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第34讲　数列求和
1.B　[解析] 因为an=所以S10=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)
=+=1409.故选B.
2.A　[解析] 当n为偶数时,an+an+1=3·2n,所以S11=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+(a8+a9)+(a10+a11)=1+3·(22+24+26+28+210)=1+=4093.故选A.
3.C　[解析] 依题意,由an+1=an+3,得an+1-an=3,所以数列{an}是首项为a1=-60,公差d=3的等差数列,则an=a1+(n-1)d=3n-63,则当n≤21时,an≤0,当n>21时,an>0,所以|a1|+|a2|+…+|a25|=-(a1+a2+…+a21)+a22+…+a25=-×(a1+a21)+(a22+a25)=-×(-60+0)+2×(3+12)=660.故选C.
4.D　[解析] 将bn=4n2+8n+3代入anbn=2整理得an===-,故S30=a1+a2+…+a30=++…+=-=.故选D.
5.C　[解析] an=log2=log2(3n-1)-log2(3n+2),故Sn=a1+a2+…+an=log22-log25+log25-log28+…+log2(3n-1)-log2(3n+2)=1-log2(3n+2).令Sn<-,得log2(3n+2)>,则3n+2>=16×=16×≈16×1.59=25.44,解得n>7.8,故满足题意的正整数n的最小值为8.故选C.
6.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d(d>0),∵a1+a6=4a2,∴a1+a1+5d=4(a1+d),∴d=2a1,∴an=a1+(n-1)×2a1=a1(2n-1),
∴==(-),
∴=(-+)=(-+)===6,解得a1=,∴a5=9a1=.故选B.
7.C　[解析] 由a1+2a2+3a3+…+nan=n(n∈N*)①,得当n=1时,a1=1;当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n-1②,由①-②可得nan=1,即an=(n≥2).经检验,当n=1时,满足上式,故an=,n∈N*,所以bn=a2n-1·a2n+1==,所以b1+b2+…+b10===.故选C.
8.　[解析] 由an+bn=,bn-an+1=,可得an+1+an=-,所以a1+a2+a3+…+a100=+++…+=.
9.1365　[解析] 因为a2+a3=22,a4+a5=24,a6+a7=26,a8+a9=28,a10+a11=210,
所以S11=1+22+24+26+28+210=1+=1+=1365.
10.解:(1)因为+=,所以-=-.
因为a1=1,a2=,所以=1,-=1,
所以是首项为1,公差为1的等差数列,
则=1+(n-1)=n,故an=.
(2)由(1)可知an=,则bn==n·2n,
所以Sn=2+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n①,
2Sn=22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1②,
由①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-1+2n-n·2n+1,
即-Sn=-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,
则Sn=(n-1)·2n+1+2.
11.C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则由得化简得解得∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
∵cos nπ=(-1)n,∴数列{an·cos nπ}的通项公式为(2n-1)·(-1)n.设数列{an·cos nπ}的前n项和为Sn,则S2026=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a2025+a2026).
∵-a2k-1+a2k=-[2(2k-1)-1]+2×2k-1=2,∴S2026=2×1013=2026.故选C.
12.B　[解析] 因为f(x+1)=2f(x),所以f(n+1)=2f(n).又f(1)=1,所以f(n)≠0,所以=2,所以{f(n)}是以f(1)=1为首项,2为公比的等比数列,所以f(n)=1×2n-1=2n-1,所以bn=nf(n)=n·2n-1,所以Sn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1,所以2Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,所以-Sn=1×20+1×21+1×22+…+1×2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,所以Sn=(n-1)·2n+1.又S8=(8-1)×28+1=1793,S9=(9-1)×29+1=4097,所以使得Sn>2027成立的n的最小值为9.故选B.
13.4n+2　[解析] 因为函数y=g(2x+1)-2是R上的奇函数,所以g(-2x+1)-2=-[g(2x+1)-2],即g(2x+1)+g(-2x+1)=4.又an=g+g+
g+…+g,an=
g+g+g+…+g,两式相加得2an=++
+…+
,所以2an=4(2n+1),所以an=4n+2.
14.解:(1)由,Sn,an-2成等差数列,得2Sn=+an-2①.
当n=1时,2=+a1-2,
∴a1--2=0,得=2(=-1舍去);
当n≥2时,2Sn-1=+an-1-2②,
①-②得,2=-+an-an-1,
∴+=an-an-1=(+)(-).
又+≠0,∴-=1,
∴{}是首项为2,公差为1的等差数列,
∴=2+n-1=n+1,∴an=(n+1)2.
(2)证明:=<=,
故+++…+<
==-<.
(3)由(1)知bn=(-1)n(n+1)2.
当n是奇数时,Tn=-22+32-42+52-62+72-…-(n-1)2+n2-(n+1)2=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-
6)(7+6)+…+[n-(n-1)](n+n-1)-(n+1)2=2+3+4+5+…+n-1+n-(n+1)2=-(n+1)2=;
当n是偶数时,Tn=-22+32-42+52-62+72-…-n2+(n+1)2=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+…+[(n+1)-n](n+n+1)=2+3+4+…+n+(n+1)==.
综上,Tn=第34讲　数列求和 (时间:45分钟)
1.[2026·四川眉山期末] 已知数列{an}的通项公式为an=则数列{an}的前10项和S10= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.107 B.1409
C.1414 D.112
2.[2026·河南三门峡期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,且满足an+1+(-1)nan=3·(-2)n,则S11= (　 )
A.4093 B.4094
C.4095 D.4096
3.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+…+|a25|= (　 )
A.630 B.648
C.660 D.675
4.[2026·河北承德模拟] 已知数列{an},{bn}满足anbn=2,bn=4n2+8n+3,则数列{an}的前30项和S30= (　 )
A. B. C. D.
5.已知数列{an}的通项公式为an=log2,则使{an}的前n项和Sn<-成立的n的(参考数据:≈1.59)(　 )
A.最小值为7 B.最大值为7
C.最小值为8 D.最大值为8
6.[2025·河南师大附中期末] 已知等差数列{an}的公差大于0且a1+a6=4a2,若6,则a5= (　 )
A. B. C. D.
7.[2025·安徽合肥期末] 数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n∈N*),若bn=a2n-1·a2n+1,则数列{bn}的前10项和为 (　 )
A. B. C. D.
8.[2026·河北邢台期末] 已知数列{an},{bn}满足an+bn=,bn-an+1=,则a1+a2+a3+…+a100=　　　　.
9.[2026·黑龙江绥化二中期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1+an=2n,则S11=　　　　(用数字作答).
10.在数列{an}中,a1=1,a2=,且+=(n≥2,n∈N*).
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
11.[2026·湖北武汉质检] 已知等差数列{an}中,a1+a8=2a5-2,a3+a11=26,则数列{an·cos nπ}的前2026项的和为 (　 )
A.1013 B.1014
C.2026 D.2028
12.[2025·广东茂名二模] 已知函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),f(1)=1,设bn=nf(n),Sn为数列{bn}的前n项和,则使得Sn>2027成立的n的最小值为 (　 )
A.8 B.9
C.10 D.11
13.[2026·山东济宁实验中学模拟] 已知函数y=g(2x+1)-2是R上的奇函数,若数列{an}的项满足an=g+g+g+…+g(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=　　　　.
14.已知{an}是各项均为正数的数列,Sn为{}的前n项和,且,Sn,an-2成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求证:+++…+<;
(3)已知bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.

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