)=(6-12λ,-8),故|+|=.因为λ∈,所以|+|=∈[8,10].故选ABC.
13.　[解析] 不妨设点A(t,t+1),则=+=(t,t+1)+(2,0)=(t+2,t+1),
因此||===≥,当且仅当t=-时,等号成立,因此原点O与B的最短距离为.
14.(3,5)　[解析] 由题意,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
设∠BAC=θ,θ∈(0,π),因为在△ABC中,AB=6,AC=3,所以A(0,0),B(6,0),C(3cos θ,3sin θ).
设D(x,y),则=(x-3cos θ,y-3sin θ),=(6-x,-y).
又=2,所以(x-3cos θ,y-3sin θ)=2(6-x,-y),
解得x=4+cos θ,y=sin θ,所以=(4+cos θ,sin θ),
所以=(4+cos θ)2+(sin θ)2=17+8cos θ.因为cos θ∈(-1,1),所以∈(9,25),则||∈(3,5),所以AD的取值范围是(3,5).第28讲　平面向量基本定理及坐标表示 (时间:45分钟)
1.[2025·山西太原二模] 若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1-e2,e2-e1
B.2e1-e2,-e1+e2
C.e1+e2,e1+4e2
D.3e1-2e2,-6e1+4e2
2.已知向量a=(1,2),b=(2,x),若a∥b,则|b|= (　 )
A. B.2
C.5 D.20
3.[2026·河北秦皇岛模拟] 已知向量与单位向量e同向,且A(1,-),B(-5,),则e的坐标为 (　 )
A. B. C. D.
4.[2025·山东青岛模拟] 已知向量=(-3,1),=(1,-2),=(x-6,x+5),若点A,B,C不能构成三角形,则x的值为 (　 )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.设m,n是两个不共线的向量,且a=m+n,b=m-n,c=2m-4n,则c= (　 )
A.-2a+4b B.-a+3b
C.2a-4b D.a-3b
6.已知点M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为(　 )
A.(2,4) B.(-14,16)
C.(6,1) D.(22,-11)
7.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,以a,b为基底,则c可表示为 (　 )
A.c=-2a+3b B.c=-3a+2b
C.c=3a-2b D.c=2a-3b
8.(多选题)[2026·广东东莞模拟] 已知点A(2,-1),B(3,1),与平行,且方向相反的向量a可能是 (　 )
A.a=(-1,-2) B.a=(9,3)
C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8)
9.已知向量a=(2,-1),b=(1,m),若(a+2b)∥(a-b),则m的值为　　　　.
10.设平面向量a=(-1,1),b=(-2,1),c=(x,y),且|c|=5,若向量b-c与a共线,则x=　　　　,y=　　　　.
11.[2026·福建漳州质检] 在平面直角坐标系xOy中,向量=a=(x1,y1),=b=(x2,y2),若a,b不共线,记以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S(a,b)=|x1y2-x2y1|.已知=m,=n,=p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0),则= (　 )
A.|λ+μ| B.|λμ|
C.|λ|+|μ| D.
12.(多选题)[2025·陕西西安模拟] 如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=4,点P满足=λ,其中λ∈,则|+|的取值可以是 (　 )
A.8 B.9 C.10 D.11
13.[2025·江苏苏北七市调研] 已知点A在直线x-y+1=0上,=(2,0),则原点O与B的距离的最小值为　　　　.
14.[2026·安徽蚌埠模拟] 在△ABC中,AB=6,AC=3,点D在BC上且CD=2BD,则AD的取值范围是　　　　.

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