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第29讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例 (时间:45分钟)
1.[2025·浙江义乌模拟] 已知|a|=1,|a+b|=,向量a与b的夹角为,则|b|= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D.2
2.[2025·四川攀枝花模拟] 平面向量a,b满足|a|=3,a·b=9,则b在a上的投影向量为(　 )
A.3a B.a C.a D.a
3.在△ABC中,“·>0且·>0”是“△ABC为锐角三角形”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2026·江西新余模拟] 已知平面向量m,n满足m=(-1,1),|n|=|m|,向量n在向量m上的投影向量为(1,-1),则向量m,n的夹角θ为 (　 )
A. B. C. D.
5.[2026·河北石家庄质检] 已知平面向量a,b是两个单位向量,a在b上的投影向量为b,则(a+2b)·(a-b)= (　 )
A.-1 B.- C.0 D.1
6.在正方形ABCD中,P,Q分别为BC,CD的中点,若·=,则·= (　 )
A. B.-
C. D.-
7.(多选题)已知向量a=(1,2),b=(1,-1),则 (　 )
A.|a|=
B.a+2b=(3,0)
C.cos=
D.a在b上的投影向量的坐标为
8.[2025·安徽合肥八中模拟] 已知向量a=(2,0),b=(-3,λ),若cos=-,则λ=　　　　.
9.[2026·福建龙岩质检] 已知向量a=(-3,0),b=(m,),且向量a与b的夹角为,则|b|=　　　　.
10.[2025·山东青岛期末] 如图,在等边三角形ABC中,AB=2,=,=2,线段AE与BD交于点F.
(1)求·;
(2)求cos∠AFB;
(3)若M为△ABC所在平面内的一个动点,求·+2·的最小值.
11.[2025·重庆江北区模拟] 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合”与 “六顺”,这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中,如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示,C是这6个正六边形内部(包括边界)的动点,则 · 的最大值为 (　 )
A.12 B.16 C.18 D.20
12.(多选题)《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦.如图所示是由八卦抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心,则 (　 )
A.+=
B.+=2
C.cos2∠OAB=
D.·=1
13.[2026·河北秦皇岛模拟] 在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=AD.若M为DC的中点,则向量在向量上的投影向量为　　　　(用表示);若AB=3,点G在边DC上,满足=,点E,F分别为线段AB,BC上的动点,满足BE+BF=1,则·的最小值为　　　　.
14.[2026·山西太原二模] 如图,已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.动点D在边AB上且不与点A,B重合,动点E在边AC上,∠ADE=θ.向量=a,=b,=c,m=.
(1)试用A,B,C,a,b,c及θ表示下列各式.
(i)当θ=0时,m·a;
(ii)m·(a+b+c)=0.
(2)若a=,b=,A=,在(ii)的条件下,当θ=时,求B.第29讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例
1.B　[解析] 由题意可得,|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|×+|b|2=|b|2+|b|+1=5,
解得|b|=或-2(舍).故选B.
2.B　[解析] b在a上的投影向量为=a=a,故选B.
3.B　[解析] 因为·>0,所以A是锐角,因为·>0,所以B是锐角,但C不一定是锐角,如A=,B=,C=,此时△ABC是钝角三角形,充分性不成立;若△ABC为锐角三角形,则A,B是锐角,所以·>0,·>0,必要性成立.所以“·>0且·>0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件,故选B.
4.C　[解析] 由题意知|m|=,因为|n|=|m|=2,且m=(1,-1)=-m,所以=-1,可得m·n=-2,所以cos θ===-.因为0≤θ≤π,所以θ=,故选C.
5.B　[解析] 因为a,b是两个单位向量,且a在b上的投影向量为|a|·cos=b,所以cos=,所以a·b=,所以(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-,故选B.
6.B　[解析] 以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
设AB=2a,则A(0,0),B(2a,0),C(2a,2a),D(0,2a),P(2a,a),Q(a,2a),可得=(2a,2a),=(2a,a),=(2a,0),=(-a,2a).因为·=4a2+2a2=6a2=,所以a2=,所以·=-2a2=-.故选B.
7.ABD　[解析] 因为a=(1,2),所以|a|==,故A正确;因为b=(1,-1),所以2b=(2,-2),则a+2b=(3,0),故B正确;a·b=1×1+2×(-1)=-1,则cos===-,故C错误;a在b上的投影向量为·b=b=,故D正确.故选ABD.
8.±4　[解析] 由a=(2,0),b=(-3,λ),可得|a|=2,|b|=,a·b=-6.又cos===-,所以λ=±4.
9.2　[解析] 因为向量a=(-3,0),b=(m,),且向量a与b的夹角为,
所以cos===,化简得4m2=m2+3,
所以m2=1,则|b|==2.
10.解:(1)以D为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
由AB=2,=,可得A(-1,0),C(1,0),B(0,),D(0,0),
由=2可得E,所以=,=(0,-),
则·=·(0,-)=-1.
(2)由图可得cos∠AFB=cos<,>===-.
(3)设M(x,y),则=(-1-x,-y),=(-x,-y),=(1-x,-y),
所以·+2·=x2+x+y2-y+2(x2-1+y2)
=3x2+x+3y2-y-2=3+3-2=3-≥-,
当且仅当x=-,y=时取等号,所以·+2·的最小值为-.
11.C　[解析] 过C作CE⊥AB,交直线AB于点E,则·=·=||·||,如图,由图知当C位于点D或F时,·取得最大值,易知∠DAE=,AD=6,此时AE=9,所以(·)max=9×2=18,故选C.
12.ACD　[解析] 对于A,+=-=,故A正确;对于B,如图,连接AC,交OB于点M,易知M为AC的中点,所以+=2,故B错误;
对于C,在△OAB中,易知∠AOB=,且OA=OB,所以2∠OAB=,cos 2∠OAB=-,由二倍角公式可得cos2∠OAB==,故C正确;对于D,连接EB,则AB⊥BE,所以·==1,故D正确.故选ACD.
13.　 　[解析] 依题意可知=+=+.又∠A=60°,AB=AD,
所以·=·=+·=+||||cos 60°=+||×||×=,
则向量在向量上的投影向量为===.
以A为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
由AB=3,AB=AD,可得AD=2.又∠A=60°,所以D(1,).又=,所以G(2,).
设E(t,0),2又∠ABC=120°,所以F,因此=(t-2,-),=,可得·=(t-2)-=+3=+3,显然当t=时,·取得最小值,最小值为.
14.解:(1)(i)当θ=0时,m与c反向,即m与a的夹角为B.
因为|m|==1,所以m·a=|m||a|cos B=acos B.
(ii)由题意,m·a=acos(B-θ),m·b=bcos(θ+A),m·c=ccos(π-θ)=-ccos θ.
所以m·(a+b+c)=m·a+m·b+m·c=acos(B-θ)+bcos(θ+A)-ccos θ=0①.
(2)当θ=时,①式化简为asin B-bsin A=0②.
将a=,b=,A=代入②,得sin B=.
又因为a>b,所以A>B,所以B=.

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