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微专题7　由数列的递推关系求通项公式an
1.D　[解析] 函数y=cos的最小正周期为=6,所以a2023=a1···…·=a1·=-,故选D.
2.A　[解析] 因为an=(n+2)(an+1-an),所以(n+3)an=(n+2)an+1,所以数列=,所以数列是常数列,所以=.又a2=2,所以a2026=1014.故选A.
3.D　[解析] 由an+1=得==+.又=1,∴数列是以1为首项,为公差的等差数列,∴=1+(n-1)=,∴an=,∴a13==.故选D.
4.B　[解析] 由Sn+1-2Sn=n,得Sn+1+n+2=2(Sn+n+1).因为a1=2,所以S1+1+1=4,Sn+n+1≠0,所以{Sn+n+1}是首项为4,公比为2的等比数列,则Sn+n+1=4×2n-1=2n+1,所以Sn=2n+1-n-1,所以a10=S10-S9=1023.故选B.
5.B　[解析] 由=,得=,则==,则=,两边取对数得nlg an+1=(n+1)lg an,因此=,数列是常数列,则==lg 2,即lg an=nlg 2=lg 2n,所以an=2n,则a5=32.故选B.
6.A　[解析] 由题得,a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2(n-1)(n≥2),等式两边分别相加,得an-a1=2×1+2×2+…+2(n-1)=2[1+2+3+…+(n-1)]=n2-n(n≥2).因为a1=33,所以an=n2-n+33(n≥2).又a1=33满足上式,所以an=n2-n+33,则==n+-1,n∈N*.设函数g(x)=x+-1,易知g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.而n∈N*,5<<6,当n=5时,=5+-1=,当n=6时,=6+-1=,<,所以的最小值为.故选A.
7.3n+2　[解析] 由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2).
又a1=5,所以数列{an-2}是以a1-2=3为首项,3为公比的等比数列,
所以an-2=3n,故an=3n+2.
8.4-　[解析] 由题得=(-)+(-)+…+(-)+=++…++(n-1)+4
=+(n-1)+4=n+4-(n≥2),
当n=1时,n+4-=1+4-1=4=符合题意,所以-n=n+4--n=4-.
9.D　[解析] 由=an-4,得an+1-6=(an-4)(an-6)=-10an+24,则an+1-5=.又a1=8,所以a1-5=3,所以an+1-5=>0,所以log3(an+1-5)=2log3(an-5),则bn+1=2bn.又b1=log33=1,所以数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则Sn==2n-1.由Sn≥2026,得2n-1≥2026,即2n≥2027.又210=1024,211=2048,所以n≥11,故选D.
10.BC　[解析] 对于A选项,令n=1可得a2=2a1+21,即4=2a1+2,得a1=1,故A错误;对于B选项,an+1=2an+2n两边同时除以2n,可得=+1,即-=1,又=1,所以是以1为首项,1为公差的等差数列,故B正确;对于C选项,由B可知=1+(n-1)×1=n,所以an=n·2n-1,所以=2n-1,所以是以1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;对于D选项,因为=
==2,所以数列的前99项和为2=2=,故D错误.故选BC.
11.解:由题可知an+1=Sn+1-Sn=(+)(-)=2(+),
∵S1=a1=1,an+1-an≥1,
∴+>0,
∴-=2,
即{}是以=1为首项,2为公差的等差数列,
∴=2n-1,则Sn=(2n-1)2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)2-(2n-3)2=8n-8,
显然,当n=1时,上式不成立,
所以an=微专题7　由数列的递推关系求通项公式an
(时间:35分钟)
1.已知数列{an}满足=(-1)n+cos,若a1=1,则a2023= (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.-4337 B.4337
C. D.-
2.在数列{an}中,若a2=2,an=(n+2)(an+1-an),则a2026= (　 )
A.1014 B.1013
C.2027 D.2026
3.已知数列{an}中,a1=1且an+1=(n∈N*),则a13= (　 )
A. B. C. D.
4.[2025·福建漳州质检] 记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,Sn+1-2Sn=n,则a10= (　 )
A.1024 B.1023
C.513 D.256
5.[2026·广东茂名模拟] 已知Tn为各项均为正数的数列{an}的前n项的乘积,且a1=2,=,则a5= (　 )
A.16 B.32
C.64 D.128
6.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为 (　 )
A. B.2-1
C. D.
7.在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.
8.[2026·河北张家口模拟] 已知数列{an}满足a1=2,an>0且-=+1,则-n=　　　　.
9.[2025·江苏常州一中模拟] 在数列{an},{bn}中,a1=8,=an-4,bn=log3(an-5),Sn为{bn}的前n项和,则满足Sn≥2026的n的最小值为 (　 )
A.8 B.9 C.10 D.11
10.(多选题)已知数列{an}满足a2=4,an+1=2an+2n,则 (　 )
A.a1=2
B.是等差数列
C.是等比数列
D.数列的前99项和为
11.[2026·江西南昌期中] 已知数列{an}的前n项和为Sn,S1=1,an+1≥1+an,且an+1=2(+),求数列{an}的通项公式.

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