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第33讲　等比数列 (时间:45分钟)
1.等比数列{an}中,若a1+a2=2,a2+a3=8,则{an}的公比为 (　 )　　　　　 　　　　　　　　　　
A.± B.±2
C.2 D.4
2.在等比数列{an}中,a1a2a3=27,a2+a6=15,则a4= (　 )
A.±6 B.-6
C.36 D.6
3.[2026·湖南株洲期末] 记等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=a·2n-4,则a1= (　 )
A.1 B.2
C.4 D.8
4.已知数列{an}是公比为q的等比数列.设甲:q>1;乙:数列{an}是递增数列,则甲是乙的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2026·江西南昌二模] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a4+a5+a6=-3,a7+a8+a9=9,则S15= (　 )
A.81 B.71
C.61 D.51
6.已知数列{an},{bn}分别满足an=32n+1,bn=log3an,则下列说法错误的是 (　 )
A.数列{an}是公比为9的等比数列
B.数列{bn}是公差为2的等差数列
C.数列的前10项和为
D.数列{anan+1}是等比数列
7.(多选题)[2025·安徽合肥调研] 记数列{an}的前n项和为Sn,则下列条件使数列{an}一定为等比数列的是 (　 )
A.=3
B.=an·an+2
C.Sn=3n-2
D.=n
8.[2026·福建厦门外国语学校模拟] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=　　　　.
9.若等比数列{an}满足anan+1=2n,则其公比q=　　　　.
10.[2026·湖南雅礼中学模拟] 已知数列{an}和{bn}满足anan+1=an+2,a1=,=bn-.
(1)证明:数列{bn}是等比数列;
(2)设xn=,求数列{xn}的前n项和Sn.
11.[2025·甘肃兰州模拟] 在等比数列{an}中,a1+an=82,a3an-2=81,且数列{an}的前n项和Sn=121,则此数列的项数n等于 (　 )
A.4 B.5
C.6 D.7
12.若数列{an}和{bn}满足a1=b1=1,2an+1=an+3bn+4,2bn+1=3an+bn-4,则b2027-a2026= (　 )
A.22025-2 B.22024+2
C.22027-2 D.22026+2
13.(多选题)[2026·山东淄博质检] 设公比为q的等比数列{an}的前n项积为Tn,则(　 )
A.若T8=81,则a3·a6=3
B.若T9>0,则必有a1>0
C.若a1>1,0D.若an>0,则数列{lg Tn}一定是等差数列
14.已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+4(n≥2).设bn=log3(an+2).
(1)求证:数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设数列cn=,且对任意正整数n,不等式cn≤λ恒成立,求实数λ的取值范围.第33讲　等比数列
1.D　[解析] 设数列{an}的公比为q.因为数列{an}为等比数列,所以a2+a3=q(a1+a2)=8,即2q=8,解得q=4.故选D.
2.D　[解析] 因为{an}为等比数列,所以a1a2a3==27,故a2=3.又a2+a6=15,所以a6=12,所以=a2a6=36,得a4=6(a2,a4,a6同号,负值舍去),故选D.
3.C　[解析] 显然公比q≠1,因为等比数列前n项和Sn==-qn+,且Sn=a·2n-4,所以a=4,所以Sn=4·2n-4,所以a1=S1=4×2-4=4.故选C.
4.D　[解析] 当首项a1<0时,若q>1,则数列{an}是递减数列,如an=-2n,充分性不成立;若数列{an}是递增数列,当首项a1<0时,05.C　[解析] 由题可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12成等比数列,所以=S3(S9-S6),即(-3)2=S3×9,得S3=1,则等比数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12的首项为1,公比为-3,所以S12-S9=a10+a11+a12=9×(-3)=-27,S15-S12=a13+a14+a15=-27×(-3)=81,所以S15=1+(-3)+9+(-27)+81=61.故选C.
