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第32讲　等差数列 (时间:45分钟)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.已知数列{an}是等差数列,a2=7,a5=16,则S6= (　 )
A.19 B.51
C.69 D.87
2.[2025·湖南师大附中期末] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a9=14,a6a7=63,则S7= (　 )
A.21 B.19
C.12 D.42
3.[2026·辽宁鞍山模拟] 已知各项均为正数的数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,5a2是a4与3a3的等差中项,若a2=2,则S5为 (　 )
A.10 B.15
C.30 D.31
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a8=-22,S11=-110,则Sn取最小值时,n的值为(　 )
A.14 B.15
C.16 D.15或16
5.已知等差数列{an}的项数为n(n≥6),若该数列前三项的和为3,最后三项的和为63,所有项的和为110,则n的值为 (　 )
A.10 B.11
C.12 D.13
6.已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,且=,则= (　 )
A. B. C. D.
7.(多选题)[2026·山东青岛期末] 已知公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn=n2-4n,则 (　 )
A.a1=-3
B.d=-2
C.a10=15
D.是公差为-2的等差数列
8.[2025·青海西宁三模] 已知Sn为等差数列{an}的前n项和,当n=9时,Sn=an,则=　　　　.
9.[2026·山东淄博模拟] 已知数列{an}中,a1=1,a2=,=+(n≥2,n∈N*),则a2027=　　　　.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足nan+1-(n+1)an=5,且a1≠-5.
(1)求证:数列为常数列,并求{an}的通项公式;
(2)若使不等式Sn>20成立的n的最小值为7,且a1∈Z,求a1和Sn的最小值.
11.已知等差数列{an}的公差d不为0,设Sn为其前n项和,若S25=0,则集合{x|x=Sk,k=1,2,…,2025}中元素的个数为 (　 )
A.2025 B.2023
C.2027 D.2013
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,S10=4a4,则an+Sn取最大值时n的值是(　 )
A.4 B.5
C.6 D.10
13.(多选题)[2026·重庆南开中学期末] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,已知a7<0,a7+a8>0,则下列说法正确的是 (　 )
A.Sn的最小值为S7
B.满足Sn>0的n的最小值为14
C.满足Sn<0的n的最大值为14
D.数列的最小项为第8项
14.无穷数列{an}满足an+1an+3an+1+an+4=0,且a1≠-2.
(1)求证:为等差数列;
(2)若a2027为数列{an}中的最小项,求a1的取值范围.第32讲　等差数列
1.C　[解析] S6==3×(a2+a5)=3×(7+16)=69.故选C.
2.A　[解析] 记数列{an}的公差为d,由题得2a1+10d=14,即a1+5d=7=a6,故a7=9,则d=a7-a6=2,所以a1=-3,则S7==21,故选A.
3.D　[解析] 设数列{an}的公比为q(q>0),因为5a2是a4与3a3的等差中项,所以2×5a2=a4+3a3=a2q2+3a2q,即2q2+6q=20,解得q=2或q=-5(舍去).又a2=a1q=2,所以a1=1,则S5===31,故选D.
4.D　[解析] 由S11==11a6=-110,得a6=-10,由a2+a8=2a5=-22,得a5=-11,所以数列{an}的公差d=a6-a5=1.又a6=a1+5d=a1+5=-10,所以a1=-15,所以an=n-16.又a16=0,且数列{an}是递增数列,所以Sn取最小值时,n的值为15或16.故选D.
5.A　[解析] 由题知a1+a2+a3=3,an-2+an-1+an=63(n≥6),所以3·(a1+an)=3+63=66,即a1+an=22.因为{an}的所有项的和为110,所以=11n=110,解得n=10.故选A.
6.B　[解析] 因为{an},{bn}均为等差数列,且Sn,Tn满足=,所以可设Sn=(2n+4)kn,则Tn=(3n+1)kn,k为常数,则==×=×=,故选B.
7.AC　[解析] 因为等差数列{an}的前n项和Sn=n2-4n,所以a1=S1=1-4=-3,故A正确;a2=S2-S1=22-4×2-(12-4×1)=-1,所以d=a2-a1=2,故B错误;a10=S10-S9=102-4×10-(92-4×9)=15,故C正确;==n-4,所以是公差为1的等差数列,故D错误.故选AC.
8.　[解析] 当n=9时,Sn=·an,即S9=6a9.在等差数列{an}中,S9===9a5,所以9a5=6a9,得=.
9.　[解析] 因为=+,n≥2,且-=3-1=2,所以数列是首项为=1,公差为2的等差数列,则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=,所以a2027==.
10.解:(1)由nan+1-(n+1)an=5,两边同时除以n(n+1),得-==-,
所以+=+,即=,
所以数列为常数列,
所以=,故an=(5+a1)n-5.
(2)由(1)知,数列{an}是等差数列,
所以Sn===.
由Sn>20,可得(5+a1)n2+(a1-5)n-40>0.
令f(n)=(5+a1)n2+(a1-5)·n-40,
由题知f(n)>0成立的n的最小值为7,
所以解得-因为a1∈Z,所以a1=-3,
所以Sn=n2-4n,故Sn的最小值为S2=-4.
11.D　[解析] 由S25=25a1+·d=25a1+25×12d=0,可得a1=-12d.又d≠0,所以Sk=ka1+=-12kd+=d=(k2-25k).由二次函数的对称性得S1=S24,S2=S23,S3=S22,…,S12=S13,所以集合{x|x=Sk,k=1,2,…,2025}中元素的个数为2025-12=2013,故选D.
12.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则S10==4a4=4(a1+3d),化简得2a1+11d=0,即d=-a1,则an+Sn=a1+(n-1)d+na1+=(n+1)a1+d=(n+1)a1+×=·a1=-·[(n-5)2-38],由a1>0,得当n=5时,an+Sn取得最大值.故选B.
13.ABD　[解析] 由a7<0,a7+a8>0可知a1<0,d>0,a8>0.对于选项A,由a1<0,d>0,a7<0,a8>0,可知a1,a2,…,a7为负,a8,a9,…为正,所以S7最小,故A正确.对于选项B,C,S13==13a7<0,S14==7(a7+a8)>0,则满足Sn>0的n的最小值为14,满足Sn<0的n的最大值为13,故B正确,C错误.对于选项D,由上述分析可得a1,a2,…,a7为负,a8,a9,…为正,S1,S2,…,S13为负,S14,S15,…为正,所以,,…,为负,又|S8|>|S9|>…>|S13|,|a8|<|a9|<…<|a13|,所以最大,即最小,故D正确.故选ABD.
14.解:(1)证明:因为an+1an+3an+1+an+4=0,即an+1an=-3an+1-an-4,
所以-=====1,
故数列是以1为公差的等差数列.
(2)若>0,则数列是递增数列,所以数列无最大项,此时{an}中无最小项,故<0.因为数列是递增数列,且a2025为数列{an}中的最小项,所以是数列中的最大负项,从而有又=+n-1,所以
解得-

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