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第30讲　复数 (时间:35分钟)
1.[2025·浙江桐乡模拟] 已知复数z满足=1-i,则|z|= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.已知复数z满足(1+2i)z=3+4i,则复数z的共轭复数的虚部是 (　 )
A.-i B.- C.i D.
3.[2026·湖北武汉模拟] 在复平面内,点(-1,1)对应的复数为i(a+i),则实数a= (　 )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.已知复数z=(2+i)2i3,则z在复平面内对应的点位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.[2025·江西新余模拟] 在复平面内,复数z=(m∈R)对应的点在实轴上,则实数m的值为 (　 )
A. B. C.- D.-
6.若复数z满足z·=1,则|z-2i|的取值范围为 (　 )
A.[1,] B.[1,]
C.[1,2] D.[1,3]
7.复数z=(1+i)(a+i)(a∈R)在复平面内对应的点在第二象限,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
8.(多选题)[2025·河北石家庄模拟] 已知复数zn=i+2i2+…+nin,n∈N*,则 (　 )
A.z3的虚部是-2 B.|z3|=|z4|
C.z6=5 D.=-1-2i
9.[2025·湖南湘潭模拟] 复数z=(1+i)(2+i)的实部与虚部之和为　　　　.
10.[2025·陕西西安模拟] 已知复数z=3-a+(a2-6a+8)i(a∈R)为正实数,则a=　　　　.
11.[2026·辽宁沈阳模拟] 已知复数z=a+bi(a,b∈R),若集合A={(a,b)|z2+2z+2=0},则A的子集的个数是 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.8
12.(多选题)[2025·江苏南京二模] 若复数z= ,则 (　 )
A.=4-i
B.z在复平面内对应的点位于第四象限
C.||=
D.复数ω满足|ω|=1,则|ω-z|的最大值为+1
13.已知m∈R,若复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i为纯虚数,则m=　　　　.
14.已知复数z是关于x的方程x2-4x+5=0的一个根,则|z|=　　　　. 第30讲　复数
1.B　[解析] 由=1-i,得z=-i=-i=-i=-i,所以|z|==.故选B.
2.D　[解析] 因为复数z满足(1+2i)z=3+4i,所以z====-i,所以=+i,故复数z的共轭复数的虚部是.故选D.
3.C　[解析] 在复平面内,点(-1,1)对应的复数为-1+i,所以i·(a+i)=ai+i2=-1+ai=-1+i,解得a=1.故选C.
4.D　[解析] z=(2+i)2i3=(3+4i)(-i)=4-3i,所以z在复平面内对应的点的坐标为(4,-3),它位于第四象限.故选D.
5.D　[解析] 由题意得,z===,∵复数z在复平面内对应的点在实轴上,∴6+4m=0,解得m=-.故选D.
6.D　[解析] 由z·=|z|2=1,可得z在复平面内对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上.|z-2i|表示上述圆上的点到点(0,2)的距离,结合圆的性质,易知|z-2i|∈[1,3].故选D.
7.B　[解析] z=(1+i)(a+i)=a+i+ai+i2=(a-1)+(a+1)i,因为复数z在复平面内对应的点在第二象限,所以解得-18.AB　[解析] z3=i+2i2+3i3=-2-2i,其虚部是-2,∴A正确;z4=i+2i2+3i3+4i4=2-2i,∴|z3|=|z4|,∴B正确;z6=i+2i2+3i3+4i4+5i5+6i6=-4+3i,z6==25,∴C不正确;==
==1-2i,∴D不正确.故选AB.
9.4　[解析] 因为z=(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i,所以z的实部为1,虚部为3,和为4.
10.2　[解析] 由题意得解得a=2.
11.C　[解析] 方法一:因为z2+2z+2=0,复数z=a+bi(a,b∈R),所以(a+bi)2+2(a+bi)+2=0,即a2-b2+2a+2+2b(a+1)i=0,所以解得所以z=-1±i,所以A={(-1,-1),(-1,1)},含有两个元素,所以A的子集有22=4(个).方法二:Δ=22-4×1×2=-4,由求根公式得z==-1±i,所以集合A={(-1,-1),(-1,1)},含有两个元素,所以A的子集有22=4(个).方法三:因为Δ=22-4×1×2=-4,所以z2+2z+2=0有且仅有2个虚数根,所以A中含有两个元素,所以A的子集有22=4(个).故选C.
12.BCD　[解析] 复数z===4-i.对于A,=4+i,A错误;对于B,z在复平面内对应的点为(4,-1),位于第四象限,B正确;对于C,||==,C正确;对于D,由|ω|=1,得复数ω在复平面内对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,|ω-z|表示ω对应的点与点(4,-1)的距离,所以|ω-z|的最大值为+1,D正确.故选BCD.
13.2　[解析] 由题意可得解得m=2.
14.　[解析] 由题意得(z-2)2=-1,则z-2=±i,所以z=2±i,所以|z|==.

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