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微专题6　平面向量中的综合问题
1.A　[解析] 由|-|=|+-2|,得||=|+|,则|-|=|+|,两边平方并化简得·=0,则⊥,即CB⊥CA,所以△ABC为直角三角形,充分性成立;因为△ABC为直角三角形不能推出CB⊥CA,所以必要性不成立.所以“|-|=|+-2|”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件.故选A.
2.B　[解析] 因为=,所以=-=-,=+=+,所以·=·=+·-=+||·||cos -=22+×2×3×-×32=3.故选B.
3.C　[解析] 设a==(1,0),b==(0,2),c==(x,y),则a+b=(1,2).∵(c-a)⊥(c-b),∴(c-a)·(c-b)=|c|2-(a+b)·c+a·b=0.∵|c|2=x2+y2,(a+b)·c=(1,2)·(x,y)=x+2y,∴x2+y2-(x+2y)=0,即x2+y2-x-2y=0,化简得+(y-1)2=,∴点P的轨迹为一个圆.故选C.
4.C　[解析] 以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
因为AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,所以A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(0,1).因为F是线段BE上的动点,所以可设=λ+(1-λ)=(2λ,0)+(0,1-λ)=(2λ,1-λ),λ∈[0,1],所以点F的坐标是(2λ,1-λ),所以=(2-2λ,-1+λ),=(1-2λ,1+λ),则·=(2-2λ)(1-2λ)+(-1+λ)(1+λ)=4λ2-6λ+2+λ2-1=5λ2-6λ+1=5-,λ∈[0,1],所以当λ=时,·取得最小值-.故选C.
5.D　[解析] 由题知=x+y=x+4y,由A,E,D三点共线可得x+4y=1,且x>0,y>0,所以+=(x+4y)=9++≥9+2=9+4,当且仅当=,即x=,y=时等号成立.故选D.
6.B　[解析] 以C为原点,AC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
∵PC=1,∴点P在以C为圆心,1为半径的圆上,设P(cos α,sin α).∵△ABC为等边三角形,AB=AC=BC=2,∴A(2,0),B(1,),C(0,0),∴=(2-cos α,-sin α),=(1-cos α,-sin α),则·=(2-cos α)(1-cos α)+(-sin α)(-sin α)=cos2α-3cos α+2+sin2α-sin α=3-(sin α+3cos α)=3-2sin,当α+=-+2kπ,k∈Z,即α=-+2kπ,k∈Z时,=3+2,故选B.
7.BCD　[解析] 当a·b=-1时,cos===-.又0≤≤π,所以=,故A错误.由|a-b|=2,可得a2-2a·b+b2=4.又|a|=1,|b|=2,所以12-2a·b+22=4,所以a·b=,所以a在b上的投影向量为·b=b,故B正确.设a,b的夹角为θ,则|a+b|==
,|a-b|==,所以|a+b|+|a-b|=+.设y=+,则y2=5+4cos θ+2+5-4cos θ=10+2.因为0≤θ≤π,所以-1≤cos θ≤1,所以0≤cos2θ≤1.当cos2θ=0时,=10+10=20,所以ymax=2;当cos2θ=1时,=10+6=16,所以ymin=4.故C,D正确.故选BCD.
8.-1　[解析] 方法一:由题可知·=(-)·=·=·-·.
∵·=2,且由对称性易知·=·=2,∴·=·-·=×2-2=-1.
方法二:如图,设,在上的投影向量分别为α,β,易知β=-α,
由数量积的几何意义可知,·=α·=2,∴·=β·=-α·=-×2=-1.
9.ABD　[解析] 对于选项A,当λ+μ=1时,B,M,C三点共线,由向量的线性运算可知,当0<λ<1,0<μ<1,0<λ+μ<1时,M在△ABC内部,故A正确;
对于选项B,如图,设N为BC的中点,G为△ABC的重心,则===+=,故B正确;对于选项C,=+,则=-=+-=(-)=,所以M在边BC上,且BM∶BC=1∶3,则MC∶BC=2∶3,所以△AMC的面积是△ABC面积的,故C错误;对于选项D,因为=λ+μ,M为外心,所以·==,·==2,易知·=3,则·=(λ+μ)·=9λ+3μ=,·=(λ+μ)·=3λ+4μ=2,解得λ=,μ=,所以λ+μ=,故D正确.故选ABD.
10.[16,48]　[解析] 如图,连接BH,过点M作直线AB的垂线,垂足为M1,过点E作直线AB的垂线,垂足为M2,则·=0,=+,
所以·=·.
当点M与点H重合时,·取得最小值,最小值为·=4×4=16;
当点M与点E重合时,·取得最大值,最大值为·=4×12=48.
所以·的取值范围是[16,48].微专题6　平面向量中的综合问题
(时间:35分钟)
1.若P是△ABC所在平面内一点,则“|-|=|+-2|”是“△ABC为直角三角形”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=3,∠BAD=,点M在边AB上,且=,则·= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3 C.-2 D.4
3.已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(c-a)⊥(c-b),若c=,O为坐标原点,则点P的轨迹为 (　 )
A.线段 B.直线
C.圆 D.椭圆
4.[2026·江苏南京模拟] 在四边形ABCD中,AB∥DC,A=90°,AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,F是线段BE上的动点,则·的最小值为 (　 )
A.- B.-
C.- D.-
5.在△ABC中,点D在BC上,且满足BD=BC,点E为AD上任意一点,若实数x,y满足=x+y,则+的最小值为 (　 )
A.2 B.4
C.4+2 D.9+4
6.在等边三角形ABC中,AB=2,P为△ABC所在平面内的一个动点,若PC=1,则·的最大值为 (　 )
A.4 B.3+2
C.2+3 D.6
7.(多选题)[2025·福建南平质检] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则 (　 )
A.当a·b=-1时,a与b的夹角为
B.当|a-b|=2时,a在b上的投影向量为b
C.|a+b|+|a-b|的最大值为2
D.|a+b|+|a-b|的最小值为4
8.在菱形ABCD中,E为边AD的中点,若·=2,则·=　　　　.
9.(多选题)[2026·湖南长沙长郡中学模拟] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M是△ABC所在平面上一点,且=λ+μ,则下列说法正确的是 (　 )
A.若0<λ<1,0<μ<1,0<λ+μ<1,则M在△ABC内部
B.若λ=μ=,则M为△ABC的重心
C.若λ=,μ=,则△AMC的面积是△ABC面积的
D.若b=2,c=3,∠BAC=,M为△ABC外接圆的圆心,则λ+μ=
10.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构,在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图①所示的键线式表示,其结构简式可以抽象为如图②所示的图形.已知六边形ABCHIJ与六边形CDEFGH为全等的正六边形,且AB=4,点M为正六边形CDEFGH内的一点(包含边界),则·的取值范围是　　　　.

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