6.C　[解析] 对于A选项,==32=9,故数列{an}是公比为9的等比数列,A中说法正确;对于B选项,bn+1-bn=log3an+1-log3an=log3=log39=2,故数列{bn}是公差为2的等差数列,B中说法正确;对于C选项,因为bn=log3an=log332n+1=2n+1,所以==,所以的前10项之和为=×=×=,C中说法错误;对于D选项,因为===34=81,故数列{anan+1}是等比数列,D中说法正确.故选C.
7.AD　[解析] 对于A,由等比数列的定义知,{an}一定为等比数列.对于B,当an=0时,=an·an+2成立,但{an}不是等比数列.对于C,由Sn=3n-2,得a1=S1=1,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,a1,a2,a3不成等比数列.对于D,由=n,得a1≠0,Sn=na1,则an=a1,数列{an}是公比为1的等比数列.故选AD.
8.8　[解析] 因为=,所以S6=4S3,则S6-S3=3S3.由等比数列{an}的前n项和Sn的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是以S3为首项,3为公比的等比数列,所以S9-S6=9S3,S12-S9=27S3,则S9=9S3+S6=13S3,S12=27S3+S9=40S3,所以==8.
9.　[解析] 由anan+1=2n,得a1a2=2,a2a3=22=4,所以==2,即q2=2,解得q=±.又2=a1a2=q>0,所以q>0,所以q=.
10.解:(1)证明:由题意知an≠0,an+1=,又bn=+,
所以+=+=+=-1+=-2,即bn+1=-2bn.又b1=+=-2,
所以数列{bn}是首项为-2,公比为-2的等比数列.
(2)由(1)知bn=(-2)n,
所以xn===4,
所以Sn=x1+x2+…+xn=4×
=4×=.
11.B　[解析] 设{an}的公比为q,因为{an}是等比数列,所以a1an=a3an-2=81,又a1+an=82,所以或若{an}是递增数列,则a1=1,an=81,因为Sn=121,所以Sn===121,解得q=3,所以an=1×3n-1=81,解得n=5;若{an}是递减数列,则a1=81,an=1,因为Sn=121,所以==121,解得q=,所以an=81×=1,解得n=5.综上,数列的项数n为5.
12.A　[解析] 由题可得2(an+1+bn+1)=4(an+bn),即an+1+bn+1=2(an+bn),所以数列{an+bn}是以a1+b1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an+bn=2·2n-1=2n,故an+1+bn+1=2n+1.由题可得2(an+1-bn+1)=-2(an-bn)+8,即(an+1+an)-(bn+1+bn)=4,所以(an+1+bn+1+an+bn)-2(bn+1+bn)=4,故(2n+1+2n)-2(bn+1+bn)=4,则bn+1+bn==2n+2n-1-2,所以bn+1-an=(bn+1+bn)-(an+bn)=2n+2n-1-2-2n=2n-1-2,所以b2027-a2026=22025-2.故选A.
13.BC　[解析] 若T8=81,则a1a2a3…a8=(a1a8)(a2a7)(a3a6)(a4a5)==81,所以a3·a6=±3,故A错误;因为T9>0,且T9=a1a2·a3…a9=(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=a5=,所以a5>0,又等比数列奇数项必同号,所以a1>0,故B正确;因为a1>1,01且am+1<1,则当n≤m时,Tn≤Tm,当n>m时,Tn0,所以Tn>0,lg Tn+1-lg Tn=lg=lg an+1=lg(a1qn)=lg a1+nlg q,当q≠1时,不满足lg Tn+1-lg Tn为同一个常数,故数列{lg Tn}不一定是等差数列,故D错误.故选BC.
14.解:(1)由an=3an-1+4(n≥2),
可得an+2=3an-1+6=3(an-1+2)(n≥2),
所以数列{an+2}是以a1+2=3为首项,3为公比的等比数列,
则an+2=3n,故an=3n-2.
(2)数列cn===,
则=·=<1,
所以数列{cn}是递减数列,故cn≤c1=.对任意正整数n,不等式cn≤λ恒成立,所以λ≥,即λ的取值范围是.

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